Teoria dei segnali
Ciao a tutti ragazzi avrei bisogno di due dritte per il mio imminente esame di teoria dei segnali.
Come si risolve un esercizio di questo tipo:
Dato un segnale x(t) ad energia finita, quanto vale l'energia di $y(t)=x(t)*e^{j2\pift}$
Io so che l'energia è $E_x=\int_-infty^infty |x(t)|^2 dt$
Non so proprio che ragionamento fare, so anche dall'analisi complessa che $\int_-infty^infty e^{j2\pift} = \delta(f)$ ma non credo mi sia utile.
Grazie mille anticipatamente a tutti quelli che mi aiuteranno
Come si risolve un esercizio di questo tipo:
Dato un segnale x(t) ad energia finita, quanto vale l'energia di $y(t)=x(t)*e^{j2\pift}$
Io so che l'energia è $E_x=\int_-infty^infty |x(t)|^2 dt$
Non so proprio che ragionamento fare, so anche dall'analisi complessa che $\int_-infty^infty e^{j2\pift} = \delta(f)$ ma non credo mi sia utile.
Grazie mille anticipatamente a tutti quelli che mi aiuteranno
Risposte
Forse sono io che ho compreso male, ma ti pongo un quesito: quanto vale la norma del numero $e^{i\theta}$ ?
l'energia di $y(t)$ si calcola (se esiste) come $\int_RR |y(t)|^2 dt = \int_RR |x(t) e^{j2\pi f t}|^2 dt= \int_RR (|x(t)|*|e^{j2\pi ft}|)^2 dt = \int_RR |x(t)|^2 dt$
ska per prima cosa ti ringrazioper la risposta
Continuo a non capire forse perchè non ricordo qualcosa di analisi II / complessa perchè:
$\int(|x(t)|*|e^(j2\pift)|)^2dt$ mi restituisce l'integrale del segnale stesso al quadrato.
Continuo a non capire forse perchè non ricordo qualcosa di analisi II / complessa perchè:
$\int(|x(t)|*|e^(j2\pift)|)^2dt$ mi restituisce l'integrale del segnale stesso al quadrato.
$|e^{j2\pi ft}| = |cos(2\pi ft) + j sin(2\pi ft)| = \sqrt( cos^2(2\pi ft) + sin^2(2\pi ft)) = 1$, un esponenziale complesso con esponente puramente immaginario ha modulo unitario.
Cavolo Ska hai ragione sono proprio un idiota come ho fatto a dimenticare una cosa del genere, io ignoravo il modulo come se il segnale fosse puramente reale ma giustamente è moltiplicato per un esponenziale immaginario il cui modulo vale 1.
Ascolta ne approfitto per un'altra domanda:
stesso esercizio quanto varrebbe invece l'energia di un segnale ritardato x(t-T)?
La mia deduzione è che vale sempre x(t) visto che è solo un anticipo/ritardo, giusto?
Ascolta ne approfitto per un'altra domanda:
stesso esercizio quanto varrebbe invece l'energia di un segnale ritardato x(t-T)?
La mia deduzione è che vale sempre x(t) visto che è solo un anticipo/ritardo, giusto?
sì esatto.... si mostra semplicemente tramite cambio di viariabile $z=t-T$
$\int_RR |x(t- T)|^2 dt = \int_RR |x(z)|^2 dz$
$\int_RR |x(t- T)|^2 dt = \int_RR |x(z)|^2 dz$
"Ska":
sì esatto.... si mostra semplicemente tramite cambio di viariabile $z=t-T$
$\int_RR |x(t- T)|^2 dt = \int_RR |x(z)|^2 dz$
Ok perfetto questo es lo avevo intuito!
Ti ringrazio ancora mi hai chiarito due dubbi in maniera perfetta!
Ragazzi ho ancora un quesito da porvi, sempre teoria dei segnali, argomento sistemi LTI:
TESTO
Allora per prima cosa ho pensato di passare nel dominio delle frequenze vista la semplificazione di dover fare il prodotto anzichè la convoluzione, giusto?
Poi so dalla teoria che quando c'è una sinusoide in ingresso in un sistema LTI anche l'uscita sarà sinusoidale. Ho provato a fare le due trasformate:
$H(f) = 1/(2j)[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]$
$X(f) = sin(\pift)/(\pif)$
dopo di che ho fatto il prodotto:
$H(f)*X(f) = Y(f) = 1/(2j)[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)] * sin(\pift)/(\pif)$
poi non riesco a prolo uguale a 0. Forse ho sbagliato qualcosa nelle deduzioni precedenti? Anche perchè mi chiede quando y(t)=0 e non Y(f)
grazie mille
TESTO
Un sistema LTI ha risposta all'impulso h(t) rettangolare,causale, di ampiezza unitaria e durata T. L'ingresso vale $x(t)=sin(2\pif_0t)$ determinare per quali valori di $f_0$ l'uscita del sistema $y(t)=0$
Allora per prima cosa ho pensato di passare nel dominio delle frequenze vista la semplificazione di dover fare il prodotto anzichè la convoluzione, giusto?
Poi so dalla teoria che quando c'è una sinusoide in ingresso in un sistema LTI anche l'uscita sarà sinusoidale. Ho provato a fare le due trasformate:
$H(f) = 1/(2j)[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]$
$X(f) = sin(\pift)/(\pif)$
dopo di che ho fatto il prodotto:
$H(f)*X(f) = Y(f) = 1/(2j)[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)] * sin(\pift)/(\pif)$
poi non riesco a prolo uguale a 0. Forse ho sbagliato qualcosa nelle deduzioni precedenti? Anche perchè mi chiede quando y(t)=0 e non Y(f)
grazie mille
Effettivamente mi sembra ci sia qualcosa di strano! Se semplifichi un po' quello che hai scritto, mi pare che venga
$Y(f)=\frac{1}{2j}[\sin(\pi f_0 t)/{\pi f_0}-\sin(-\pi f_0 t)/{-\pi f_0}]=0$
e quindi sembra che $Y(f)$ sia identicamente nulla! Però non mi è chiaro il passaggio che fai dal dominio dei tempi a quello delle frequenze. Sono quelli i valori di $H$ e $X$?
$Y(f)=\frac{1}{2j}[\sin(\pi f_0 t)/{\pi f_0}-\sin(-\pi f_0 t)/{-\pi f_0}]=0$
e quindi sembra che $Y(f)$ sia identicamente nulla! Però non mi è chiaro il passaggio che fai dal dominio dei tempi a quello delle frequenze. Sono quelli i valori di $H$ e $X$?
Ciao se leggi in quote nel mio messaggio precedente c'è il testo del problema!
In pratica ho fatto spero correttamente le due trasformate di fourier per passare dal tempo in frequenza
In pratica ho fatto spero correttamente le due trasformate di fourier per passare dal tempo in frequenza
dalla descrizione della $h(t)$ direi che questa si scrive come $rect((t-\Delta)/T)$ con $\Delta >= T/2$, dato che è causale, è di durata T, ed è di ampiezza unitaria.
$H(f) = Tsinc(Tf)e^{-j2\pi f\Delta}$ con $sinc(x) = (sin(\pi x))/(\pi x)$
$X(f) = 1/(2j)[\delta(f-f_0) - \delta(f + f_0)]$
$Y(f) = T/(2j)[sinc(Tf_0)e^{-j2\pi f_0\Delta}\delta(f-f_0) - sinc(-Tf_0)e^{j2\pi f_0\Delta}\delta(f+f_0)]$
Data la parità del $sinc$ quindi $Y(f) = T/(2j)[sinc(Tf_0)e^{-j2\pi f_0\Delta}\delta(f-f_0) - sinc(Tf_0)e^{j2\pi f_0\Delta}\delta(f+f_0)]$
Ora a questo punto ritornando nei tempi si ha $y(t) = Tsinc(Tf_0)sin(2\pi f_0 t - 2\pi f_0\Delta)$
Per avere dunque uscita identicamente nulla, è necessario che $sinc(Tf_0) = 0$ ma questo avviene se $f_0 = k/T$ con $k \in ZZ\\{0}$
$H(f) = Tsinc(Tf)e^{-j2\pi f\Delta}$ con $sinc(x) = (sin(\pi x))/(\pi x)$
$X(f) = 1/(2j)[\delta(f-f_0) - \delta(f + f_0)]$
$Y(f) = T/(2j)[sinc(Tf_0)e^{-j2\pi f_0\Delta}\delta(f-f_0) - sinc(-Tf_0)e^{j2\pi f_0\Delta}\delta(f+f_0)]$
Data la parità del $sinc$ quindi $Y(f) = T/(2j)[sinc(Tf_0)e^{-j2\pi f_0\Delta}\delta(f-f_0) - sinc(Tf_0)e^{j2\pi f_0\Delta}\delta(f+f_0)]$
Ora a questo punto ritornando nei tempi si ha $y(t) = Tsinc(Tf_0)sin(2\pi f_0 t - 2\pi f_0\Delta)$
Per avere dunque uscita identicamente nulla, è necessario che $sinc(Tf_0) = 0$ ma questo avviene se $f_0 = k/T$ con $k \in ZZ\\{0}$
Ok ska credo di aver capito il tuo ragionamento, lo schematizzo così mi dici se ho capito bene?
1. Visualizzo la risposta all'impulso che essendo causale si trova dopo lo zero quindi un porta traslata di $\Delta$
2.Faccio la trasformata di fourier di $h(t)$ ed ottengo $H(f)=Tsinc(Tf)e^(-j2\pi\Delta)$ che poi sarebbe la trasformata di una porta con moltiplicato un esponenziale dovuto all'anticipo/ritardo
3.Faccio la trasformata di $x(t)$
4.Moltiplico essendo in frequenza e ottengo $Y(f)$ con le semplificazioni dovute alla parità del $sinc$ e le proprietà della $\delta$
5.Antitrasformo (che "antitrasformata notevole" hai usato?) la $Y(f)$ per tornare nel tempo
6.Verifico quando si annulla la $y(t)$ e concludo.
1. Visualizzo la risposta all'impulso che essendo causale si trova dopo lo zero quindi un porta traslata di $\Delta$
2.Faccio la trasformata di fourier di $h(t)$ ed ottengo $H(f)=Tsinc(Tf)e^(-j2\pi\Delta)$ che poi sarebbe la trasformata di una porta con moltiplicato un esponenziale dovuto all'anticipo/ritardo
3.Faccio la trasformata di $x(t)$
4.Moltiplico essendo in frequenza e ottengo $Y(f)$ con le semplificazioni dovute alla parità del $sinc$ e le proprietà della $\delta$
5.Antitrasformo (che "antitrasformata notevole" hai usato?) la $Y(f)$ per tornare nel tempo
6.Verifico quando si annulla la $y(t)$ e concludo.
sì, corretto
Per il punto 5, sostanzialmente è un pezzo di dimostrazione applicata del teorema della risposta in frequenza per sistemi reali: dato un sistema LTI con $h(t) \in RR$ si ha che se $x(t) = A*cos(2\pi f_0 t + \phi)$ allora $y(t) = A*|H(f_0)|*cos(2\pi f_0 t + \phi +\angle H(f_0))$.
Questo perchè, essendo $h(t) \in RR$ $h(t) = \bar{h(t)}$ implica $H(-f) = \bar{H(f)}$. Quindi quando hai il prodotto $X(f)H(f)$ ottieni $A/2[H(f_0)e^{j\phi}\delta(f-f0) + H(-f_0)e^{-j\phi}\delta(f+f_0)] = A/2[H(f_0)e^{j\phi}\delta(f-f0) + \bar{H(f_0)e^{j\phi}}\delta(f+f_0)]$ da cui antitrasformando ottieni un qualcosa nella forma $b/2 e^{j2\pi f_0 t} + \bar{b}/2 e^{-j2\pi f_0 t} = |b|cos(2\pi f_0 t + \angle b)$ con $b=A|H(f_0)|e^{j(\phi+ \angle H(f_0))}$
Per il punto 5, sostanzialmente è un pezzo di dimostrazione applicata del teorema della risposta in frequenza per sistemi reali: dato un sistema LTI con $h(t) \in RR$ si ha che se $x(t) = A*cos(2\pi f_0 t + \phi)$ allora $y(t) = A*|H(f_0)|*cos(2\pi f_0 t + \phi +\angle H(f_0))$.
Questo perchè, essendo $h(t) \in RR$ $h(t) = \bar{h(t)}$ implica $H(-f) = \bar{H(f)}$. Quindi quando hai il prodotto $X(f)H(f)$ ottieni $A/2[H(f_0)e^{j\phi}\delta(f-f0) + H(-f_0)e^{-j\phi}\delta(f+f_0)] = A/2[H(f_0)e^{j\phi}\delta(f-f0) + \bar{H(f_0)e^{j\phi}}\delta(f+f_0)]$ da cui antitrasformando ottieni un qualcosa nella forma $b/2 e^{j2\pi f_0 t} + \bar{b}/2 e^{-j2\pi f_0 t} = |b|cos(2\pi f_0 t + \angle b)$ con $b=A|H(f_0)|e^{j(\phi+ \angle H(f_0))}$
Si ricordo la dimostrazione fatta a lezione ora me la vado a riguardare per bene sulle dispense.
Grazie ancora Ska
Grazie ancora Ska
Ho un'altra domanda su un altro esercizio ragazzi, Sempre sui sistemi LTI, riesco a fare tutto ma sono in dubbio sulla trasformata di questo segnale:
$x(t)=2sin^2(\pit/T)$
Io ho pensato alla trasformata nota: $T[sin(\pit/T)/(\pit)]^2$ che da come trasformata $tri(fT)$
Ho pensato di applicare scalamento e altre proprietà ma non riesco ad arrivare importo o almeno a me viene $2/(\pi^2t^2)*tri(fT/(\pi^2t^2))$ che dubito fortemente sia corretta, qualcuno mi può spiegare passo per passo come farla o che proprietà usare sto uscendo pazzo....
$x(t)=2sin^2(\pit/T)$
Io ho pensato alla trasformata nota: $T[sin(\pit/T)/(\pit)]^2$ che da come trasformata $tri(fT)$
Ho pensato di applicare scalamento e altre proprietà ma non riesco ad arrivare importo o almeno a me viene $2/(\pi^2t^2)*tri(fT/(\pi^2t^2))$ che dubito fortemente sia corretta, qualcuno mi può spiegare passo per passo come farla o che proprietà usare sto uscendo pazzo....
no no no... la proprietà di riscalamento è ben diversa.... Dato $\alpha \in RR$ $\mathcal{F}[x(\alpha t)](f) = 1/{|\alpha|} X(f/\alpha)$, $\alpha$ è un numero fissato non una variabile, e attenzione è reale, non può essere complesso!
Per risolvere quella trasformata, hai due strade:
1. ricordando un po' di formule trigonometriche (bisezione in questo caso) $x(t) = 2sin^2(\pi t/T) = 2* (1-cos(2\pi t/T))/2 = 1 - cos(2\pi t/T)$, da cui $X(f) = \delta(f) - 1/2\delta(f - 1/T) - 1/2\delta(f + 1/T)$
2. $x(t) = 2*sin(\pi t/T)*sin(\pi t/T)$, quindi trasformando si avrà $X(f) = 2*[\mathcal{F}[sin(\pi t/T)](f)\star\mathcal{F}[sin(\pi t/T)](f)]$ ed essendo $\mathcal{F}[sin(\pi t/T)](f) = 1/(2j)[\delta(f-1/(2T)) - \delta(f + 1/(2T))]$ risulta
$[\delta(f-1/(2T)) - \delta(f + 1/(2T))] \star [\delta(f-1/(2T)) - \delta(f + 1/(2T))] = \delta(f - 1/(2T))\star\delta(f - 1/(2T)) -2 \delta(f - 1/(2T))\star\delta(f + 1/(2T)) + \delta(f +1/(2T))\star\delta(f + 1/(2T)) = \delta(f - 1/T) - 2\delta(f) +\delta(f + 1/T)$
avevamo poi i coefficienti $2 * 1/(2j) * 1/(2j) = -1/2$ quindi $X(f) = \delta(f) - 1/2\delta(f - 1/T) - 1/2\delta(f + 1/T)$
Per risolvere quella trasformata, hai due strade:
1. ricordando un po' di formule trigonometriche (bisezione in questo caso) $x(t) = 2sin^2(\pi t/T) = 2* (1-cos(2\pi t/T))/2 = 1 - cos(2\pi t/T)$, da cui $X(f) = \delta(f) - 1/2\delta(f - 1/T) - 1/2\delta(f + 1/T)$
2. $x(t) = 2*sin(\pi t/T)*sin(\pi t/T)$, quindi trasformando si avrà $X(f) = 2*[\mathcal{F}[sin(\pi t/T)](f)\star\mathcal{F}[sin(\pi t/T)](f)]$ ed essendo $\mathcal{F}[sin(\pi t/T)](f) = 1/(2j)[\delta(f-1/(2T)) - \delta(f + 1/(2T))]$ risulta
$[\delta(f-1/(2T)) - \delta(f + 1/(2T))] \star [\delta(f-1/(2T)) - \delta(f + 1/(2T))] = \delta(f - 1/(2T))\star\delta(f - 1/(2T)) -2 \delta(f - 1/(2T))\star\delta(f + 1/(2T)) + \delta(f +1/(2T))\star\delta(f + 1/(2T)) = \delta(f - 1/T) - 2\delta(f) +\delta(f + 1/T)$
avevamo poi i coefficienti $2 * 1/(2j) * 1/(2j) = -1/2$ quindi $X(f) = \delta(f) - 1/2\delta(f - 1/T) - 1/2\delta(f + 1/T)$
Per i moderatori: secondo me questo è un post che andrebbe nella sezione Ingegneria...
Oggi ho la testa fra le nuvole sto facendo una confusione pazzesca... Ti ringrazio ancora per la dritta, meglio spezzarla in due per me.
EDIT:Spezzandola in due sono riuscito ad arrivare anche in fondo all'esercizio ed è corretto
EDIT:Spezzandola in due sono riuscito ad arrivare anche in fondo all'esercizio ed è corretto
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