Sistemi dinamici - Funzione d'ingresso definita a tratti
Ciao a tutti!! 
A breve ho l'esame di sistemi e mi sto scervellando su alcuni esercizi che richiedono di portare sotto forma di funzione un ingresso definito a tratti. Più che altro, visto che portarlo in forma di funzione non penso sia possibile, si ricorre a una simbologia per rappresentare traslazioni di altre funzioni nel tempo.
Del tipo, ho qualcosa del genere
che nella risoluzione risolve in questo modo
dove per 1(t+a) si indica il gradino (scalino) traslato o meno nel tempo.
Non riesco proprio a capire il procedimento per arrivare alla soluzione, per cui spero proprio che voi riusciate ad illuminarmi
Grazie mille in anticipo!!
A breve ho l'esame di sistemi e mi sto scervellando su alcuni esercizi che richiedono di portare sotto forma di funzione un ingresso definito a tratti. Più che altro, visto che portarlo in forma di funzione non penso sia possibile, si ricorre a una simbologia per rappresentare traslazioni di altre funzioni nel tempo.
Del tipo, ho qualcosa del genere
che nella risoluzione risolve in questo modo
dove per 1(t+a) si indica il gradino (scalino) traslato o meno nel tempo.
Non riesco proprio a capire il procedimento per arrivare alla soluzione, per cui spero proprio che voi riusciate ad illuminarmi
Grazie mille in anticipo!!
Risposte
Il concetto è molto semplice: hai una funzione definita a tratti. Per isolare le varie parti della funzione è come se tu sfruttassi il concetto di "finestra"; se vuoi descrivere una certa funzione tra due punti diciamo $[a;b]$, sarà sufficiente che tu apra una finestra che isoli SOLO quel determinato intervallo.
Nello specifico, nel tuo caso:
$1(t)-1(t-1)$,
è proprio una funzione che apre la finestra nell'intervallo $[-\infty;1]$, cioè lascia "passare" solo quel pezzo di gradino che ti interessa. Per quanto riguarda il secondo tratto, bè:
$(-t+2)*1(t-1)-(-t+2)*1(t-2)=(-t+2)[1(t-1)-1(t-2)]={(-t+2, 1<=t<=2),(0, text{altrove}):}$.
Infatti $[1(t-1)-1(t-2)]$ è un rettangolo di altezza unitaria che si estende nell'intervallo $[1;2]$ e vale $0$ altrove.
Quindi moltiplicando la funzione $f(t)=-t+2$ per un rettangolo di questo tipo, ottieni la retta inalterata in $[1;2]$ e $0$ nella restante parte del dominio.
Il fatto che faccia $0$ altrove, è necessario per poter riscrivere la funzione a tratti come somma di funzioni generalizzate.
Nello specifico, nel tuo caso:
$1(t)-1(t-1)$,
è proprio una funzione che apre la finestra nell'intervallo $[-\infty;1]$, cioè lascia "passare" solo quel pezzo di gradino che ti interessa. Per quanto riguarda il secondo tratto, bè:
$(-t+2)*1(t-1)-(-t+2)*1(t-2)=(-t+2)[1(t-1)-1(t-2)]={(-t+2, 1<=t<=2),(0, text{altrove}):}$.
Infatti $[1(t-1)-1(t-2)]$ è un rettangolo di altezza unitaria che si estende nell'intervallo $[1;2]$ e vale $0$ altrove.
Quindi moltiplicando la funzione $f(t)=-t+2$ per un rettangolo di questo tipo, ottieni la retta inalterata in $[1;2]$ e $0$ nella restante parte del dominio.
Il fatto che faccia $0$ altrove, è necessario per poter riscrivere la funzione a tratti come somma di funzioni generalizzate.
Prima di tutto grazie mille per la risposta, davvero gentilissimo
Comunque, sarò tonto io, ma ancora non riesco a capire il meccanismo
Qui dici
Ma l'intervallo in questo caso non dovrebbe essere $[0;1]$ ??
Questo invece proprio non l'ho capito, per quanto mi stia scervellando
Praticamente, il punto in cui penso di essere arrivato, ma non so quanto sia giusto, è che per ricavare le funzione devo considerare i domini.
Ad esempio,
1) ho l'intervallo $(-\infty; 0)$ in cui la funzione vale 0 e quindi non consideriamo questa parte del dominio;
2) ho l'intervallo $[0; 1)$, in cui la funzione è proprio un gradino, per cui avrò $1(t-0) - 1(t-1)$
3) ho l'intervallo $[1; 2)$, in cui la funzione è un "gradino inclinato", ovvero moltiplicato per (-t+2), per cui avrò $(-t+2) * 1(t-1) - (-t+2)* 1(t-2)$
4) anche l'ultimo intervallo è 0, per cui non lo considero.
Praticamente, molto poco elegantemente ma giusto per spiegarmi meglio, aggiungo la funzione traslata nella parte sx del dominio e sottraggo la funzione traslata nel limite superiore del dominio.
Non so però quanto il mio ragionamento sia esatto, chiedo lumi
Comunque, sarò tonto io, ma ancora non riesco a capire il meccanismo
Qui dici
"Demostene92":
$1(t)-1(t-1)$,
è proprio una funzione che apre la finestra nell'intervallo $[-\infty;1]$, cioè lascia "passare" solo quel pezzo di gradino che ti interessa.
Ma l'intervallo in questo caso non dovrebbe essere $[0;1]$ ??
"Demostene92":
Per quanto riguarda il secondo tratto, bè:
$(-t+2)*1(t-1)-(-t+2)*1(t-2)=(-t+2)[1(t-1)-1(t-2)]={(-t+2, 1<=t<=2),(0, text{altrove}):}$.
Infatti $[1(t-1)-1(t-2)]$ è un rettangolo di altezza unitaria che si estende nell'intervallo $[1;2]$ e vale $0$ altrove.
Quindi moltiplicando la funzione $f(t)=-t+2$ per un rettangolo di questo tipo, ottieni la retta inalterata in $[1;2]$ e $0$ nella restante parte del dominio.
Il fatto che faccia $0$ altrove, è necessario per poter riscrivere la funzione a tratti come somma di funzioni generalizzate.
Questo invece proprio non l'ho capito, per quanto mi stia scervellando
Praticamente, il punto in cui penso di essere arrivato, ma non so quanto sia giusto, è che per ricavare le funzione devo considerare i domini.
Ad esempio,
1) ho l'intervallo $(-\infty; 0)$ in cui la funzione vale 0 e quindi non consideriamo questa parte del dominio;
2) ho l'intervallo $[0; 1)$, in cui la funzione è proprio un gradino, per cui avrò $1(t-0) - 1(t-1)$
3) ho l'intervallo $[1; 2)$, in cui la funzione è un "gradino inclinato", ovvero moltiplicato per (-t+2), per cui avrò $(-t+2) * 1(t-1) - (-t+2)* 1(t-2)$
4) anche l'ultimo intervallo è 0, per cui non lo considero.
Praticamente, molto poco elegantemente ma giusto per spiegarmi meglio, aggiungo la funzione traslata nella parte sx del dominio e sottraggo la funzione traslata nel limite superiore del dominio.
Non so però quanto il mio ragionamento sia esatto, chiedo lumi
Provo a farti capire meglio con un esempio.
Supponi di avere una singola funzione, la più banale di tutte $y=t$, cioè la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Adesso immagina di voler "prelevare" solamente il valore della funzione, ad esempio, tra $5$ e $10$.
Immagina cioè di "scattare una foto" alla retta in modo tale che l'inquadratura riprenda solamente la retta proprio in questo intervallo.
Se scrivi una combinazione lineare tra due funzioni gradino unitario, cioè
$g(t)=1(t-5)-1(t-6)$,
ottieni praticamente una differenza tra due gradini unitari.
Il primo gradino è il gradino che inizia in $t=5$ e il secondo in $t=6$.
Quindi fino a $t=5$ avrai come differenza $0-0=0$, perchè i due gradini valgono entrambi $0$, appunto.
In $5
In $t=6$ anche il secondo gradino sale al valore $1$, quindi per $t>=6$ entrambi i gradini valgono $1$ e di conseguenza la loro differenza è $1-1=0$.
In definitiva $g(t)$ è una funzione che vale:
$g(t)={(0, t<=5 vv t>=6),(1, 5
Quindi se ora moltiplichi la retta di cui parlavamo prima, chiamiamola $r(t)$, ottieni che:
$r(t)g(t)={(0, t<=5 vv t>=6),(g(t), 5
E quindi è come se tu avessi "fotografato" la retta proprio in quell'intervallo! Chiaro adesso?
Supponi di avere una singola funzione, la più banale di tutte $y=t$, cioè la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Adesso immagina di voler "prelevare" solamente il valore della funzione, ad esempio, tra $5$ e $10$.
Immagina cioè di "scattare una foto" alla retta in modo tale che l'inquadratura riprenda solamente la retta proprio in questo intervallo.
Se scrivi una combinazione lineare tra due funzioni gradino unitario, cioè
$g(t)=1(t-5)-1(t-6)$,
ottieni praticamente una differenza tra due gradini unitari.
Il primo gradino è il gradino che inizia in $t=5$ e il secondo in $t=6$.
Quindi fino a $t=5$ avrai come differenza $0-0=0$, perchè i due gradini valgono entrambi $0$, appunto.
In $5
In $t=6$ anche il secondo gradino sale al valore $1$, quindi per $t>=6$ entrambi i gradini valgono $1$ e di conseguenza la loro differenza è $1-1=0$.
In definitiva $g(t)$ è una funzione che vale:
$g(t)={(0, t<=5 vv t>=6),(1, 5
Quindi se ora moltiplichi la retta di cui parlavamo prima, chiamiamola $r(t)$, ottieni che:
$r(t)g(t)={(0, t<=5 vv t>=6),(g(t), 5
E quindi è come se tu avessi "fotografato" la retta proprio in quell'intervallo! Chiaro adesso?
Abbastanza chiaro il concetto che c'è dietro (non fin nei dettagli ma comunque grosso modo ci sono), un po' meno come arrivare all'equazione della funzione.
Googlando un po' su internet, sono riuscito ad adattarmi una semplice espressione per ricavarmi istantaneamente la funzione in termini di gradino unitario.
Googlando un po' su internet, sono riuscito ad adattarmi una semplice espressione per ricavarmi istantaneamente la funzione in termini di gradino unitario.
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