Spettro di fase e di ampiezza

[Vornel]

Ragazzi qualcuno ha una mezza idea di come calcolare lo spettro di fase e di ampiezza di questo segnale?
\(\displaystyle H(f) = j 2 \pi f e^{j 2 \pi f} \)
Mi sono andato a rivedere i numeri complessi ma nonostante ciò non ci sono riuscito. Dovrei trasformare quell'esponenziale nella forma algebrica ma veramente non ho idea di cosa fare. Suggerimenti?

[nasmil]

L'ampiezza è
$ |H(f)| = | j2pi f | |e^(j2pif) | = 2pi|f| = 2pi*sign(f) $
La fase dovrebbe essere $ phi(H(f)) = pi/2 sign(f) + 2pi $ Anche se su quest'ultima ho dei piccoli dubbi,nel senso che $ 2pi $ si potrebbe anche evitare tanto è lo stesso...

[Vornel]

"Nasmil": $ |e^(j2pif) | = 1 $

E' questo passaggio che non riesco a capire, c'è la f nell'esponente della e, come fa a essere 1?

[nasmil]

"Vornel":[quote="Nasmil"] $ |e^(j2pif) | = 1 $

E' questo passaggio che non riesco a capire, c'è la f nell'esponente della e, come fa a essere 1?[/quote]

Perché l'esponenziale complesso ha sempre modulo unitario.
Cioè se hai $ e^z $ con $ z=a+ib $ il modulo è $ e^(Re(z)) = e^(a) $

anche perché $ e^(j2pif) = cos(2pif)+isen(2pif) $ Fai il modulo di questa e ti esce $ 1 $

[Vornel]

Ok capito, chiarissimo grazie

[Vornel]

Ah un momento, la fase come viene fuori? xD
Ho capito per \(\displaystyle \pi /2 \), perché \(\displaystyle j2 \pi f \) si trova sull'asse immaginario, per il resto?

[nasmil]

Viene $ pi/2 $ perché $ j2pi $ sta come hai detto tu, sull'asse immaginario, poi c'è f quindi dipende anche da f, poi c'è $ e^(2pij) $ che io ho scritto $ 2 pi $ indica la traslazione di 1, ora vedi il risultato del tuo esercizio e vedi se ce la mette o meno xD

[Vornel]

"Nasmil":Viene $ pi/2 $ perché $ j2pi $ sta come hai detto tu, sull'asse immaginario, poi c'è f quindi dipende anche da f, poi c'è $ e^(2pij) $ che io ho scritto $ 2 pi $ indica la traslazione di 1, ora vedi il risultato del tuo esercizio e vedi se ce la mette o meno xD

Sisi lui però scrive \(\displaystyle +2 \pi f \), non capisco però come la presenza di f si traduca in \(\displaystyle |f| \) , ne perché \(\displaystyle e^{2 \pi i} \) indichi un ritardo. Ci sono delle dispense dalle quali posso studiare ste cose? Sul libro di teoria dei segnali non ci sono e nemmeno su quelli di analisi.

[nasmil]

Quale libro di teoria di segnali usi?

[Vornel]

Uso quello scritto dalla prof Verdoliva (reperibile online) e Segnali e Sistemi di Verde e Gelli, ma entrambi non spiegano come trovare gli spettri, forse perché danno per scontato certe conoscenze sui numeri complessi (che non sono previste in nessuno degli esami propedeudici...)

[nasmil]

"Vornel":

Ah ho capito, beh io ho usato il libro di Verdoliva per passare l'esame (l'ho fatto con Poggi), non penso però ci sia bisogno di andare a trovare spettri di fase e ampiezza, perché di solito nelle tracce loro chiedono di trovare l'uscita ad un sistema e di solito il segnale in ingresso è periodico, di conseguenza uscita basta che usi la "formuletta" che trovi sul quinto capitolo se non sbaglio.

Io comunque per rispondere alla tua domanda di solito mi regolavo così:
poiché $ j= e^(jpi/2) $ e poiché quando trovi $ pi/2 $ significa che è il seno a essere $ != 0 $ e poiché il seno è una funzione dispari, ottieni che a seconda del segno di $ f $ il risultato, quindi in fase hai sempre $ pi/2 sign(f) $ perché dipende da $ f $ appunto... Poiché invece trovi $ e^(2pif) $ e quindi essendoci $ 2pi $ ti dà solo il coseno $ != 0 $, il coseno è pari quindi non dipende da solo $ f $
Più o meno mi regolavo così, ma non ho mai avuto casi di questo genere. Poi parlerà qualcuno più esperto di me che ti saprà dire meglio, non so, ma credo ti possa regolare così.

infine $ e(2pif) $ ho detto che è un ritardo (di -1) perché tu sai bene che traslazione nel tempo -> fasore in frequenza (e viceversa per la dualità,ma attento ai segni).