Semi-reticolare con PLV [risolta...credo]
Questa era la struttura a capriata da analizzare
Il dubbio lancinante è stato che durante la consegna, la nostra prof. è convinta che il monaco interno abbia un determinato valore di sforzo, mentre nella mia risoluzione lo sforzo nella biella risulta nullo.
Si tratta di una struttura 1 volta iperstatica, a cui nel risolverla ho applicato di consueto il PLV.
Vi riporto la mia risoluzione passo passo, in modo che possiate dargli un’occhiata:
I dati sono i seguenti:
$q_1=3 \ \text{kN/m}$
$q_2=3 \ \text{kN/m}$
Determino le reazioni vincolari imponendo l’equilibrio globale, da cui equilibrando il momento in A ottengo
$V_C*6-q_1*2\sqrt{3}*\sqrt{3}*\cos(30)-q_2*2\sqrt{3}*(6-\sqrt{3}*\cos(30))$
e le reazioni esterne:
$H_A=0$
$V_A=V_C=10,39 \ \text{kN}$
Ora passo allo studio delle sollecitazioni interne nei vari tratti:
TRATTO ABC:
Assumo $Y$ l’incognita iperstatica assiale della biella (di compressione sulla biella) per cui le reazioni interne $V_A^i$ e $V_C^i$ risultano rispettivamente
$V_A^i=V_C^i=1/2Y-10,39$
Ora analizzo il tratto AD che forse è il più ostico ed è quello in cui probabilmente avrò commesso qualche svista:
Innanzitutto ho scomposto il carico come $q_{1H}=q_1*\cos(30)$ e $q_{1V}=q_1*\sin(30)$.
Imponendo l’equilibrio al nodo D si ha
$V_A*3+H_A\sqrt{3}+q_{1V}*2\sqrt{3}*\sqrt{3}=0$
e quindi sostituendo a $V_A$ l'espressione trovata precedentemente si ha
$H_A=\frac{1}{\sqrt(3)}*(-3V_A+q_{1V}*2\sqrt{3})=\frac{3}{\sqrt(3)}*(1/2Y-10,39)+q_{1V}*2\sqrt{3}$
che approssimo a:
$H_A=9-0.87*Y$
Faccio lo stesso nel tratto DC trovando:
$H_C=-\frac{3}{\sqrt(3)}*(1/2*Y-10,39)-q_{2V}*2\sqrt{3}$
approssimando ho evidentemente la stessa espressione per $H_A$:
$H_C=9-0.87*Y$
Ora avendo le caratteristiche interne su ogni asta in funzione dell'incognita iperstatica, determino il momento sin funzione della coordinata che ho indicato nelle aste soggette a flessione:
Tratto ABC:
$M(x_1)=1/2Y*x_1$ con $0<=x_1<=3$
$M(x_2)=1/2Y*(3+x_2)$ con $0<=x_2<=3$
Tratto AD:
$M(x_3)=-H_A\sin(30)*x_3-V_A\cos(30)*x_3-\frac{q_{1V}x_3^2}{2}$
$= -(9-0.87*Y)\sin(30)*x_3-(1/2*Y-10,39)\cos(30)*x_3-\frac{q_1\cos(30)*x_3^2}{2}$
e qua si elide il contributo di $Y$ ottenendo (approssimatamente):
$M(x_3)=4.5*x_3-1.3*x_3^2$
TRATTO CD:
$M(x_4)=-H_C\sin(3)*x_4-V_C*\cos(30)*x_4-\frac{q_{2V}x_4^2}{2}$
ed è lo stesso di $M(x_3)$:
$M(x_4)=4.5*x_4-1.3*x_4^2$
Riepilogando ho dunque:
ABC:
$M(x_1)=1/2Y*x_1$ ausiliario $M'(x_1)=1/2*x_1$ con $0<=x_1<=3$
$M(x_2)=1/2Y*(3+x_2)$ ausiliario $M'(x_2)=1/2*(3+x_2)$ con $0<=x_2<=3$
AD:
$M(x_3)=4.5*x_3-1.3*x_3^2$ ausiliario $M'(x_3)=0$ con $0<=x_3<=2\sqrt(3)$
DC:
$M(x_4)=4.5*x_4-1.3*x_4^2$ ausiliario $M'(x_4)=0$ con $0<=x_4<=2\sqrt(3)$
BD:
$N(x_5)=-Y$ ausiliario $N'(x_5)=-1$ con $0<=x_4<=\sqrt{3}$
Ora calcolo il lavoro interno come:
$L_{vi}=\int_0^3\frac{M(x_1)*M'(x_1)}{EJ}dx_1+\int_0^3\frac{M(x_2)*M'(x_2)}{EJ}dx_2+\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{M(x_3)*M'(x_3)}{EJ}dx_3$
$+\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{M(x_4)*M'(x_4)}{EJ}dx_4+\int_0^{\sqrt{3}}\frac{N(x_5)*N'(x_5)}{EA}dx_5=0$
Per cui svolgendo gli integrali si ha:
$\frac{9Y}{EJ}+\frac{9Y}{EJ}+\frac{\sqrt{3}Y}{EA}=0$
da cui evidentemente:
$Y=0$
quindi mi chiedo se sono io che sbaglio qualcosa, ho l'errata intuizione della prof riguardo a quello sforzo?
Il dubbio lancinante è stato che durante la consegna, la nostra prof. è convinta che il monaco interno abbia un determinato valore di sforzo, mentre nella mia risoluzione lo sforzo nella biella risulta nullo.
Si tratta di una struttura 1 volta iperstatica, a cui nel risolverla ho applicato di consueto il PLV.
Vi riporto la mia risoluzione passo passo, in modo che possiate dargli un’occhiata:
I dati sono i seguenti:
$q_1=3 \ \text{kN/m}$
$q_2=3 \ \text{kN/m}$
Determino le reazioni vincolari imponendo l’equilibrio globale, da cui equilibrando il momento in A ottengo
$V_C*6-q_1*2\sqrt{3}*\sqrt{3}*\cos(30)-q_2*2\sqrt{3}*(6-\sqrt{3}*\cos(30))$
e le reazioni esterne:
$H_A=0$
$V_A=V_C=10,39 \ \text{kN}$
Ora passo allo studio delle sollecitazioni interne nei vari tratti:
TRATTO ABC:
Assumo $Y$ l’incognita iperstatica assiale della biella (di compressione sulla biella) per cui le reazioni interne $V_A^i$ e $V_C^i$ risultano rispettivamente
$V_A^i=V_C^i=1/2Y-10,39$
Ora analizzo il tratto AD che forse è il più ostico ed è quello in cui probabilmente avrò commesso qualche svista:
Innanzitutto ho scomposto il carico come $q_{1H}=q_1*\cos(30)$ e $q_{1V}=q_1*\sin(30)$.
Imponendo l’equilibrio al nodo D si ha
$V_A*3+H_A\sqrt{3}+q_{1V}*2\sqrt{3}*\sqrt{3}=0$
e quindi sostituendo a $V_A$ l'espressione trovata precedentemente si ha
$H_A=\frac{1}{\sqrt(3)}*(-3V_A+q_{1V}*2\sqrt{3})=\frac{3}{\sqrt(3)}*(1/2Y-10,39)+q_{1V}*2\sqrt{3}$
che approssimo a:
$H_A=9-0.87*Y$
Faccio lo stesso nel tratto DC trovando:
$H_C=-\frac{3}{\sqrt(3)}*(1/2*Y-10,39)-q_{2V}*2\sqrt{3}$
approssimando ho evidentemente la stessa espressione per $H_A$:
$H_C=9-0.87*Y$
Ora avendo le caratteristiche interne su ogni asta in funzione dell'incognita iperstatica, determino il momento sin funzione della coordinata che ho indicato nelle aste soggette a flessione:
Tratto ABC:
$M(x_1)=1/2Y*x_1$ con $0<=x_1<=3$
$M(x_2)=1/2Y*(3+x_2)$ con $0<=x_2<=3$
Tratto AD:
$M(x_3)=-H_A\sin(30)*x_3-V_A\cos(30)*x_3-\frac{q_{1V}x_3^2}{2}$
$= -(9-0.87*Y)\sin(30)*x_3-(1/2*Y-10,39)\cos(30)*x_3-\frac{q_1\cos(30)*x_3^2}{2}$
e qua si elide il contributo di $Y$ ottenendo (approssimatamente):
$M(x_3)=4.5*x_3-1.3*x_3^2$
TRATTO CD:
$M(x_4)=-H_C\sin(3)*x_4-V_C*\cos(30)*x_4-\frac{q_{2V}x_4^2}{2}$
ed è lo stesso di $M(x_3)$:
$M(x_4)=4.5*x_4-1.3*x_4^2$
Riepilogando ho dunque:
ABC:
$M(x_1)=1/2Y*x_1$ ausiliario $M'(x_1)=1/2*x_1$ con $0<=x_1<=3$
$M(x_2)=1/2Y*(3+x_2)$ ausiliario $M'(x_2)=1/2*(3+x_2)$ con $0<=x_2<=3$
AD:
$M(x_3)=4.5*x_3-1.3*x_3^2$ ausiliario $M'(x_3)=0$ con $0<=x_3<=2\sqrt(3)$
DC:
$M(x_4)=4.5*x_4-1.3*x_4^2$ ausiliario $M'(x_4)=0$ con $0<=x_4<=2\sqrt(3)$
BD:
$N(x_5)=-Y$ ausiliario $N'(x_5)=-1$ con $0<=x_4<=\sqrt{3}$
Ora calcolo il lavoro interno come:
$L_{vi}=\int_0^3\frac{M(x_1)*M'(x_1)}{EJ}dx_1+\int_0^3\frac{M(x_2)*M'(x_2)}{EJ}dx_2+\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{M(x_3)*M'(x_3)}{EJ}dx_3$
$+\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{M(x_4)*M'(x_4)}{EJ}dx_4+\int_0^{\sqrt{3}}\frac{N(x_5)*N'(x_5)}{EA}dx_5=0$
Per cui svolgendo gli integrali si ha:
$\frac{9Y}{EJ}+\frac{9Y}{EJ}+\frac{\sqrt{3}Y}{EA}=0$
da cui evidentemente:
$Y=0$
quindi mi chiedo se sono io che sbaglio qualcosa, ho l'errata intuizione della prof riguardo a quello sforzo?
Risposte
Carissimo sonoqui_ credo di aver risolto il "giallo" della capriata!
L'ho fatto con il mio metodo (il PLV) e vedendo le tue considerazioni, ho pensato di considerare anche il taglio e sforzo normale nel contributo al lavoro virtuale interno, quindi non solo lavoro flessionale! (prima volta che mi capita che il contributo assiale sia maggiore di quello flessionale
).
Inoltre ricontrollando il programma informatico, ho visto dove sbagliavo: consideravo la cerniera in B passante, quindi spezzava la catena orrizzontale....per questo mi dava sforzo nullo!
Non posto tutti i calcoli, ma ecco qua l'espressione che trovo per lo sforzo incognito: (le 2 falde hanno caratteristiche $A_1$, $J_1$ mentre la catena orrizzontale e il monaco hanno caratteristiche $A_2$, $J_2$)
$Y=\frac{18(3\sqrt(3)A_1+8A_2)J_2GA_{s2}}{GA_1[9A_2+J_2(2\sqrt(3)+9)]+8A_2J_2\sqrt(3)GA_{s2}+3EA_1A_2J_2}$
che con i valori $A_1=0.03m^2$, $A_2=0.0225m^2$, $J_2=4,2*10^{-5}m^4$, $A_{s2}=5/6*A_2=0,01875$ e $G=E/2$ si ottiene
$Y=0,041540019\text{kN}$
che è perfettamente coincidente con quello di SAP.
Eccone i dettagli:
L'immagine con i nodi e i frame a cui si riferisce il SAP:
Il file di output con le caratteristiche di sollecitazione per ogni elemento: (lo sforzo incognito è nell'elemento 5)
E questa la deformata:
in cui si può vedere la vera "flessione" della catena inferiore, evidentemente responsabile della nascita dello sforzo nel monaco.
Ti ringrazio di cuore per aver smentito la mia tesi iniziale, se seguivo quella strada avrei sbagliato vergognosamente.
L'ho fatto con il mio metodo (il PLV) e vedendo le tue considerazioni, ho pensato di considerare anche il taglio e sforzo normale nel contributo al lavoro virtuale interno, quindi non solo lavoro flessionale! (prima volta che mi capita che il contributo assiale sia maggiore di quello flessionale
).Inoltre ricontrollando il programma informatico, ho visto dove sbagliavo: consideravo la cerniera in B passante, quindi spezzava la catena orrizzontale....per questo mi dava sforzo nullo!
Non posto tutti i calcoli, ma ecco qua l'espressione che trovo per lo sforzo incognito: (le 2 falde hanno caratteristiche $A_1$, $J_1$ mentre la catena orrizzontale e il monaco hanno caratteristiche $A_2$, $J_2$)
$Y=\frac{18(3\sqrt(3)A_1+8A_2)J_2GA_{s2}}{GA_1[9A_2+J_2(2\sqrt(3)+9)]+8A_2J_2\sqrt(3)GA_{s2}+3EA_1A_2J_2}$
che con i valori $A_1=0.03m^2$, $A_2=0.0225m^2$, $J_2=4,2*10^{-5}m^4$, $A_{s2}=5/6*A_2=0,01875$ e $G=E/2$ si ottiene
$Y=0,041540019\text{kN}$
che è perfettamente coincidente con quello di SAP.
Eccone i dettagli:
L'immagine con i nodi e i frame a cui si riferisce il SAP:
Il file di output con le caratteristiche di sollecitazione per ogni elemento: (lo sforzo incognito è nell'elemento 5)
J O I N T D I S P L A C E M E N T S
TRANSLATIONS AND ROTATIONS, IN GLOBAL COORDINATES
LOAD Q1+Q2 ------------------
JOINT UX UZ RY
1 .000000 .000000 .000000
2 0.000120 -0.000446 1.51E-20
3 0.000120 -0.000446 -5.02E-21
4 0.000239 .000000 .000000
Program SAP2000 Nonlinear Version 7.40 File:Input1.OUT
Page
1 ESERCITAZIONE 4
R E S T R A I N T F O R C E S ( R E A C T I O N S )
FORCES AND MOMENTS ACTING ON JOINTS, IN GLOBAL COORDINATES
LOAD Q1+Q2 ------------------
JOINT FX FZ MY
1 1.78E-15 10.392304 .000000
4 .000000 10.392304 .000000
Program SAP2000 Nonlinear Version 7.40 File:Input1.OUT
Page
1 ESERCITAZIONE 5
G L O B A L F O R C E B A L A N C E
TOTAL FORCE AND MOMENT AT THE ORIGIN, IN GLOBAL COORDINATES
LOAD Q1+Q2 ------------------
FX FY FZ MX MY MZ
APPLIED .000000 .000000 -20.784607 .000000 62.353822 1.04E-30
REACTNS 1.78E-15 .000000 20.784607 .000000 -62.353822 .000000
TOTAL 1.78E-15 .000000 1.07E-14 .000000 -2.13E-14 1.04E-30
Program SAP2000 Nonlinear Version 7.40 File:Input1.OUT
Page
1 ESERCITAZIONE 6
F R A M E E L E M E N T I N T E R N A L F O R C E S
ELEM 1 ================== LENGTH = 3.464101
LOAD Q1+Q2 ------------------
REL DIST P V2 V3 T M2 M3
0.00000 -12.948842 -4.500000 5.45E-16 .000000 .000000 .000000
0.25000 -11.649805 -2.250000 2.72E-16 .000000 -3.54E-16 2.922835
0.50000 -10.350767 1.29E-16 1.17E-31 .000000 -4.72E-16 3.897114
0.75000 -9.051730 2.250000 -2.72E-16 .000000 -3.54E-16 2.922835
1.00000 -7.752692 4.500000 -5.45E-16 .000000 -4.06E-31 -1.95E-16
ELEM 2 ================== LENGTH = 3.464101
LOAD Q1+Q2 ------------------
REL DIST P V2 V3 T M2 M3
0.00000 -12.948842 -4.500000 5.45E-16 .000000 .000000 .000000
0.25000 -11.649805 -2.250000 2.72E-16 .000000 -3.54E-16 2.922835
0.50000 -10.350767 1.29E-16 1.17E-31 .000000 -4.72E-16 3.897114
0.75000 -9.051730 2.250000 -2.72E-16 .000000 -3.54E-16 2.922835
1.00000 -7.752692 4.500000 -5.45E-16 .000000 -4.06E-31 -1.95E-16
ELEM 3 ================== LENGTH = 3.000000
LOAD Q1+Q2 ------------------
REL DIST P V2 V3 T M2 M3
0.00000 8.964028 -0.020770 .000000 .000000 .000000 .000000
0.25000 8.964028 -0.020770 .000000 .000000 .000000 0.015578
0.50000 8.964028 -0.020770 .000000 .000000 .000000 0.031155
0.75000 8.964028 -0.020770 .000000 .000000 .000000 0.046733
1.00000 8.964028 -0.020770 .000000 .000000 .000000 0.062310
ELEM 4 ================== LENGTH = 3.000000
LOAD Q1+Q2 ------------------
REL DIST P V2 V3 T M2 M3
0.00000 8.964028 0.020770 .000000 .000000 .000000 0.062310
0.25000 8.964028 0.020770 .000000 .000000 .000000 0.046733
0.50000 8.964028 0.020770 .000000 .000000 .000000 0.031155
0.75000 8.964028 0.020770 .000000 .000000 .000000 0.015578
1.00000 8.964028 0.020770 .000000 .000000 .000000 -2.60E-18
ELEM 5 ================== LENGTH = 1.732050
LOAD Q1+Q2 ------------------
REL DIST P V2 V3 T M2 M3
0.00000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 .000000
0.25000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 1.50E-18
0.50000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 3.00E-18
0.75000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 4.51E-18
Program SAP2000 Nonlinear Version 7.40 File:Input1.OUT
Page
1 ESERCITAZIONE 7
F R A M E E L E M E N T I N T E R N A L F O R C E S
REL DIST P V2 V3 T M2 M3
1.00000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 6.01E-18
E questa la deformata:
in cui si può vedere la vera "flessione" della catena inferiore, evidentemente responsabile della nascita dello sforzo nel monaco.
Ti ringrazio di cuore per aver smentito la mia tesi iniziale, se seguivo quella strada avrei sbagliato vergognosamente.
Ottimo lavoro ELWOOD! Purtroppo ho avuto un pò da fare (come forse avrai notato data la mia assenza dal forum per qualche giorno...) quindi non ho potuto cimentarmi nello studio di questa struttura come avrei voluto.
Un ringraziamento anche a sonoqui_ per le sue puntuali e precise osservazioni!
Ciao a entrambi
Un ringraziamento anche a sonoqui_ per le sue puntuali e precise osservazioni!
Ciao a entrambi
"JoJo_90":
Purtroppo ho avuto un pò da fare (come forse avrai notato data la mia assenza dal forum per qualche giorno...) quindi non ho potuto cimentarmi nello studio di questa struttura come avrei voluto.
Non preoccuparti, l'importante è aver risolto il dubbio
Qualitativamente mi torna anche a me la deformata. Hai trovato la formula espressa in funzione dei diversi parametri delle sezioni delle travi, va meglio rispetto a quello che avevo trovato, avevo semplificato troppo in effetti ipotizzando che tutte le sezioni delle travi fossero uguali.
Ci deve essere un piccolo errore nei calcoli del programma che utilizzi, perchè il momento flettente nel tratto 5 dovrebbe essere nullo e quello del tratto 3 dovrebbe essere simmetrico al tratto 4. Ma si tratta di poco.
Ci deve essere un piccolo errore nei calcoli del programma che utilizzi, perchè il momento flettente nel tratto 5 dovrebbe essere nullo e quello del tratto 3 dovrebbe essere simmetrico al tratto 4. Ma si tratta di poco.
Ciao sonoqui_ ho fatto una piccola dimenticanza nell'espressione di Y,ho dimenticato un termine ($A_{s2}$) che moltiplica il primo termine a denominatore, ma il risultato numerico è comunque corretto.
$Y=\frac{18(3\sqrt(3)A_1+8A_2)J_2GA_{s2}}{GA_1A_{s2}[9A_2+J_2(2\sqrt(3)+9)]+8A_2J_2\sqrt(3)GA_{s2}+3EA_1A_2J_2}$
Per elemento 5 intendi il monaco?
Il valore è molto piccolo (parliamo di $10^{-18}!$ sicchè risulta trascurabile:
Per la simmetria del tratto 3-4 se guardi coincide perfettamente, il fatto è che i valori sono specchiati. E' solo l'ultimo termine del tratto 4 che invece di risultare nullo viene -2.60E-18 ma questo è dovuto ad approssimazioni numeriche.
Questo programma opera con elementi finiti, per cui si ha a che fare con rapporti di quantità piccolissime, di fatto zero ma il programma le approssima a queste quantità infinitesime.
$Y=\frac{18(3\sqrt(3)A_1+8A_2)J_2GA_{s2}}{GA_1A_{s2}[9A_2+J_2(2\sqrt(3)+9)]+8A_2J_2\sqrt(3)GA_{s2}+3EA_1A_2J_2}$
Per elemento 5 intendi il monaco?
Il valore è molto piccolo (parliamo di $10^{-18}!$ sicchè risulta trascurabile:
ELEM 5 ================== LENGTH = 1.732050 LOAD Q1+Q2 ------------------ REL DIST P V2 V3 T M2 M3 0.00000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 .000000 0.25000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 1.50E-18 0.50000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 3.00E-18 0.75000 -0.041540 -3.47E-18 .000000 .000000 .000000 4.51E-18
Per la simmetria del tratto 3-4 se guardi coincide perfettamente, il fatto è che i valori sono specchiati. E' solo l'ultimo termine del tratto 4 che invece di risultare nullo viene -2.60E-18 ma questo è dovuto ad approssimazioni numeriche.
Questo programma opera con elementi finiti, per cui si ha a che fare con rapporti di quantità piccolissime, di fatto zero ma il programma le approssima a queste quantità infinitesime.
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