[Teoria dei Segnali] Densità spettrale di potenza e potenza, esercizio svolto

[dodime]

Salve a tutti. Vorrei sfruttare questo esercizio per chiarirmi alcuni dubbi; cercherò allo stesso tempo di esser "discorsivo", in maniera tale da rendermi utile a chi volesse esercitarsi su questi argomenti In fondo al post, le mie "incertezze"

$ x(t) = 2 cos ( 400 t) + 4 sin ( 500 t + frac{pi }{3} ) $

Calcolare: la densità spettrale di potenza ( $ S_x(f) $ ) e la potenza ( $ P_x $ ).



Svolgimento - Densità spettrale di potenza


> Metodo 1 - "Passando" dall'autocorrelazione

Una delle possibili soluzioni, consiste nel calcolare l'autocorrelazione e farne la trasformata secondo Fourier:

$ S_x(f) = F{ R_x(tau )} $



Dove:

$ R_x( tau ) = < x(t) \cdot x(t + tau) > = $

$ = < [ 2 cos ( 400 t) + 4 sin ( 500t + \frac{pi}{3})] \cdot [ 2 cos ( 400 ( t + tau )) + 4 sin( 500 ( t + tau ) + \frac{pi}{3} ) ] > = $

$ = < 4 cos ( 400 t ) \cdot cos( 400 t + 400 tau) > + < 8 cos ( 400 t ) \cdot sin ( 500 t + 500 tau + \frac{pi}{3}) > + $

$ + < 8 sin ( 500 t + \frac{pi}{3}) \cdot cos(400t + 400 tau ) > + < 16 sin ( 500 t + \frac{pi}{3}) \cdot sin( 500 t + 500 tau + \frac{pi}{3}) > $



$ < 4 cos ( 400 t) \cdot cos (400 t + 400 tau ) > $ = ( per le formule di Werner ) =

$ = 2 \cdot < cos( 400 tau) > + 2 \cdot < cos( 800 t + 400 tau ) = $

$ = 2 \cdot cos (400 tau) + 2 \cdot \frac{400}{pi}int_-\frac{pi}{800}^\frac{pi}{800} cos( 800 t + 400 tau) = $

$ = 2 \cdot cos ( 400 tau) $ essendo la media del coseno pari a zero.



Reiterando il procedimento, otteniamo infine l'autocorrelazione:

$ R_x(tau) = 2 \cdot cos( 400 tau ) + 8 \cdot cos ( 500 tau ) $



Dalla quale possiamo ottenere la densità spettrale di potenza:

$ S_x(f) = F{ R_x(tau) } = 2 \cdot F{cos(400 tau)} + 8 \cdot F{ cos(500 tau )} = $

$ = delta(f - \frac{200}{pi}) + delta (f + \frac{200}{pi}) + 4 \cdot delta(f - \frac{250}{pi}) + 4 \cdot delta(f + \frac{250}{pi} )
$



> Metodo 2 - Lavorando direttamente in frequenza

Una seconda soluzione, consiste nel trasformare x(t) secondo Fourier, dato che $ S_x(f) = abs { X(f) }^2 $

$ F{x(t)} = F{2 cos ( 400 t)} + F{4 sin(500t + \frac{pi}{3})} = $

$ = F{e^{j 400t}} + F{e^{- j 400t}} - 2j \cdot F{e^{j 500t + j pi/3}} + 2 j \cdot F{e^{-j 500t - j pi/3}} = $

$ = delta( f - 200 / pi ) + delta( f + 200/pi) + 2 \cdot e^{- j pi/6} cdot delta( f - 250 )+2 \cdot e^{+ j pi/6} cdot delta( f + 250 ) $


Da cui:

$ abs{ X(f) }^2 = delta( f - 200 / pi ) + delta ( f + 200 / pi ) + 4 cdot delta( f - 250/pi) + 4 cdot delta (f + 250 / pi ) $

Che coincide con quanto ottenuto in precedenza.



Svolgimento - Potenza

Anche per quanto riguarda la potenza, è possibile procedere in diversi modi.


> Metodo 1 - Definizione di potenza

$ x(t) = 2 cdot cos(400t) + 4 cdot sin(500t + pi/3) $

Possiamo scrivere la potenza di un segnale periodico di periodo $ T_0 $ come:

$ P_x = 1/T_0 int_{-T_0/2}^{T_0/2} abs{x(t)}^2 dt $


Dato un segnale $ z(t) = x(t) + y(t) $, vale la proprietà di additività della potenza se x(t) ed y(t) sono ortogonali, per cui è possibile scrivere:

$ P_z = P_x + P_y $


Nel caso in questione:

$ P_x = < abs{ 2 cdot cos(400t)}^2 > + < abs{ 4 cdot sin(500t + pi/3)}^2 > $


Verifichiamo quindi l'ortogonalità. Otteniamo:

$ < 2 cdot cos(400t) cdot 4 sin(500t + pi/3 )> = 4 < sin (900 t + pi/3) > + < sin(100t + pi/3) > = 0 $


Possiamo quindi calcolare la potenza di x(t) celermente:

$ P_x = 4 cdot 200 / pi int_{- pi / 400}^{pi/400} cos^2(400t) dt + 16 cdot 250 / pi int_{- pi/500}^{pi/500} sin^2(500t + pi/3) dt = 10W $


> Metodo 2 - Integrale della densità spettrale di potenza

$ P_x = int_-oo^{+oo} S_x(f) df = int_-oo^{+oo} delta ( f - 200 / pi) + delta(f+200/pi)+4 cdot delta(f - 250/pi)+4 cdot delta(f +250/pi) = $

$ = 10 W $


> Metodo 3 - Autocorrelazione calcolata in zero

$ P_x = R_x(tau = 0) = 10 W $



Conferme e chiarimenti

Vorrei chiedervi eventuali correzioni sul procedimento adottato. In particolare, nel calcolare la $ abs{X(f)}^2 $ data la $ X(f) $ ho così proceduto:

$ abs{X(f)}^2 = abs { delta( f - 200 / pi ) + delta( f + 200/pi) + 2 \cdot e^{- j pi/6} cdot delta( f - 250 )+2 \cdot e^{+ j pi/6} cdot delta( f + 250 ) }^2 = $

$ abs{X(f)}^2 = abs { delta( f - 200 / pi ) }^2 + abs{ delta( f + 200/pi)}^2 + abs { 2 \cdot e^{- j pi/6} cdot delta( f - 250 )}^2+ abs{2 \cdot e^{+ j pi/6} cdot delta( f + 250 )}^2 $

Non riesco ad afferrare la giustificazione teorica di questo passaggio. Qualcuno di voi può darmi delle delucidazioni in proposito? Grazie mille