Sistema di trasmissione
Ciao a tutti 
Calcolare il segnale v(t) risultante dal seguente sistema di trasmissione:
Dove, $u(t)=cos(4pit)$, $s(t)=cos(6pit)$, $f(t)=sinc(t/2.5)$, T è il campionatore ideale con periodo di campionamento $T=0.5$, e $g(t)=2sinc(t/5)$. Rappresentare graficamente il risultato dell'operazione nel dominio dellla frequenza, derivare e discutere il risultato nel dominio del tempo.
Allora... per prima cosa ho trasformato con Fourier i due segnali in ingresso e ne ho disegnato il grafico, poi ho fatto il prodotto e il grafico di questo. Ho trasformato con Fourier la funzione f(t) e rappresentata sul grafico, è un filtro... Non capisco cosa devo fare ora, ovvero cosa fare avendo un campionatore T e un successivo filtro g(t)....
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Calcolare il segnale v(t) risultante dal seguente sistema di trasmissione:
Dove, $u(t)=cos(4pit)$, $s(t)=cos(6pit)$, $f(t)=sinc(t/2.5)$, T è il campionatore ideale con periodo di campionamento $T=0.5$, e $g(t)=2sinc(t/5)$. Rappresentare graficamente il risultato dell'operazione nel dominio dellla frequenza, derivare e discutere il risultato nel dominio del tempo.
Allora... per prima cosa ho trasformato con Fourier i due segnali in ingresso e ne ho disegnato il grafico, poi ho fatto il prodotto e il grafico di questo. Ho trasformato con Fourier la funzione f(t) e rappresentata sul grafico, è un filtro... Non capisco cosa devo fare ora, ovvero cosa fare avendo un campionatore T e un successivo filtro g(t)....
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
come campionatore ideale intendi il treno di impulsi? in questo caso devi moltiplicare il risultato del filtraggio con $f(t)$ per un treno di impulsi e successivamente filtrare tramite $g(t)$
Si esatto il treno di impulsi. Purtroppo però non ho nemmeno un esempio su quel passaggio. Come devo procedere? Ho in mano il prodotto dei due segnali filtrati da f(t).
Tieni conto che campionare nel tempo (idealmente) a passo T, significa replicare lo spettro di frequenza a passo 1/T (e scalare di un fattore 1/T).
$F[sum_(n=-infty)^(+infty)delta(t-nT)] = sum_(n=-infty)^(+infty) F[delta(t-nT)] = sum_(n=-infty)^(+infty) e^(-j2pifnT) = 1/T sum_(k=-infty)^(+infty) delta(f-k/T)$
$F[sum_(n=-infty)^(+infty)delta(t-nT)] = sum_(n=-infty)^(+infty) F[delta(t-nT)] = sum_(n=-infty)^(+infty) e^(-j2pifnT) = 1/T sum_(k=-infty)^(+infty) delta(f-k/T)$
Allora...
trasformando $u(t)$ e $s(t)$ ottengo:
$u(f) = 1/2δ(f-2) + 1/2δ(f+2)$
$s(f) = 1/2δ(f-3) + 1/2δ(f+3)$
dal prodotto delle due ricavo:
$u(f)*s(f) = 1/4δ(f-5) + 1/4δ(f+1) + 1/4δ(f-1) + 1/4δ(f+5)$
ora trasformo la funzione $f(t)$
ed ottengo $f(f) = 2,5pi rect(f)$
Cosa devo fare ora?
trasformando $u(t)$ e $s(t)$ ottengo:
$u(f) = 1/2δ(f-2) + 1/2δ(f+2)$
$s(f) = 1/2δ(f-3) + 1/2δ(f+3)$
dal prodotto delle due ricavo:
$u(f)*s(f) = 1/4δ(f-5) + 1/4δ(f+1) + 1/4δ(f-1) + 1/4δ(f+5)$
ora trasformo la funzione $f(t)$
ed ottengo $f(f) = 2,5pi rect(f)$
Cosa devo fare ora?
Ti conviene esprimere tutte le funzione in dipendenza di T...
Quale convenzione usi?
$ sinc(t)=sin(pit)/(pit)$
oppure
$ sinc(t) = sin(t)/t $ ? se i tuoi calcoli sono giusti dovresti usare la seconda
$ sinc(t)=sin(pit)/(pit)$
oppure
$ sinc(t) = sin(t)/t $ ? se i tuoi calcoli sono giusti dovresti usare la seconda
Si, la seconda. Ma ora cosa devo fare?
Allora sarebbe: $f(f)=5piT*rect(5piTf)$ ovvero filtro passa basso ideale con banda bilatera $1/(5piT)$ . Quindi dal filtro non dovrebbe uscire niente. Ti torna?
La trasformata di f(t) che ho fatto io è sbagliata allora? A mè torna $2.5pi*rect(f)$
Breve verifica: deve essere $1=f(t=0)=int_(-infty)^(+infty) f(f)df = 5piT*B$ dove B è la banda bilatera del filtro. Evidentemente non può essere $B=1$ come hai scritto te. Ricordo che: $f(f)=A*rect(f/B)$
Sisi scusa, hai ragione tu la trasformata di $f(t)$ è $f(f) = 5pi*rect(5pif)$
Ora come procedo? Intendo proprio nell'esercizio, che calcoli devo fare per utilizzare il campionatore e il successivo filtro $g(t)$?
Ora come procedo? Intendo proprio nell'esercizio, che calcoli devo fare per utilizzare il campionatore e il successivo filtro $g(t)$?
Io credo che tutti gli impulsi cadano fuori dalla banda del filtro, quindi...
Allora, prima di f(t) dovrei avere r impulsi di ampiezza $1/4$ in -5, -1, 1, 5. Giusto?
Esprimento tutto in funzione di T hai:
$ u(t)=cos(2pit/T)$
$ s(t)=cos(3pit/T)$
$ U(f)=1/2[delta(f-1/T)+delta(f+1/T)]$
$ S(f)=1/2[delta(f-3/(2T))+delta(f+3/(2T))]$
$ U(f) @ S(f) = 1/4[delta(f-5/(2T))+delta(f+5/(2T))+delta(f-1/(2T))+delta(f+1/(2T))]$
Dove con $@$ ho indicato la convoluzione. Quindi fino a qui è giusto.
$ u(t)=cos(2pit/T)$
$ s(t)=cos(3pit/T)$
$ U(f)=1/2[delta(f-1/T)+delta(f+1/T)]$
$ S(f)=1/2[delta(f-3/(2T))+delta(f+3/(2T))]$
$ U(f) @ S(f) = 1/4[delta(f-5/(2T))+delta(f+5/(2T))+delta(f-1/(2T))+delta(f+1/(2T))]$
Dove con $@$ ho indicato la convoluzione. Quindi fino a qui è giusto.
Come mai esprimi tutto in funzione di T?
Poi cosa bisogna fare?
Grazie
Poi cosa bisogna fare?
Grazie
Esprimo tutto in funzione di T perchè dopo viene comodo e immediato fare il campionamento a passo T. Cmq... A questo punto devi vedere se questi impulsi vengono tagliati via o meno dal filtro f(t), quindi mi calcolerei la banda di questo filtro.
E' quella che avevi scritto nel post precedente? $1/(5piT)$.
Mi puoi spiegare come poi si svolge il campionamento? Anche se tutti i segnali sono fuori dal filtro... se non fosse cosi, che dovrei fare?
Mi puoi spiegare come poi si svolge il campionamento? Anche se tutti i segnali sono fuori dal filtro... se non fosse cosi, che dovrei fare?
Sì la banda è quella.
Se rimanessero impulsi duri a morire, devi replicare lo spettro a passo $1/T$ nelle frequenze e moltiplicarlo per $1/T$. Questa operazione viene immediata se disegni tutto lo spettro nel dominio delle frequenze. Basta che prendi lo spettro e lo ricopi centrandolo a $+-1/T, +-2/T, +-3/T,...$.
Se rimanessero impulsi duri a morire, devi replicare lo spettro a passo $1/T$ nelle frequenze e moltiplicarlo per $1/T$. Questa operazione viene immediata se disegni tutto lo spettro nel dominio delle frequenze. Basta che prendi lo spettro e lo ricopi centrandolo a $+-1/T, +-2/T, +-3/T,...$.
Ok, e poi dovrei filtrarlo con $g(t)$... quindi diciamo che la seconda parte dello schema (disegno esercizio) è inutile visto che viene tutto filtrato prima.
Esattamente
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