Stabilità e fdt

[ninja986]

Un sistema LTI inizialmente in quiete produce una risposta all'ingresso $u(t)= 5*1(t-1)$
$y(t)= t*1(t-1) + 2(e^(-2t))*1(t-1)$

1) Si dica esaustivamente se il sistema è asintoticamente stabile.
2) Si determini il modello matematico e la fdt (e anche l'ordine).
3) Si determini la risposta al segnale $u(t)= 1(t) - 3*\delta(t-1)$.

1) Il sistema non è asintoticamente stabile perchè il $lim_{t \to \infty}(g(t))!=0$. Giusto? datemi qualche informazione in più.

2) La trasformata di y(t) è $Y(s)=(1/(s^2))*e^(-s) + (2/(s+2))*e^(-s)$

Come trovo la fdt e il modello matematico?

Aiutatemi

[Masco89]

La risposta all'ingresso è uguale a : $Y(s)=F(s)*U(s)$, per cui ricavandoti la trasformata dell'ingresso e facendo $F(s)=(Y(s))/(U(s))$ dovresti ottenere la funzione di trasferimento. Inoltre una volta ricavata la FDT potrai studiarne i segni della parte reale dei poli per avere una conferma della stabilità del sistema.

[enpires1]

inoltre nel primo punto non è $\lim_{t→∞}(g(t))≠0$ ma $\lim_{t→∞}(y(t))=+\infty$, infatti nel caso in cui la risposta fosse stata $y(\infty)=M$ con $M\in RR -{0}$ il sistema sarebbe stato comunque asintoticamente stabile (nonostante M fosse diversa da 0).
Praticamente non devi verificare che la risposta valga 0 ma che sia un numero finito

[ninja986]

tutto ok per quanto riguarda l'as. stabilità.
Inoltre sono riuscito a ricavare la fdt dalla trasformata di Laplace della convoluzione $Y(s)= U(s)*G(s)$

$G(s)= [e^(-s)/s^(2) + (2e^(-s))/(s+2)]/[(5e^(-s))/s] = [1/s^(2) + 2/(s+2)]/[5/s] = (2s^(2)+s+2)/(5s(s+2)) = (2s^(2)+s+2)/(5s^(2)+10s)$

Ma il modello matematico come lo ottengo?

[enpires1]

Cosa sarebbe il modello matematico (perdona l'ignoranza)
Se è la $g(t)$ ti basta antitrasformare...

[ninja986]

Dovrebbe essere l'equazione differenziale che descrive il sistema

Comunque la risposta all'ingresso $u(t)= 1(t) - 3*\delta(t-1)$ --> $U(s) = 1/s - 3e^(-s)$ con $G(s) = (2s^(2)+s+2)/(5s^(2)+10s)= 2/5 - (3s)/[5(s^(2)+2s)]$ è

$Y(s) =G(s)*U(s) = 2/5*1/s - 6/5*e^(-s) - 3/5*1/[s(s+2)] + 9/5*e^(-s)/(s+2)$

$y(t) = 1/5 [2*1(t) - 6*1(t-1) - 1/2*1(t) + 1/2*e^(-2t)*1(t) + 9*e^(-2t)*1(t-1)$

giusto??

[Ska1]

se cerchi l'equazione differenziale, allora puoi fare così:

$Y(s) = G(s) U(s) = (2s^2 + s + 2)/(5s^2 + 10s) U(s)$, da cui ricavi $(5s^2 + 10s)Y(s) = (2s^2 + s +2) U(s)$, antitrasformando ottieni $5y''(t) + 10 y'(t) = 2 x''(t) + x'(t) + 2 x(t)$

[Masco89]

Per quanto riguarda il sistema con il primo ingresso, la fdt sembra corretta e anche la stabilità(infatti si vede dai poli della fdt stessa che ci troviamo di fronte a una stabilità semplice e quindi non asintotica);

EDIT: Rileggendo la traccia, direi che i passaggi seguiti per la risoluzione del quesito riguardante il secondo ingresso dovrebbero essere corretti (dando per scontato che i calcoli matematici siano giusti)