Stabilità Nyquist

[claudio_p88]

$F(s)=frac{10-s}{(s+10)(s^2+s+1)}$
Si studi con nyquist la stabilità del sistema controrezionato con guadagno di anello k, si verifichi il risultato con Routh.
Allora dovrei avere;
modulo iniziale = $20log(1)=0$ fase iniziale =0
$z_1=10$ zero positivo modulo :+20dB fase:-90
$p_1=-10$ polo negativo modulo:-20dB fase:-90
$p_{2,3}=-frac{1}{2}+isqrt3$ poli complessi e coniugati parte reale negativa, modulo:-40dB fase:-180,
Ora ho provato a guardarmi un po' di teoria sul diagramma di nyquist, ma ho qualche difficoltà nel tracciamento di tale diagramma.
ho che $|G(0)|=1$ e $phi(0) = 0$, fase iniziale = 0, e $|G(infty)|=0$ e $phi(infty)=-360$,
quello che mi chiedo, è dovrebbe il diagramma di nyquist partire a 0 e concludersi nel primo quadrante, con un tracciamento orario, poichè la fase finale è -360?
Inoltre poichè F(s) non presenta poli con parte reale positiva, il sistema per essere stabile, non deve compiere nessun giro intorno al punto -1+0j.
Ora per sapere se il diagramma circonda tale punto scrivo F(s) come $F(jw)=frac{w^4-121w^2+100}{(100+w^2)((1-w^2)^2+w^2)}+i (frac{21w^3-120w}{(100+w^2)((1-w^2)^2+w^2)})$ e impongo che la parte immaginaria sia = 0?

[D4lF4zZI0]

Allora, si ha:
$ F(jomega)=(omega^4-121omega^2+100)/(omega^6+99omega^4+99omega^2+100)+j(21omega^3-120omega)/(omega^6+99omega^4+99omega^2+100) $
Da cui si vede che:
1) $F(0)=1$;
2) $ { ( lim_(omega -> +oo)Re{F(jomega)} = lim_(omega -> +oo) (omega^4-121omega^2+100)/(omega^6+99omega^4+99omega^2+100)=0),( lim_(omega -> +oo)Im{F(jomega)} = lim_(omega -> +oo) (21omega^3-120omega)/(omega^6+99omega^4+99omega^2+100)=0) :} $;
3) $ Im{F(jomega)}=0hArr 21omega^3-120omega=0 rArr { ( omega=0 (rad)/s ),( 21omega^2-120=0 ):} $
Poichè la prima soluzione è già stata analizzata al punto 2, resta da analizzare la seconda condizione:
$ 21omega^2-120=0 rArr omega~= +-2.39 (rad)/s $ a cui corrisponde $ Re{F(j2.39)}~= -0,16 $
Questi punti sono sufficienti a capire la stabilità del sistema a ciclo chiuso

[claudio_p88]

Il diagramma dovrebbe essere tracciato in questo modo?

[D4lF4zZI0]

Si

[claudio_p88]

Ok, quindi il sistema è asintoticamente stabile, l'esercizio però mi chiede di studiare la stabilità del sistema con guadagno di anello k prima con Nyquist e poi verificare il risultato con Routh, non riesco a capire come legare le cose, visto che con Routh ho che:
$frac{F(s)}{F(s)+1}=frac{k(10-s)}{(10+s)(1+s^2+s)+k(10-s)}$ ora il sistema è asintoticamente stabile se tutti i termini della prima colonna della matrice di Routh sono tutti positivi. abbiamo $pl(frac{F(s)}{F(s)+1})=s^3+11s^2+s(11-k)+10+10k$, la matrice di Routh è:
$((1,11-k),(11,10+10k),(-frac{10+10k}{11}+11-k,0),(10+10k,0))$, dunque il sistema è asintoticamente stabile per $-1

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[kobrabyte]

ciao,
se ho ben capito il problema, utilizzando il criterio sulla stabilità di Nyquist:
Numero di giri (nel diagramma) in senso antiorario intorno al punto (-1,jw)= Numero di poli a parte reale positiva,
se questa condizione non è rispettata il sistema non è stabile.

[D4lF4zZI0]

E' più facile a farsi che a dirsi, ma ci provo:
1) disegni il diagramma di Nyquist per $k=1$;
2) assegni a $k$ dei valori ( in teoria arbitrari ), ma poichè con Routh hai stabilito che deve essere $0111/21$ ( scegli tu i valori che più ti piacciono ). Ho escluso il caso $k<=0$ in quanto non avrebbe molto senso.
3) per ognuno dei due valori assegnati di $k$ devi valutare in numero di giri in senso antiorario del diagramma di Nyquist intorno al punto di coordinate $(-1/k,0)$
Ad esempio: se come primo punto scegli $k=2$, allora devi valutare il numero di giri intorno al punto di coordinate $(-0.5,0)$
PS: poichè $111/21~=5.3$, puoi tranquillamente scegliere come valore $k=1$ e valuti, come normalmente si fa, il numero di giri intorno al punto di coordinate $(-1,0)$

[claudio_p88]

" diciamo" che dovrei aver capito