[Teoria dei Segnali] Calcolo della funzione di autocorrelazione
Salve ho qualche problema nella risoluzione del seguente esercizio:
Calcolare la funzione di autocorrelazione del seguente segnale $ x(t)=Lambda (t+3)+Lambda (t-3) $
dove $ Lambda $ è la finestra triangolare.
Tentativo di risoluzione :
Ho scartato immediatamente l'ipotesi di calcolarlo con la trasformata di fourier vedendo il segnale non me ne sarei uscito più...
Così ho provato nel seguente modo
$ R_x(tau )=R_(x1)(tau )+R_(x2)(tau )+R_(x1*x2)(tau ) $
dove
$ x_1(t)=Lambda (t-3), x_2(t)=Lambda (t+3) $
essendo inoltre l'autocorrelazione invariante per traslazione mi basterebbe calcolare la autocorrelazione $ Lambda(t) $
$ tau<-2 $ e $ tau>2 $ i due triangoli non si sovrappongono
$ 0
verificando però tale risultato con quello riportato da wolframalpha essi non corrisondono.
Quindi mi sono completamente arenato.
vi allego il link di wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?i=C ... +x%2C+y%5D
EDIT: Ho corretto una svista
Calcolare la funzione di autocorrelazione del seguente segnale $ x(t)=Lambda (t+3)+Lambda (t-3) $
dove $ Lambda $ è la finestra triangolare.
Tentativo di risoluzione :
Ho scartato immediatamente l'ipotesi di calcolarlo con la trasformata di fourier vedendo il segnale non me ne sarei uscito più...
Così ho provato nel seguente modo
$ R_x(tau )=R_(x1)(tau )+R_(x2)(tau )+R_(x1*x2)(tau ) $
dove
$ x_1(t)=Lambda (t-3), x_2(t)=Lambda (t+3) $
essendo inoltre l'autocorrelazione invariante per traslazione mi basterebbe calcolare la autocorrelazione $ Lambda(t) $
$ tau<-2 $ e $ tau>2 $ i due triangoli non si sovrappongono
$ 0
verificando però tale risultato con quello riportato da wolframalpha essi non corrisondono.
Quindi mi sono completamente arenato.
vi allego il link di wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?i=C ... +x%2C+y%5D
EDIT: Ho corretto una svista
Risposte
Se provi a farlo graficamente secondo me ne vieni fuori abbastanza facilmente
Potresti aiutarmi a risolverlo? sono due giorni che non ne vengo a capo ... 
È una GIF, ma penso che sul forum non siano supportate. Cliccaci sopra per vedere cosa intendo
Cerca di individuare le traslazioni della funzione blu che ti danno intersezioni significative tra le due funzioni
Scusa ma non capisco perchè consideri entrambi i triangoli? il ragionamento che ho fatto non è corretto ?
considerando l'autocorrelazione del triangolo centrato nell'origine trovo i seguenti estremi di integrazione
per $ -2
mentre per $ -1
gli altri due sono identici essendo la funzione pari
considerando l'autocorrelazione del triangolo centrato nell'origine trovo i seguenti estremi di integrazione
per $ -2
mentre per $ -1
gli altri due sono identici essendo la funzione pari
Complimenti, vedo che sei autolesionista 
Proviamo con Laplace
Funzione:
\(\Lambda \left ( t-3 \right )+\Lambda \left ( t-3 \right )=2\Lambda \left ( t-3 \right )\)
Preferisco metterla sotto questa forma, risulta più semplice con Laplace:
\(ℒ\left [ 2\Lambda \left ( t-1 \right ) \right ]=\frac{2}{s^{2}}\left ( e^{-s}-1 \right )^{2}\)
Elevo al quadrato e faccio l'antitrasformata:
\(ℒ^{-1}\left [ \frac{4}{s^{4}} \left ( e^{-s} -1\right )^{4}\right ]=\)
\(=\left\{\begin{matrix}
\frac{2}{3}t^{3} & 0\leq t<1 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}&1\leq t<2 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}& 2\leq t<3\\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-3 \right )^{3} &3\leq t<4
\end{matrix}\right.\)
Adesso non ti rimane che traslare la $t$ di $-2$ e sei a posto .
Proviamo con Laplace
Funzione:
\(\Lambda \left ( t-3 \right )+\Lambda \left ( t-3 \right )=2\Lambda \left ( t-3 \right )\)
Preferisco metterla sotto questa forma, risulta più semplice con Laplace:
\(ℒ\left [ 2\Lambda \left ( t-1 \right ) \right ]=\frac{2}{s^{2}}\left ( e^{-s}-1 \right )^{2}\)
Elevo al quadrato e faccio l'antitrasformata:
\(ℒ^{-1}\left [ \frac{4}{s^{4}} \left ( e^{-s} -1\right )^{4}\right ]=\)
\(=\left\{\begin{matrix}
\frac{2}{3}t^{3} & 0\leq t<1 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}&1\leq t<2 \\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}& 2\leq t<3\\
\frac{2}{3}t^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-1 \right )^{3}+4\left ( t-2 \right )^{3}-\frac{8}{3}\left ( t-3 \right )^{3} &3\leq t<4
\end{matrix}\right.\)
Adesso non ti rimane che traslare la $t$ di $-2$ e sei a posto .
Penso fosse un errore di battitura. La vera funzione penso sia $\Lambda(t-3)+\Lambda(t+3)$
"Flamber":
Penso fosse un errore di battitura. La vera funzione penso sia $\Lambda(t-3)+\Lambda(t+3)$
Si la funzione è questa chiedo scusa non mi sono accorto di averla scritta male.
Comunque la trasformata di Laplace purtroppo non posso utilizzarla al massimo potrei portarlo con Fourier ma una sinc^4 non mi sembra una buona idea
Funzione:
\(x\left ( t \right )=\Lambda \left ( t \right )\)
Integrali da calcolare:
\(A=\int_{-1 }^{\tau +1}\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(B=\int_{-1 }^{ \tau }\left ( t+1 \right )\left (t- \tau +1 \right )dt\)
\(C=\int_{ \tau }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(D=\int_{ 0 }^{ \tau +1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(E=\int_{ \tau -1 }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(F=\int_{ 0 }^{ \tau }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(G=\int_{ \tau }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(H=\int_{ \tau-1 }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
Risultato:
\(R_{xx}\left ( \tau \right )=\left\{\begin{matrix}
A &-2\leq \tau<-1 \\
B+C+D&-1\leq \tau<0 \\
E+F+G&0\leq \tau<1 \\
H& 1\leq \tau<2
\end{matrix}\right.\)
Questo è valido per l'autocorrelazione di un triangolo centrato nello $0$
Lascio a te i calcoli e le traslazioni, buon divertimento
\(x\left ( t \right )=\Lambda \left ( t \right )\)
Integrali da calcolare:
\(A=\int_{-1 }^{\tau +1}\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(B=\int_{-1 }^{ \tau }\left ( t+1 \right )\left (t- \tau +1 \right )dt\)
\(C=\int_{ \tau }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(D=\int_{ 0 }^{ \tau +1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(E=\int_{ \tau -1 }^{ 0 }\left ( t+1 \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(F=\int_{ 0 }^{ \tau }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
\(G=\int_{ \tau }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( \tau -t+1 \right )dt\)
\(H=\int_{ \tau-1 }^{ 1 }\left ( 1-t \right )\left ( t-\tau +1 \right )dt\)
Risultato:
\(R_{xx}\left ( \tau \right )=\left\{\begin{matrix}
A &-2\leq \tau<-1 \\
B+C+D&-1\leq \tau<0 \\
E+F+G&0\leq \tau<1 \\
H& 1\leq \tau<2
\end{matrix}\right.\)
Questo è valido per l'autocorrelazione di un triangolo centrato nello $0$
Lascio a te i calcoli e le traslazioni, buon divertimento
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