(Teoria dei segnali) calcolo energia

[Mathdack]

Gentilissimi, sapete dirmi dove sbaglio nel calcolo dell'energia del seguente esercizio?

$ x(t)=5cos (pit)rect(t/2) $

Ecco i passaggi:

$ E=int_(-1)^(1) |5cos(pit)|^2dt $

$ =25[1/2(pit+senpitcospit)]_-1^1 $

$ =25/2(pi-pi)=0 $

purtroppo il libro mi da come soluzione E=25.

[K.Lomax]

[tex]\displaystyle\int\cos^2(\pi t)=\int\frac{1+\cos(2\pi t)}{2}=\int\frac{1}{2}+\frac{\cos(2\pi t)}{2}=\frac{1}{2}t+\frac{\sin(2\pi t)}{4\pi}[/tex]

che calcolato nel'intervallo [tex][-1,1][/tex]....

[Mathdack]

Ti ringrazio tanto!
un dubbio: perchè c'è quel $ 4pi $ a denominatore?

[Mathdack]

Pardon, deve esserci perchè trattasi di funzione composta...
comunque ai fini del calcolo è ininfluente.
GRazie ancora!

[Mathdack]

e se invece avessi:

$ int_(-1)^(1) |cos^2(pit)|^2 dt $


come faccio?

(chiarisco: l'ultimo esame di Analisi l'ho fatto circa 8 anni fa...)

[K.Lomax]

Ok. A parte che esiste una formula facilmente dimostrabile che lega le potenze di [tex]\cos^n(x)[/tex] ad una somma finita di [tex]\cos(mx)[/tex] il che renderebbe quell'integrale immediato, possiamo scrivere:

[tex]\displaystyle\int\cos^4(\pi t)\text{d}t=\int\cos^2(\pi t)\cos^2(\pi t)\text{d}t=\int\cos^2(\pi t)(1-\sin^2(\pi t))\text{d}t=[/tex]

[tex]\displaystyle=\int\cos^2(\pi t)\text{d}t-\int\cos^2(\pi t)\sin^2(\pi t)\text{d}t=\int\cos^2(\pi t)\text{d}t-\frac{1}{4}\int\sin^2(2\pi t)\text{d}t[/tex]

dove nell'ultimo passaggio ho utilizzato la formula di duplicazione del seno [tex]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/tex]. L'ultimo integrale lo risolvi come fatto prima.

[Mathdack]

Grande!
Come hai spiegato tu è molto più rapido.
Infatti io avevo risolto così:
1) divido in due fattori al quadrato la funzione integranda
2) per una applico la precedente formula di duplicazione del sen
3) integro per parti

La scocciatura è stato integrare per parti...
Però il risultato è giusto.

[K.Lomax]

Si, gli integrali trigonometrici si possono calcolare in svariate maniere.