Teorema del campionamento [teoria dei segnali]
Dato un segnale continuo nel tempo $x(t)$, l'operazione di campionamento associa a $x(t)$ il segnale tempo discreto ottenuto dai valori che $x(t)$ asssume negli istanti di campionamento $t_n=nT,n\in Z$. Sotto opportune
ipotesi posso ricostruire ESATTAMENTE il segnale partendo dai campioni ${x(nT)}$. Fino a qua è chiaro.
A questo punto, nell'effettuare il campionamento (ideale), moltiplico il segnale per una successione di impulsi
di Dirac equispaziati di un periodo $T$, ottenendo
$x(t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)$
Ciò che non mi rende convinto è che viene sottolineato il fatto che il segnale così ottenuto
è analogico. Per quello che immagino io dovrei ottenere delle "lineette" verticali (in corrispondenza delle delta) equispaziate
di $T$. Perché questo è un segnale analogico?
ipotesi posso ricostruire ESATTAMENTE il segnale partendo dai campioni ${x(nT)}$. Fino a qua è chiaro.
A questo punto, nell'effettuare il campionamento (ideale), moltiplico il segnale per una successione di impulsi
di Dirac equispaziati di un periodo $T$, ottenendo
$x(t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)$
Ciò che non mi rende convinto è che viene sottolineato il fatto che il segnale così ottenuto
è analogico. Per quello che immagino io dovrei ottenere delle "lineette" verticali (in corrispondenza delle delta) equispaziate
di $T$. Perché questo è un segnale analogico?
Risposte
[xdom="JoJo_90"]@PAndre@: come previsto dal regolamento della sezione sarebbe utile se inserissi nel titolo del tuo post, fra parentesti quadre, la materia.
Grazie.[/xdom]
Grazie.[/xdom]
Non è un segnale analogico, è un segnale campionato e basta.
Concordo con Gabriele: per quanto mi riguarda, quello lì è un segnale discreto, dato che dipende da una variabile intera (quindi tutt'altro che analogico).
Onde evitare malintesi, copio direttamente dal libro:
Dato un segnale continuo nel tempo $x(t)$, l'operazione di campionamento associa a $x(t)$ il segnale tempo discreto ottenuto dai valori che $x(t)$ asssume negli istanti di campionamento $t_n=nT,n\in Z$.
La quantità $T$ è detta periodo di campionamento, mentre ${x(nT)}$ sono campioni del segnale.
Sotto opportune ipotesi è possibile ricostruire ESATTAMENTE il segnale partendo dai campioni ${x(nT)}$. Per dimostrare ciò è conveniente introdurre la funzione periodica $p(t)$ costituitta da una successione di impulsi di Dirac equispaziati di un periodo $T$, definita da
$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)$.
Sia $x_c(t)$ la funzione definita da
$x_c(t)=p(t)x(t)=x(t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)$
Si noti che la funzione $x_c(t)$ è una funzione a tempo continuo, anche se dipendente solo dai valori che
$x(t)$ assume su un insieme tempo-discreto di punti. E' quindi possibile applicare a $x_c(t)$ la trasformata di
Fourier definita per segnali a tempo continuo.
Dato un segnale continuo nel tempo $x(t)$, l'operazione di campionamento associa a $x(t)$ il segnale tempo discreto ottenuto dai valori che $x(t)$ asssume negli istanti di campionamento $t_n=nT,n\in Z$.
La quantità $T$ è detta periodo di campionamento, mentre ${x(nT)}$ sono campioni del segnale.
Sotto opportune ipotesi è possibile ricostruire ESATTAMENTE il segnale partendo dai campioni ${x(nT)}$. Per dimostrare ciò è conveniente introdurre la funzione periodica $p(t)$ costituitta da una successione di impulsi di Dirac equispaziati di un periodo $T$, definita da
$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)$.
Sia $x_c(t)$ la funzione definita da
$x_c(t)=p(t)x(t)=x(t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t-nT)$
Si noti che la funzione $x_c(t)$ è una funzione a tempo continuo, anche se dipendente solo dai valori che
$x(t)$ assume su un insieme tempo-discreto di punti. E' quindi possibile applicare a $x_c(t)$ la trasformata di
Fourier definita per segnali a tempo continuo.
Detto in maniera semplice, il libro intende dire che il segnale campionato è nullo dove non ci sono i campioni e quindi puoi considerarlo come un segnale a tempo continuo.
mi viene difficile capire questa cosa; in tal modo tutti i segnali a tempo-discreto possono essere considerati tempo-continui in quanto saranno nulli in determinati istanti di tempo?
Ci sono in gioco tre distinzioni da fare:
(1) Segnale originale \( x \);
(2) Successione dei campioni \( \lbrace x(nT) \rbrace_{n \in \mathbb{Z}} \);
(3) Segnale campionato \( x_c \).
Quello che ho scritto qui:
è in realtà riferito alla successione dei campioni, cioè non ho risposto alla tua domanda.
Tu consideri un segnale \( x \) e di questo segnale ne fai un campionamento, ossia consideri il segnale a tempo discreto \( \lbrace x(nT) \rbrace_{n \in \mathbb{Z}} \). A questo punto, puoi esprimere il segnale campionato in maniera formale con la scrittura
\[ x_c = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \delta_{nT} \]
che non è altro che un treno di impulsi equispaziati di \( T \) (periodo di campionamento). Quest'ultimo è un segnale analogico.
Se vuoi capire da un punto di vista formale il perché di questa affermazione, è necessario precisare che in realtà \( x_c \) è una distribuzione e non una funzione del tempo.
Da un punto di vista intuitivo, invece, si tratta semplicemente di vedere che il segnale è nullo dove non ci sono i campioni, quindi non è che non esiste dove non ci sono i campioni, semplicemente in quei casi è nullo. In definitiva è un segnale analogico.
Ti è più chiaro così?
(1) Segnale originale \( x \);
(2) Successione dei campioni \( \lbrace x(nT) \rbrace_{n \in \mathbb{Z}} \);
(3) Segnale campionato \( x_c \).
Quello che ho scritto qui:
"Riccardo Desimini":
Concordo con Gabriele: per quanto mi riguarda, quello lì è un segnale discreto, dato che dipende da una variabile intera (quindi tutt'altro che analogico).
è in realtà riferito alla successione dei campioni, cioè non ho risposto alla tua domanda.
Tu consideri un segnale \( x \) e di questo segnale ne fai un campionamento, ossia consideri il segnale a tempo discreto \( \lbrace x(nT) \rbrace_{n \in \mathbb{Z}} \). A questo punto, puoi esprimere il segnale campionato in maniera formale con la scrittura
\[ x_c = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \delta_{nT} \]
che non è altro che un treno di impulsi equispaziati di \( T \) (periodo di campionamento). Quest'ultimo è un segnale analogico.
Se vuoi capire da un punto di vista formale il perché di questa affermazione, è necessario precisare che in realtà \( x_c \) è una distribuzione e non una funzione del tempo.
Da un punto di vista intuitivo, invece, si tratta semplicemente di vedere che il segnale è nullo dove non ci sono i campioni, quindi non è che non esiste dove non ci sono i campioni, semplicemente in quei casi è nullo. In definitiva è un segnale analogico.
Ti è più chiaro così?
Se vogliamo proprio parlare di segnale analogico (che secondo me comunque non è), cioè una funzione continua nel tempo, allora è bene specificare che un segnale campionato può essere inteso come una funzione continua a.e. che è un concetto che ha certe premesse e fa parte di un particolare contesto.
che significa a.e.?
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