Sistema nello spazio degli stati: tempo continuo e discreto
Buonasera a tutti,
qualcuno potrebbe gentilmente dirmi cosa rappresenta un sistema state-space a tempo discreto?
Facciamo un esempio e supponiamo di avere un sistema a tempo continuo:
${(d(x(t))/dt = Ax(t) + Bu(t)),(y(t) = Cx(t)):}$
Con le matrici:
$A = [(0, 1.0000, -1.0000),(-0.4286, -0.2857, 0.1429),(0.4286, 0.1429, -0.2857)]$, $B = [(0), (0.1429), (0)]$ e $C = [(1, 0, 0)]$
Ora discretizziamo il sistema. Con un noto software di calcolo numerico converto il sistema da tempo continuo a tempo discreto con tempo di campionamento pari a $T = 0.1$
${(x((k+1)T) = A_(d)x(kT) + B_(d)u(kT)),(y(kT) = C_(d)x(kT)):}$
$Ad = [(0.9958, 0.0977, -0.0977),(-0.0419, 0.9699, 0.0160),(0.0419, 0.0160, 0.9699)]$, $Bd = [(0.0007), (0.0141), (0.0001)]$ e $Cd = [(1, 0, 0)]$
Cosa significano queste nuove matrici? Se in ingresso avessimo, per esempio, un gradino unitario, nel caso a tempo continuo avremmo:
$u(t) = 1$
mentre nel caso a tempo discreto:
$u(kT) = 1$ con $T = 0.1$ e $k = 1, 2, 3, ...$
MA anche se andiamo a valutare u solo ogni T intervalli temporali, il suo valore è sempre 1! E tale 1 in un caso viene moltiplicato per $B$ mentre nell'altro per $B_d$.
Qualcuno mi chiarirebbe le idee?
Grazie!
qualcuno potrebbe gentilmente dirmi cosa rappresenta un sistema state-space a tempo discreto?
Facciamo un esempio e supponiamo di avere un sistema a tempo continuo:
${(d(x(t))/dt = Ax(t) + Bu(t)),(y(t) = Cx(t)):}$
Con le matrici:
$A = [(0, 1.0000, -1.0000),(-0.4286, -0.2857, 0.1429),(0.4286, 0.1429, -0.2857)]$, $B = [(0), (0.1429), (0)]$ e $C = [(1, 0, 0)]$
Ora discretizziamo il sistema. Con un noto software di calcolo numerico converto il sistema da tempo continuo a tempo discreto con tempo di campionamento pari a $T = 0.1$
${(x((k+1)T) = A_(d)x(kT) + B_(d)u(kT)),(y(kT) = C_(d)x(kT)):}$
$Ad = [(0.9958, 0.0977, -0.0977),(-0.0419, 0.9699, 0.0160),(0.0419, 0.0160, 0.9699)]$, $Bd = [(0.0007), (0.0141), (0.0001)]$ e $Cd = [(1, 0, 0)]$
Cosa significano queste nuove matrici? Se in ingresso avessimo, per esempio, un gradino unitario, nel caso a tempo continuo avremmo:
$u(t) = 1$
mentre nel caso a tempo discreto:
$u(kT) = 1$ con $T = 0.1$ e $k = 1, 2, 3, ...$
MA anche se andiamo a valutare u solo ogni T intervalli temporali, il suo valore è sempre 1! E tale 1 in un caso viene moltiplicato per $B$ mentre nell'altro per $B_d$.
Qualcuno mi chiarirebbe le idee?
Grazie!
Risposte
Più che altro un "gradino discreto" è un treno di impulsi di Kronecker: $u(t)=sum_(k=0)^(+oo) delta_(kt)$,
il concetto è identico a quello di gradino a tempo continuo.
il concetto è identico a quello di gradino a tempo continuo.
"elgiovo":
Più che altro un "gradino discreto" è un treno di impulsi di Kronecker: $u(t)=sum_(k=0)^(+oo) delta_(kt)$,
il concetto è identico a quello di gradino a tempo continuo.
Se andiamo a valutare tale $u(t)$ per $t = kT$ otteniamo sempre $u = 1$ giusto?
Quindi il mio dubbio resta lo stesso!
Si, il segnale $u$ vale $1$. Qual è il problema?
"elgiovo":
Si, il segnale $u$ vale $1$. Qual è il problema?
In un caso 1 viene moltiplicato per $B$, nell'altro per $B_d$.
Come può la risposta essere la stessa? (ovviamente sempre più simile diminuendo il tempo di campionamento)
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