[Teoria dei Segnali] Calcolo della funzione di autocorrelazione
Salve ho qualche problema nella risoluzione del seguente esercizio:
Calcolare la funzione di autocorrelazione del seguente segnale $ x(t)=Lambda (t+3)+Lambda (t-3) $
dove $ Lambda $ è la finestra triangolare.
Tentativo di risoluzione :
Ho scartato immediatamente l'ipotesi di calcolarlo con la trasformata di fourier vedendo il segnale non me ne sarei uscito più...
Così ho provato nel seguente modo
$ R_x(tau )=R_(x1)(tau )+R_(x2)(tau )+R_(x1*x2)(tau ) $
dove
$ x_1(t)=Lambda (t-3), x_2(t)=Lambda (t+3) $
essendo inoltre l'autocorrelazione invariante per traslazione mi basterebbe calcolare la autocorrelazione $ Lambda(t) $
$ tau<-2 $ e $ tau>2 $ i due triangoli non si sovrappongono
$ 0
$ int_(-1+tau)^(0) (1+x)(1+x-tau) dx +int_(0)^(tau) (1-x)(1+x-tau) dx +int_(tau)^(1) (1-x)(1-x+tau) dx $
verificando però tale risultato con quello riportato da wolframalpha essi non corrisondono.
Quindi mi sono completamente arenato.
vi allego il link di wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?i=C ... +x%2C+y%5D
EDIT: Ho corretto una svista
Calcolare la funzione di autocorrelazione del seguente segnale $ x(t)=Lambda (t+3)+Lambda (t-3) $
dove $ Lambda $ è la finestra triangolare.
Tentativo di risoluzione :
Ho scartato immediatamente l'ipotesi di calcolarlo con la trasformata di fourier vedendo il segnale non me ne sarei uscito più...
Così ho provato nel seguente modo
$ R_x(tau )=R_(x1)(tau )+R_(x2)(tau )+R_(x1*x2)(tau ) $
dove
$ x_1(t)=Lambda (t-3), x_2(t)=Lambda (t+3) $
essendo inoltre l'autocorrelazione invariante per traslazione mi basterebbe calcolare la autocorrelazione $ Lambda(t) $
$ tau<-2 $ e $ tau>2 $ i due triangoli non si sovrappongono
$ 0
verificando però tale risultato con quello riportato da wolframalpha essi non corrisondono.
Quindi mi sono completamente arenato.

vi allego il link di wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?i=C ... +x%2C+y%5D
EDIT: Ho corretto una svista
Risposte
Se provi a farlo graficamente secondo me ne vieni fuori abbastanza facilmente
Potresti aiutarmi a risolverlo? sono due giorni che non ne vengo a capo ...

Cerca di individuare le traslazioni della funzione blu che ti danno intersezioni significative tra le due funzioni
Scusa ma non capisco perchè consideri entrambi i triangoli? il ragionamento che ho fatto non è corretto ?
considerando l'autocorrelazione del triangolo centrato nell'origine trovo i seguenti estremi di integrazione
per $ -2
$ int_(-1)^(tau+1) (1+x)(1-(x+tau)) dx $
mentre per $ -1
$ int_(tau)^(0) (1+x)(1-(-x+tau)) dx +int_(0)^(tau+1) (1-x)(1-(-x+tau)) dx +int_(tau+1)^(2)(1-x)(1-(-x+tau)) dx $
gli altri due sono identici essendo la funzione pari
considerando l'autocorrelazione del triangolo centrato nell'origine trovo i seguenti estremi di integrazione
per $ -2
mentre per $ -1
gli altri due sono identici essendo la funzione pari
Complimenti, vedo che sei autolesionista
Proviamo con Laplace
Funzione:
\(\Lambda \left ( t-3 \right )+\Lambda \left ( t-3 \right )=2\Lambda \left ( t-3 \right )\)
Preferisco metterla sotto questa forma, risulta più semplice con Laplace:
\(ℒ\left [ 2\Lambda \left ( t-1 \right ) \right ]=\frac{2}{s^{2}}\left ( e^{-s}-1 \right )^{2}\)
Elevo al quadrato e faccio l'antitrasformata:
\(ℒ^{-1}\left [ \frac{4}{s^{4}} \left ( e^{-s} -1\right )^{4}\right ]=\)
\(=\left\{\begin{matrix}
\frac{2}{3}t^{3} & 0\leq t<1 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}&1\leq t<2 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}& 2\leq t<3\\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-3 \right )^{3} &3\leq t<4
\end{matrix}\right.\)
Adesso non ti rimane che traslare la $t$ di $-2$ e sei a posto .

Proviamo con Laplace

Funzione:
\(\Lambda \left ( t-3 \right )+\Lambda \left ( t-3 \right )=2\Lambda \left ( t-3 \right )\)
Preferisco metterla sotto questa forma, risulta più semplice con Laplace:
\(ℒ\left [ 2\Lambda \left ( t-1 \right ) \right ]=\frac{2}{s^{2}}\left ( e^{-s}-1 \right )^{2}\)
Elevo al quadrato e faccio l'antitrasformata:
\(ℒ^{-1}\left [ \frac{4}{s^{4}} \left ( e^{-s} -1\right )^{4}\right ]=\)
\(=\left\{\begin{matrix}
\frac{2}{3}t^{3} & 0\leq t<1 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}&1\leq t<2 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}& 2\leq t<3\\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-3 \right )^{3} &3\leq t<4
\end{matrix}\right.\)
Adesso non ti rimane che traslare la $t$ di $-2$ e sei a posto .

Penso fosse un errore di battitura. La vera funzione penso sia $\Lambda(t-3)+\Lambda(t+3)$
"Flamber":
Penso fosse un errore di battitura. La vera funzione penso sia $\Lambda(t-3)+\Lambda(t+3)$
Si la funzione è questa chiedo scusa non mi sono accorto di averla scritta male.
Comunque la trasformata di Laplace purtroppo non posso utilizzarla al massimo potrei portarlo con Fourier ma una sinc^4 non mi sembra una buona idea

Funzione:
\(x\left ( t \right )=\Lambda \left ( t \right )\)
Integrali da calcolare:
\(A=\int_{-1 }^{\tau +1}\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(B=\int_{-1 }^{ \tau }\left ( t+1 \right )\left (t- \tau +1 \right )dt\)
\(C=\int_{ \tau }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(D=\int_{ 0 }^{ \tau +1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(E=\int_{ \tau -1 }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(F=\int_{ 0 }^{ \tau }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(G=\int_{ \tau }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(H=\int_{ \tau-1 }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
Risultato:
\(R_{xx}\left ( \tau \right )=\left\{\begin{matrix}
A &-2\leq \tau<-1 \\
B+C+D&-1\leq \tau<0 \\
E+F+G&0\leq \tau<1 \\
H& 1\leq \tau<2
\end{matrix}\right.\)
Questo è valido per l'autocorrelazione di un triangolo centrato nello $0$
Lascio a te i calcoli e le traslazioni, buon divertimento
\(x\left ( t \right )=\Lambda \left ( t \right )\)
Integrali da calcolare:
\(A=\int_{-1 }^{\tau +1}\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(B=\int_{-1 }^{ \tau }\left ( t+1 \right )\left (t- \tau +1 \right )dt\)
\(C=\int_{ \tau }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(D=\int_{ 0 }^{ \tau +1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(E=\int_{ \tau -1 }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(F=\int_{ 0 }^{ \tau }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(G=\int_{ \tau }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(H=\int_{ \tau-1 }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
Risultato:
\(R_{xx}\left ( \tau \right )=\left\{\begin{matrix}
A &-2\leq \tau<-1 \\
B+C+D&-1\leq \tau<0 \\
E+F+G&0\leq \tau<1 \\
H& 1\leq \tau<2
\end{matrix}\right.\)
Questo è valido per l'autocorrelazione di un triangolo centrato nello $0$
Lascio a te i calcoli e le traslazioni, buon divertimento
