[Teoria dei Segnali] Calcolo della potenza e valor medio di un segnale
Buongiorno, sto studiando teoria dei segnali e mi sono imbattuto in questo esercizio:
Calcolare la potenza ed il valor medio del segnale
\[x(t) = \begin{cases}cos(\frac{\pi t}{2T}) &\mbox{se } |t|<=T \\ 0 &\mbox{se } |t|>T \end{cases}\]
Andando ad intuito, direi subito che la potenza dovrebbe essere nulla, perché il segnale è non nullo solamente su un intervallo \(T<\infty\), in corrispondenza del quale \(x(t)\) assume l'andamento di un coseno: di conseguenza, l'energia risulta finita e passando al limite per \(T\longmapsto\infty\) ottengo un valore di \(P_x\) nullo. Riguardo al valor medio arrivo alla stessa conclusione. Per la dimostrazione di quanto appena asserito, però, ho dei problemi nell'impostare i due integrali. Ad esempio, applicando la definizione di valor medio, ottengo \(Vm_x = \lim_{T\to \infty} \frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} cos(\frac{\pi t}{2T})\,dt \). Operando un cambio di variabile ottengo \(\frac{4}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{4} cos(u)\,du\), ottenendo come risultato \( \frac{2 \sqrt{2}}{\pi}\). Avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse gentilmente come impostare questi due integrali, perché da quanto ho scritto è evidente che ho capito ben poco di questi argomenti.
Ringrazio anticipatamente chi verrà in mio soccorso e mi scuso per eventuali castronerie che ho scritto
Calcolare la potenza ed il valor medio del segnale
\[x(t) = \begin{cases}cos(\frac{\pi t}{2T}) &\mbox{se } |t|<=T \\ 0 &\mbox{se } |t|>T \end{cases}\]
Andando ad intuito, direi subito che la potenza dovrebbe essere nulla, perché il segnale è non nullo solamente su un intervallo \(T<\infty\), in corrispondenza del quale \(x(t)\) assume l'andamento di un coseno: di conseguenza, l'energia risulta finita e passando al limite per \(T\longmapsto\infty\) ottengo un valore di \(P_x\) nullo. Riguardo al valor medio arrivo alla stessa conclusione. Per la dimostrazione di quanto appena asserito, però, ho dei problemi nell'impostare i due integrali. Ad esempio, applicando la definizione di valor medio, ottengo \(Vm_x = \lim_{T\to \infty} \frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} cos(\frac{\pi t}{2T})\,dt \). Operando un cambio di variabile ottengo \(\frac{4}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{4} cos(u)\,du\), ottenendo come risultato \( \frac{2 \sqrt{2}}{\pi}\). Avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse gentilmente come impostare questi due integrali, perché da quanto ho scritto è evidente che ho capito ben poco di questi argomenti.
Ringrazio anticipatamente chi verrà in mio soccorso e mi scuso per eventuali castronerie che ho scritto
Risposte
Energia e potenza sono giusti ma sbagli il ragionamento per il valore medio. Prova a disegnare la funzione e vedrai.
EDIT: ho detto una cagata...non dovrei parlare quando ho la febbre
EDIT: ho detto una cagata...non dovrei parlare quando ho la febbre
Ti imposto le equazioni e ti do il risultato il resto arrivaci tu 
\(Vm_{x}=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}cos\left ( \frac{\pi }{2T}t \right )dt=\frac{2}{\pi }\)
\(P_{x}=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}cos^{2}\left ( \frac{\pi }{2T}t \right )dt=\frac{1}{2}\)
\(Vm_{x}=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}cos\left ( \frac{\pi }{2T}t \right )dt=\frac{2}{\pi }\)
\(P_{x}=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}cos^{2}\left ( \frac{\pi }{2T}t \right )dt=\frac{1}{2}\)
Grazie ad entrambi
Per Exodus: perché sostituisci \(\frac{1}{T}\) con \( \frac{1}{2T}\)?
Per Exodus: perché sostituisci \(\frac{1}{T}\) con \( \frac{1}{2T}\)?
"bianciardi_elia":
Per Exodus: perché sostituisci $1/T$ con $1/(2T)$?
Disegnati il segnale e poi ti sarà tutto più chiaro
Ok, dovrei aver capito. In sostanza il segnale è non nullo sull'intervallo [-T,T], da qui \(\frac{1}{2T}\) al posto di \(\frac{1}{T}\). Poi osservo che il periodo del mio segnale è uguale a 4 volte il periodo di \(cos(\frac{2 \pi t}{T})\). Quindi, fissato $T$, ho che $x(t)$ mi descrive un quarto di oscillazione della cosinusoide sopra descritta (detto malissimo scusate 
) sull'intervallo [0,T]; so che il coseno è una funzione pari quindi per \(t < 0\) ottengo la medesima curva "specchiata". Però mi chiedo: indipendentemente dai calcoli, è "giusto" che la potenza abbia un valore diverso da $0$, anche se il segnale è limitato nel tempo ed in ampiezza?
) sull'intervallo [0,T]; so che il coseno è una funzione pari quindi per \(t < 0\) ottengo la medesima curva "specchiata". Però mi chiedo: indipendentemente dai calcoli, è "giusto" che la potenza abbia un valore diverso da $0$, anche se il segnale è limitato nel tempo ed in ampiezza?
La\(T\) nell'argomento del coseno mi ha confuso, ribattezziamola in \(a\)
Poi puoi procedere in questo modo:
\(Vm_{x}=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-a}^{+a}cos\left ( \frac{\pi }{2a}t \right )dt=0\)
\(P_{x}=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-a}^{+a}cos^{2}\left ( \frac{\pi }{2a}t \right )dt=0\)
Poi puoi procedere in questo modo:
\(Vm_{x}=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-a}^{+a}cos\left ( \frac{\pi }{2a}t \right )dt=0\)
\(P_{x}=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-a}^{+a}cos^{2}\left ( \frac{\pi }{2a}t \right )dt=0\)
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