Serie di fourier
salve a tutti ho un problema sulla serie di Fourier.Allora io so che i coefficienti della serie di Fourier di un segnale $s(t)=Acos(2*pi*t/T)$ sono tutti nulli tranne che per $n=1,-1$ dove valgono $A/2$.
se il segnale fosse $S(t)=Acos(2*pi*t/T + fi)$ come cambiano i coefficienti?
Usando la trasformata continua di Fourier potrei dire che in frequenza ho i contributi di $f=1/T e f=-1/T$ che hanno entrambi modulo $A/2$ e fase rispettivamente $fi e -fi$.
Se però volessi vedere il comportamento di tale segnale secondo la serie di Fourier come verrebbe?
se il segnale fosse $S(t)=Acos(2*pi*t/T + fi)$ come cambiano i coefficienti?
Usando la trasformata continua di Fourier potrei dire che in frequenza ho i contributi di $f=1/T e f=-1/T$ che hanno entrambi modulo $A/2$ e fase rispettivamente $fi e -fi$.
Se però volessi vedere il comportamento di tale segnale secondo la serie di Fourier come verrebbe?
Risposte
Si tratta di serie di Fourier in notazione complessa a quanto ho capito.
è bene tenere presente che i coefficienti che hai ricavato sono un caso particolare di sviluppo in serie di Fuorier.
Con lo sviluppo in serie una funzione viene scritta come combinazione di funzioni che costituiscono una base dello spazio di Hilbert, che dipende dall'intervallo scelto, per cui la base è costituita da tutte le funzioni seno e coseno con periodo pari all'ampiezza dell'intervallo e i suoi sottomultipli, oltre alla costante.
I coefficienti che hai ricavato sono quelli che risultano se l'ampiezza dell'intervallo scelto coincide con il periodo della funzione coseno.
Per ricavare i coefficienti della serie in notazione esponenziale è sufficiente utilizzare le formule di Eulero ed esprimere la funzione coseno con i numeri complessi.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_trigonometriche_complesse
è bene tenere presente che i coefficienti che hai ricavato sono un caso particolare di sviluppo in serie di Fuorier.
Con lo sviluppo in serie una funzione viene scritta come combinazione di funzioni che costituiscono una base dello spazio di Hilbert, che dipende dall'intervallo scelto, per cui la base è costituita da tutte le funzioni seno e coseno con periodo pari all'ampiezza dell'intervallo e i suoi sottomultipli, oltre alla costante.
I coefficienti che hai ricavato sono quelli che risultano se l'ampiezza dell'intervallo scelto coincide con il periodo della funzione coseno.
Per ricavare i coefficienti della serie in notazione esponenziale è sufficiente utilizzare le formule di Eulero ed esprimere la funzione coseno con i numeri complessi.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_trigonometriche_complesse
Una sinusoide è "già in serie di Fourier", se vuoi la rappresentazione complessa, usa le relazioni di eulero, $cos(x) = (e^{i x} + e^{-i x})/2$, a quel punto identifichi facilmente i coefficienti dello sviluppo in serie complessa.
ah ok.quindi sfruttando la relazione di eulero $Acos(2*pi*t/T + fi)$ si scrive $(A*e^(j*2*pi*t/T +fi)+A*e^-(j*2*pi*t/T +fi))/2$ e quindi confrontandolo con la serie di Fourier $s(t)=sum_{k=-infty}^infty Sn*e^(j*2*pi*nt/T)$ vedo che i soli coefficienti diversi da zero sono per n=1,-1 e valgono $A/2$ con fase rispettivamente fi e -fi.
quindi riassumendo considerando la serie di Fourier di tale segnale vedo che esistono solo i contributi per n=1,-1 con modulo e fase ricavati sopra.in alternativa tramite la funzione di Dirac potrei considerare la trasformata continua di Fourier e dire che tale segnale in frequenza ha un contributo in 1/T e in -1/T con modulo e fase uguali alla serie di Fourier.giusto?
quindi riassumendo considerando la serie di Fourier di tale segnale vedo che esistono solo i contributi per n=1,-1 con modulo e fase ricavati sopra.in alternativa tramite la funzione di Dirac potrei considerare la trasformata continua di Fourier e dire che tale segnale in frequenza ha un contributo in 1/T e in -1/T con modulo e fase uguali alla serie di Fourier.giusto?
Sì, infatti i coefficienti della serie di Fourier sono definiti solo per multipli interi della frequenza fondamentale, con la trasformata di segnali periodici questo è reso tramite le delta di dirac, centrate nei multipli della frequenza fondamentale.
In questo caso particolare, abbiamo prioprio solo la frequenza fondamentale, e come ci si aspetta i risultati coincidono, infatti la trasformata di fourier può essere interpretata come limite della serie di Fourier, considerando per segnali aperiodici che il periodo fondamentale sia "infinito".
In questo caso particolare, abbiamo prioprio solo la frequenza fondamentale, e come ci si aspetta i risultati coincidono, infatti la trasformata di fourier può essere interpretata come limite della serie di Fourier, considerando per segnali aperiodici che il periodo fondamentale sia "infinito".
ok grazie.invece se avessi il segnale discreto $s(t)=Acos(2*pi*n*T/(N*T))$ con periodo=$N*T$.
confrontandolo con la trasformata discreta di Fourier $x[n]=sum_{k=0}^(N-1) X(k)*e^(j*2*pi*n*k/N)$ vedo che esistono solo i coefficienti X(1) e X(-1) che valgono $A/2$.inoltre siccome i coefficienti sono periodici anche X(1+N) e X(-1+N) valgono $A/2$.
se invece considero cosa succede in frequenza so che $Sc(f)=(1/T)sum_{n=-infty}^inftyS(f -n/T)$ dove con Sc(f) intendo la trasformata discreta e con S(f) la trasformata del rispettivo segnale continuo.quindi del segnale dato la trasformata discreta di fourier è $A/(2T)sum_{n=-infty}^infty(delta(f - 1/(NT) -n/T)+delta(f + 1/(NT) -n/T))$.giusto?
confrontandolo con la trasformata discreta di Fourier $x[n]=sum_{k=0}^(N-1) X(k)*e^(j*2*pi*n*k/N)$ vedo che esistono solo i coefficienti X(1) e X(-1) che valgono $A/2$.inoltre siccome i coefficienti sono periodici anche X(1+N) e X(-1+N) valgono $A/2$.
se invece considero cosa succede in frequenza so che $Sc(f)=(1/T)sum_{n=-infty}^inftyS(f -n/T)$ dove con Sc(f) intendo la trasformata discreta e con S(f) la trasformata del rispettivo segnale continuo.quindi del segnale dato la trasformata discreta di fourier è $A/(2T)sum_{n=-infty}^infty(delta(f - 1/(NT) -n/T)+delta(f + 1/(NT) -n/T))$.giusto?
Non ho capito cosa intendi per "visto che i coefficienti sono periodici", comunque se si fa lo sviluppo in serie di Fuorier di una funzione coseno nel suo periodo, si ottengono solo i primi coefficienti diversi da zero, oltre all'eventuale costante.
Il caso generale, ed anche quello più realistico, è lo sviluppo in serie in un periodo diverso da quello del segnale e non multiplo intero.
é quello che si presenta, praticamente con certezza, quando si campiona un segnale di cui non si conosce il periodo.
Andrebbero riviste le condizioni per cui è possibile effettuare la trasformata di Fuorier, si nota che anche in questo caso deve essere definito un intervallo su cui la funzione è definita come coseno e sul resto dell'asse reale è definita uguale a zero.
Il caso generale, ed anche quello più realistico, è lo sviluppo in serie in un periodo diverso da quello del segnale e non multiplo intero.
é quello che si presenta, praticamente con certezza, quando si campiona un segnale di cui non si conosce il periodo.
Andrebbero riviste le condizioni per cui è possibile effettuare la trasformata di Fuorier, si nota che anche in questo caso deve essere definito un intervallo su cui la funzione è definita come coseno e sul resto dell'asse reale è definita uguale a zero.
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