[Telecomunicazioni, Elettronica] Linee di trasmissione - Calcolo potenza attiva dissipata sul carico
Siamo in presenza di una linea di trasmissione, la cui impedenza caratteristica è $Z_0$, lunga $L$ composta da un generatore di tensione sinusoidale $V_g$, il quale ha una impedenza interna pari a $Z_g$, chiusa su un carico $Z_L$. Supponiamo inoltre di porre l'origine in corrispondenza del carico $Z_L$. Si voglia determinare la potenza attiva dissipata sul carico.
Sappiamo che la tensione lungo una linea di trasmissione senza perdite è esprimibile come $V(z)=V_+e^(-j\beta z)(1+\rho(z))$ dove
$\rho(z)=\rho_Le^(j2\beta z)$ è il coefficiente di riflessione e
$\rho_L=\rho(0)=V_-/V_+$ è il rapporto tra l'intensità dell'onda riflessa e quella dell'onda diretta in corrispondenza del carico, mentre
$\beta=\omega sqrt(LC)=2\pi/\lambda$.
La potenza attiva dissipata sul carico, che, essendo la linea senza perdite, è uguale alla potenza attiva erogata sarà pari a
$P=Re[1/2V\bar{I}]=1/2|V_+|^2/Z_0(1-|\rho_(L)|^2)$.
Il problema dunque si riconduce alla determinazione di $|V_+|$.
Il modo più rapido che mi viene in mente è ricavare, utilizzando la Carta di Smith, l'impedenza e il coefficiente di riflessione in corrispondenza della sezione di ingresso, $Z(-L)$ e $\rho(-L)$, e applicare la legge di Kirchhoff alla maglia di ingresso:
$V_(g)(Z(-L))/(Z(-L)+Z_g) = V_+e^(j\beta L)(1+\rho(-L))$ da cui $|V_+|= |V_g| |(Z(-L))/(Z(-L)+Z_g)|1/|1+\rho(-L)|$.
Il problema di questo procedimento è che occorre calcolare i moduli di tutte le quantità complesse, il che richiede una quantità di tempo relativamente elevata...esiste secondo voi un modo più rapido per ricavare un la potenza attiva, o $|V_+|$?
Volendo assegnare dei valori alle quantità date: $Z_L=100\Omega$, $Z_0=50\Omega$, $V_(g)=28V$ di picco, $Z_g=50\Omega$, $L=1.2\lambda$, con cui ottengo $Z(-L)=27.5-j11.5$ e $\rho(-L)=1/3e^(-j142°)$, ricavo $|V_+|\approx 13.83 V$.
Utilizzando un programma di simulazione (ad esempio TR Line) ottengo invece $|V_+|=14V$ un valore molto più "rotondo" ma soprattutto pari a $|V_g/2|$...è soltanto un caso, o esiste effettivamente un metodo più rapido per calcolare $|V_+|$?
Sappiamo che la tensione lungo una linea di trasmissione senza perdite è esprimibile come $V(z)=V_+e^(-j\beta z)(1+\rho(z))$ dove
$\rho(z)=\rho_Le^(j2\beta z)$ è il coefficiente di riflessione e
$\rho_L=\rho(0)=V_-/V_+$ è il rapporto tra l'intensità dell'onda riflessa e quella dell'onda diretta in corrispondenza del carico, mentre
$\beta=\omega sqrt(LC)=2\pi/\lambda$.
La potenza attiva dissipata sul carico, che, essendo la linea senza perdite, è uguale alla potenza attiva erogata sarà pari a
$P=Re[1/2V\bar{I}]=1/2|V_+|^2/Z_0(1-|\rho_(L)|^2)$.
Il problema dunque si riconduce alla determinazione di $|V_+|$.
Il modo più rapido che mi viene in mente è ricavare, utilizzando la Carta di Smith, l'impedenza e il coefficiente di riflessione in corrispondenza della sezione di ingresso, $Z(-L)$ e $\rho(-L)$, e applicare la legge di Kirchhoff alla maglia di ingresso:
$V_(g)(Z(-L))/(Z(-L)+Z_g) = V_+e^(j\beta L)(1+\rho(-L))$ da cui $|V_+|= |V_g| |(Z(-L))/(Z(-L)+Z_g)|1/|1+\rho(-L)|$.
Il problema di questo procedimento è che occorre calcolare i moduli di tutte le quantità complesse, il che richiede una quantità di tempo relativamente elevata...esiste secondo voi un modo più rapido per ricavare un la potenza attiva, o $|V_+|$?
Volendo assegnare dei valori alle quantità date: $Z_L=100\Omega$, $Z_0=50\Omega$, $V_(g)=28V$ di picco, $Z_g=50\Omega$, $L=1.2\lambda$, con cui ottengo $Z(-L)=27.5-j11.5$ e $\rho(-L)=1/3e^(-j142°)$, ricavo $|V_+|\approx 13.83 V$.
Utilizzando un programma di simulazione (ad esempio TR Line) ottengo invece $|V_+|=14V$ un valore molto più "rotondo" ma soprattutto pari a $|V_g/2|$...è soltanto un caso, o esiste effettivamente un metodo più rapido per calcolare $|V_+|$?
Risposte
Pensandoci un po' su qualcosa ho trovato! 
Esprimendo il valore di $\rho(-L)$ in funzione dell'impedenza $Z(-L)$, ancora meglio se normalizziamo tutti i valori, e definendo:
$z(-L)=(Z(-L))/Z_0$, $z_(g)=Z_(g)/Z_0$ e ricordando che
$\rho(-L)=(z(-L)-1)/(z(-L)+1)$, dopo alcuni passaggi si ottiene:
$|V_+|=1/2 |(z(-L)+1)/(z(-L)+z_(g))V_g|$ risultato che è valido SEMPRE!
La formula ricavata permette dunque di ricavare immediatamente il valore di $|V_+|$ a partire dalla conoscenza di $V_g$,$Z(-L)$,$Z_0$ e $Z_g$ e in particolare risulta $|V_+|=1/2|V_(g)| $ quando $Z_(g)=Z_0$
Perdonatemi se ho sfiorato l'ovvio, ma non ho trovato nulla a riguardo su libri e dispense
Esprimendo il valore di $\rho(-L)$ in funzione dell'impedenza $Z(-L)$, ancora meglio se normalizziamo tutti i valori, e definendo:
$z(-L)=(Z(-L))/Z_0$, $z_(g)=Z_(g)/Z_0$ e ricordando che
$\rho(-L)=(z(-L)-1)/(z(-L)+1)$, dopo alcuni passaggi si ottiene:
$|V_+|=1/2 |(z(-L)+1)/(z(-L)+z_(g))V_g|$ risultato che è valido SEMPRE!
La formula ricavata permette dunque di ricavare immediatamente il valore di $|V_+|$ a partire dalla conoscenza di $V_g$,$Z(-L)$,$Z_0$ e $Z_g$ e in particolare risulta $|V_+|=1/2|V_(g)| $ quando $Z_(g)=Z_0$
Perdonatemi se ho sfiorato l'ovvio, ma non ho trovato nulla a riguardo su libri e dispense
Per me l'argomento è praticamente ruggine, comunque nel mio libro (adattando alla tua notazione) trovo
\(\displaystyle V_+ = \left(\frac{V_g Z(-L)}{Z_g + Z(-L)}\right)\left(\frac{1}{e^{j \beta L} + \rho_L e^{-j \beta L}}\right) \)
Penso che puoi divertirti a vedere quanto vale in casi particolari. Se \(\displaystyle Z_g = Z_0 \) non mi sembra necessariamente vero che $|V_+| = \frac{1}{2} |V_g|$, come vedi dipende anche dal carico e dalla lunghezza della linea: non fatico a credere che ci siano valori particolari tali per cui, ad esempio, $|V_+| = \frac{1}{2} |V_g|$.
Il modulo lo puoi fare tutto insieme alla fine se ti dà problemi, ricorda che $|z||w| = |z w| $
\(\displaystyle V_+ = \left(\frac{V_g Z(-L)}{Z_g + Z(-L)}\right)\left(\frac{1}{e^{j \beta L} + \rho_L e^{-j \beta L}}\right) \)
Penso che puoi divertirti a vedere quanto vale in casi particolari. Se \(\displaystyle Z_g = Z_0 \) non mi sembra necessariamente vero che $|V_+| = \frac{1}{2} |V_g|$, come vedi dipende anche dal carico e dalla lunghezza della linea: non fatico a credere che ci siano valori particolari tali per cui, ad esempio, $|V_+| = \frac{1}{2} |V_g|$.
Il modulo lo puoi fare tutto insieme alla fine se ti dà problemi, ricorda che $|z||w| = |z w| $
Perdonami, ma la formula che hai postato non sembra tanto diversa dalla mia
Infatti raccogliendo al secondo fattore per $e^(j\beta L )$ si ottiene
$V_+=(V_(g)(Z(-L))/(Z(-L)+Z_(g)))(1/(e^(j\beta L)(1+\rho_(L) e^(-j2\beta L))))$ da cui, usando le
$\rho(z)=\rho_(L)e^(j2\beta z)= (Z(z) - Z_0)/(Z(z)+Z_(0))$ per $z=-L$ si ottiene:
$V_+=(V_(g)(Z(-L))/(Z(-L)+Z_(g)))(1/(e^(j\beta L)(1+(Z(-L)-Z_0)/(Z(-L)+Z_0))))$ da cui ancora, effettuando le somme al denominatore del secondo fattore
$V_+=(V_(g))/(e^(j\beta L))((Z(-L))/(Z(-L)+Z_(g)))((Z(-L)+Z_(0))/(2Z(-L)))$
e mi sembra che tutti i passaggi fatti siano leciti, dunque quest'ultima espressione e la tua sono equivalenti. $V_+$ è vero che dipende da $L$, ma non dal carico e sostituendo appunto $Z_(g)=Z_0$ il prodotto dei due termini tra parentesi dovrebbe essere $1/2$, indipendentemente dal valore di $Z(-L)$. In quel caso la lunghezza della linea influisce sulla fase, ma non sul modulo di $V_+$ essendo $L$ presente solo nell'esponenziale...o sbaglio qualche passaggio?
"elgiovo":
\( \displaystyle V_+ = \left(\frac{V_g Z(-L)}{Z_g + Z(-L)}\right)\left(\frac{1}{e^{j \beta L} + \rho_L e^{-j \beta L}}\right) \)
Infatti raccogliendo al secondo fattore per $e^(j\beta L )$ si ottiene
$V_+=(V_(g)(Z(-L))/(Z(-L)+Z_(g)))(1/(e^(j\beta L)(1+\rho_(L) e^(-j2\beta L))))$ da cui, usando le
$\rho(z)=\rho_(L)e^(j2\beta z)= (Z(z) - Z_0)/(Z(z)+Z_(0))$ per $z=-L$ si ottiene:
$V_+=(V_(g)(Z(-L))/(Z(-L)+Z_(g)))(1/(e^(j\beta L)(1+(Z(-L)-Z_0)/(Z(-L)+Z_0))))$ da cui ancora, effettuando le somme al denominatore del secondo fattore
$V_+=(V_(g))/(e^(j\beta L))((Z(-L))/(Z(-L)+Z_(g)))((Z(-L)+Z_(0))/(2Z(-L)))$
e mi sembra che tutti i passaggi fatti siano leciti, dunque quest'ultima espressione e la tua sono equivalenti. $V_+$ è vero che dipende da $L$, ma non dal carico e sostituendo appunto $Z_(g)=Z_0$ il prodotto dei due termini tra parentesi dovrebbe essere $1/2$, indipendentemente dal valore di $Z(-L)$. In quel caso la lunghezza della linea influisce sulla fase, ma non sul modulo di $V_+$ essendo $L$ presente solo nell'esponenziale...o sbaglio qualche passaggio?
No, mi sembra giusto 
E' che non mi ricordavo di questo fatto (sai, la ruggine...):
\(\displaystyle \rho(z) = \rho_L e^{j 2\beta z}\)
E' che non mi ricordavo di questo fatto (sai, la ruggine...):
\(\displaystyle \rho(z) = \rho_L e^{j 2\beta z}\)
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