[Sistemi Dinamici]

[paolotesla91]

Salve a tutti. Ho cercato il forum più adatto per scrivere ma non l'ho trovato e credo che questo sia adatto in quanto sistemi è comunque un esame di ingegneria. Volevo solo sapere come si passa dalla rappresentazione I-U di un sistema alla rappresentazione I-S-U. Qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmelo?

Ad esempio: io un sistema descritto da questa equazione

$dot(y)+ay=0.8au$

E' evidente che è scritto in forma I-U, come faccio a passare alla forma I-S-U?

Grazie in anticipo

[D4lF4zZI0]

posta qualche tentativo tuo così da vedere dove hai dubbi

[paolotesla91]

Ciao. Grazie per aver risposto. Io ho pensato di fare la trasformata di Laplace di ambo i membri ma trovo comunque difficoltà in quanto non riesco a capire da dove devo ricavarmi le informazioni per determinare lo stato. Facendo la trasformata avrei che:

$sY(s)-y_0+aY(s)=0.8aU(s)$.

Non ho alcun tipo di informazione sulle condizioni iniziali dell'uscita in modo da poter ricavare un espressione per la f.d.t. quindi se volessi farlo dovrei fare: $f.d.t.=Y/U => (Y[s+a])/U-y_0/U=0.8a$ e poi come procedo?

Grazie per l'interesse

[D4lF4zZI0]

Un modello I-S-U si presenta nella forma:
$ { ( dot(x)=Ax+Bu ),( y=Cx+Du ):} $
Ora, per raggiungere questa forma partendo dall'equazione differenziale assegnata, è sufficiente che poni:
$ y=x $
che sostituita nell'equazione, ti da:
$ dot(x)=-ax+0.8au $
Quindi, il modello assegnato in termini di I-S-U è:
$ { ( dot(x)=-ax+0.8au ),( y=x ):} $

[paolotesla91]

:O....non ci avevo proprio pensato xD che sciocchezza xD grazie mille . Quindi in generale posso sempre farlo? Cioè basta sostituire?

[D4lF4zZI0]

Non è sempre così semplice, ma nel caso di sistemi del primo ordine, si si fa sempre così

[paolotesla91]

ok grazie

[paolotesla91]

quindi la mia matrice dinamica sarà: $A=|(-a,0) , (0,0)|$

Giusto?

E $B=|(0.8a,0)|$

[D4lF4zZI0]

Insomma....più di matrici io parlerei di scalari; ti pare?

[paolotesla91]

mmmm si ci avevo pensato ma poi come faccio a calcolarmi la $f.d.t.$ ? io so calcolarla solo con matrici mi dai uno spunto?


Forse tu intendi dire questo:

$W(s)=C(sI-A)^(-1)B+D=1(s+a)^(-1)(0.8a)=(0.8a)/(s+a)$

E' giusto?

[D4lF4zZI0]

Beh voglio dire se proprio vuoi una conferma puoi sempre trasformare secondo Laplace l'equazione differenziale e calcolarti la fdt, ti pare?

[paolotesla91]

si ed ho che $X(s)(s+a)=x_0+0.8aU(s)$

Poi $Y(s)=X(s)=x_0/(s+a)+(0.8aU(s))/(s+a)$

Se quel $x_0$ fosse $0$ mi troverei

[D4lF4zZI0]

L'equazione differenziale era:
$ dot(y)+ay=0.8au $
che trasformata secondo Laplace ( nelle ipotesi di condizioni iniziali nulle ) diventa:
$ sY+aY=0.8aUrArr (s+a)Y=0,8aUrArr W(s)=Y/U=(0.8a)/(s+a) $
che è lo stesso risultato che ti sei trovato con le " matrici " )

[paolotesla91]

o.O '......non dovrebbe esserci un $y_0$ ?? perchè non c'è? Dal testo dell'esercizio non so nulla sulle condizioni iniziali del sistema

[D4lF4zZI0]

Se stessimo facendo un corso di analisi, allora avresti ragione tu: occorrerebbe assegnare il problema di Cauchy e quindi le condizioni iniziali. Poichè quello che interessa di un sistema è la stabilità asintotica ( ovvero a regime ), beh questa è indipendente dalle condizioni iniziali e dunque non si assegnano e si suppongono sempre nulle

[paolotesla91]

mmmm credo di dovermi rivedere questa parte. Allora se è cosi mi trovo grazie ora continuo a svolgere l'esercizio

PS. è questo l'esercizio dove mi chiede di scrivere il modello a dati campionati in $T=10ms$

[D4lF4zZI0]

Eh si rivediti un attimo il teorema ( anzi i teoremi nelle varie forme ) sulla stabilità: non sono difficili
Per quanto riguarda il modello a dati campionati, il modello che si presenta è:
$ { ( dot(x)=-ay+0.8au ),( y=x ):} $
Chiamiamo:
$b=0.8a$
Applicando il metodo ZOH ( se non lo ricordi rivedi la teoria ), si ha:
$ a_d=e^(-aT)=e^(-10*10^-3a)= e^(-0.01a)$
mentre:
$b_d=b/a(1-a_d)=(0.8a)/a(1-e^(-0.01a))=0.8(1-e^(-0.01a)) $
Quindi si ha:
$ W_d(z)=b_d/(z-a_d)=(0.8(1-e^(-0.01a)))/(z-e^(-0.01a)) $