[Sistemi Dinamici] Laplace o Regime sinusoidale ?

[folgore1]

Salve a tutti,

Quest'oggi ho sostenuto la prova scritta di Sistemi Dinamici ed in pratica avevo due sistemi posti in serie come in figura :


che avevano un interruttore.
Il segnale d'ingresso era un segnale sinusoidale $u(t)=3sin(t)x1(t)$ e bisognava calcolare l'uscita $y(t)$ per tutti gli istanti di tempo ossia per $t < 4$ e per $t > 4$.
Ora,venendo al dunque,io non so se l'ho svolto bene,in quanto mi sono distratto,causa ansia,ed ho svolto l'esercizio non in
regime sinusoidale,ma ho utilizzato solo ed esclusivamente la Trasformata di Laplace.
In altri termini,per $t < 4$,avrei dovuto avere un'uscita pari a $y(t)=3|W(j)|sin(t+\angleW(j))$ dove $W(s)=W_1(s)*W_2(s)$.Invece io ho effettuato la trasformata di Laplace di $u(t)$,ottenendo l'uscita
$Y(s)=W(s)*U(s)$ poi ho scomposto in fratti semplici la $Y(s)$ e infine ho antitrasformato,ottenendo la $y(t)$.
Quindi chiaramente,oltre al contributo a regime sinusoidale,mi ritrovavo anche il contributo transitorio.
Analogamente ho proceduto anche per $t > 4$,nel senso che dalla $W_1(s)$ e dalla $W_2(s)$ ho ricavato le rispettive i-s-u
e poi ho posto che $u_1 = u , y_2=y , y_1=u_2$ e ho ottenuto la i-s-u del sistema complessivo.
A questo punto,l'equazione di stato era costituita da 3 componenti,la prima dovuta al primo sistema $W_1(s)$ e la seconda e la terza dovuta al sistema $W_2(s)$.Quindi :
\begin{bmatrix} X_1(s) \\ X_2(s) \\ X_3(s) \end{bmatrix}
e allora ho determinato
$X(s)= (sI-A)^(-1)*B*U(s)$ e quindi le componenti $X_2(s)$ e $X_3(s)$.
Così ho antitrasformato ottenendo il vettore relativo alla condizione iniziale $x_(2,3)(t)$,valutato per $t = 4$ :
\begin{bmatrix} x_2(t=4) \\ x_3(t=4) \end{bmatrix}.
Fatto ciò,ho ottenuto la risposta in evoluzione libera del secondo sistema :

$Y(s)=C_2*e^(-4s)*(sI-A_2)^(-1)*x_(2,3)(4)$

che poi ho antitrasformato.
Alla luce di tutto questo,credete che sia possibile svolgerlo anche in questo modo oppure ho sbagliato ?

Vi ringrazio in anticipo.

[D4lF4zZI0]

Trovo corretto quanto hai fatto: anche io ritengo che per " risposta di un sistema " si intenda la risposta in transitorio e a regime e quindi sono d'accordo con te.
Condivido anche sulla seconda parte del problema ( almeno da quanto hai detto mi sembra corretto il modo di procedere ) peccato che tu non abbia postato le due fdt ed i calcoli così da verificare anche quelli

[folgore1]

"D4lF4zZI0":Trovo corretto quanto hai fatto: anche io ritengo che per " risposta di un sistema " si intenda la risposta in transitorio e a regime e quindi sono d'accordo con te.
Condivido anche sulla seconda parte del problema ( almeno da quanto hai detto mi sembra corretto il modo di procedere ) peccato che tu non abbia postato le due fdt ed i calcoli così da verificare anche quelli

Ciao,innanzitutto ti ringrazio per avermi risposto.
Non ho applicato il "famoso" Teorema della Risposta in Frequenza perché francamente il segnale $u(t)=3*sin(t)x1(t)$
non è un segnale sinusoidale che proviene da meno infinito,ma è moltiplicato per un gradino unitario $1(t)$ che vale $1$ per
$t > 0$ e $0$ altrove e quindi non vi è soltanto il contributo a regime,ma anche quello transitorio.
Quindi anche per la seconda parte,ovvero quando si considerano gli istanti di tempo in cui l'interruttore è aperto ed il secondo sistema va in evoluzione libera,non è possibile calcolare la condizione iniziale del secondo sistema come : $x(t=4)=3|H(j)|*sin(4+\angleH(j))$.
Per quanto riguarda le f.d.t. ho provato a ricordarle ed erano le seguenti (se non erro):

$W_1(s)=1/(4s+1)$

$W_2(s)=(s+1)/(s^(2)+5s+7)$.

Traeva un po' in inganno e subito dopo aver consegnato si è sollevato questo dubbio.

[D4lF4zZI0]

Ripeto: mi sembra corretto quanto hai detto di aver fatto ( a meno di errori di calcolo intendiamoci )