Teoria dei segnali
Dimostrare che vale l'approssimazione:
$e^(j2pihsum_(k)(a_(k)q(t-kT))) ~ sum_(k) (b_(2k)h_0(t-2kT)) +jsum_(k) (b_(2k+1)h_0(t-2kT-T))$
con $h=1/2$, $a_(k) = +-1$, $q(t)$ qualsiasi e $q(t)=1/2$ per $t>=T$, $T$ passo di campionamento, $j=sqrt(-1)$. Determinare inoltre l'espressione dei $b_(k)$ in funzione degli $a_(k)$.
Questo è un problema carino che mostra come una modulazione di fase possa approssimarsi con una modulazione di ampiezza. Vediamo chi ci prova.
$e^(j2pihsum_(k)(a_(k)q(t-kT))) ~ sum_(k) (b_(2k)h_0(t-2kT)) +jsum_(k) (b_(2k+1)h_0(t-2kT-T))$
con $h=1/2$, $a_(k) = +-1$, $q(t)$ qualsiasi e $q(t)=1/2$ per $t>=T$, $T$ passo di campionamento, $j=sqrt(-1)$. Determinare inoltre l'espressione dei $b_(k)$ in funzione degli $a_(k)$.
Questo è un problema carino che mostra come una modulazione di fase possa approssimarsi con una modulazione di ampiezza. Vediamo chi ci prova.
Risposte
Carino.
Sinceramente non saprei proprio da dove iniziare, ma sarei molto interessato alla soluzione.
Sinceramente non saprei proprio da dove iniziare, ma sarei molto interessato alla soluzione.
Non posto subito la soluzione, vediamo cosa esce fuori. Se qualcuno la risolve ho già pronto la domanda evoluzione 
Ha qualcosa a che vedere con il ricevitore di Armstrong?
Può darsi, ma sinceramente non riesco ad associare nessun Armstrong ai ricevitori... puoi colmarmi questa lacuna?
Il ricevitore di Armstrong riceve in ingresso un segnale modulante $s(t)$ ed opera in questo modo:
la portante $V_0cos(2 \pi f_0t)$ viene mandata ad un nodo sommatore e ad un nodo moltiplicatore sfasata di 90°.
Al nodo moltiplicatore viene eseguita la moltiplicazione fra la portante sfasata e $s(t)*k_p$, dove $k_p$ è l'indice di sensitività della modulazione PM.
C'è da dire che il ricevitore di Armstrong funziona con indici di modulazione piccoli, quindi si deve supporre $k_p \<\< 1$.
Il segnale $s(t)*k_p*V_0*sin(2 \pi f_0t)$ in uscita dal nodo moltiplicatore viene mandato al nodo sommatore, e in uscita a tale nodo si ha questo segnale:
$s(t)*k_p*V_0*sin(2 \pi f_0t) + V_0*cos(2 \pi f_0t)$.
Questo segnale si può scrivere come $R(t)*cos(2\pi f_0t + \theta(t)$.
L'inviluppo risulta: $R(t)=V_0*sqrt(1+s^2(t)*k_p^2)$ mentre la fase $\theta(t) = arctg( \frac{V_0*s(t)*k_p}{V_0} )=arctg(k_p*s(t))$.
Per $x \rightarrow 0$ si ha $arctg(x) \approx x$, quindi la fase si può scrivere come: $\theta(t) = k_p * s(t)$.
Guardando l'inviluppo il segnale risulta modulato in ampiezza, guardando la fase invece risulta modulato in fase.
Questa è l'unica cosa che mi è venuta in menta che metta in relazione una modulazione AM con un PM.
la portante $V_0cos(2 \pi f_0t)$ viene mandata ad un nodo sommatore e ad un nodo moltiplicatore sfasata di 90°.
Al nodo moltiplicatore viene eseguita la moltiplicazione fra la portante sfasata e $s(t)*k_p$, dove $k_p$ è l'indice di sensitività della modulazione PM.
C'è da dire che il ricevitore di Armstrong funziona con indici di modulazione piccoli, quindi si deve supporre $k_p \<\< 1$.
Il segnale $s(t)*k_p*V_0*sin(2 \pi f_0t)$ in uscita dal nodo moltiplicatore viene mandato al nodo sommatore, e in uscita a tale nodo si ha questo segnale:
$s(t)*k_p*V_0*sin(2 \pi f_0t) + V_0*cos(2 \pi f_0t)$.
Questo segnale si può scrivere come $R(t)*cos(2\pi f_0t + \theta(t)$.
L'inviluppo risulta: $R(t)=V_0*sqrt(1+s^2(t)*k_p^2)$ mentre la fase $\theta(t) = arctg( \frac{V_0*s(t)*k_p}{V_0} )=arctg(k_p*s(t))$.
Per $x \rightarrow 0$ si ha $arctg(x) \approx x$, quindi la fase si può scrivere come: $\theta(t) = k_p * s(t)$.
Guardando l'inviluppo il segnale risulta modulato in ampiezza, guardando la fase invece risulta modulato in fase.
Questa è l'unica cosa che mi è venuta in menta che metta in relazione una modulazione AM con un PM.
Però quella è una modulazione analogica. Anche se il concetto di usare 2 portanti in quadratura c'è... ma se noti bene non solo le portanti sono in quadratura ma...
"luca.barletta":
Però quella è una modulazione analogica. Anche se il concetto di usare 2 portanti in quadratura c'è... ma se noti bene non solo le portanti sono in quadratura ma...
È vero, avevo letto il testo un po' troppo alla svelta...
Dimostrare che vale l'approssimazione:
$e^(j2pihsum_(k)(a_(k)q(t-kT))) ~ sum_(k) (b_(2k)h(t-2kT)) +jsum_(k) (b_(2k+1)h(t-2T-T))$
con $h=1/2$, $a_(k) = +-1$, $q(t)$ qualsiasi, $T$ passo di campionamento, $j=sqrt(-1)$. Determinare inoltre l'espressione dei $b_(k)$ in funzione degli $a_(k)$.
Scusa, forse non ho capito bene la scrittura: $h$ è una costante?
Te lo chiedo perchè nel secondo membro la scrivi come fosse una funzione ($h(t-kT)$)
Inoltre penso che ci sia un errore di battitura nel secondo addendo: manca forse una $k$ moltiplicata per $2T$?
grazie per la segnalazione, ora modifico
Vergognoso+spudorato up da fine giugno ad oggi...
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