Segnali e prodotto di Convoluzione
Ciao a tutti!!!!
sono tornato per chiedere il vostro aiuto, volevo dimostrare per esercizio la proprietà associativa del prodotto di convoluzione ma ogni volta che mi sembra di arrivare a qualcosa mi "incarto" potete darmi una mano?a questo punto voglio sapere come si fa ma la dimostrazione non l'ho trovata ne su internet ne sul libro e il prof ha dimostrato quella commutativa e quella distributiva ma non quella associativa.........
HELP ME!!!
$[x(t)$*$y(t)]$*$h(t)=[y(t)$*$h(t)]$*$x(t) $
GRAZIE!!!!
sono tornato per chiedere il vostro aiuto, volevo dimostrare per esercizio la proprietà associativa del prodotto di convoluzione ma ogni volta che mi sembra di arrivare a qualcosa mi "incarto" potete darmi una mano?a questo punto voglio sapere come si fa ma la dimostrazione non l'ho trovata ne su internet ne sul libro e il prof ha dimostrato quella commutativa e quella distributiva ma non quella associativa.........
HELP ME!!!
$[x(t)$*$y(t)]$*$h(t)=[y(t)$*$h(t)]$*$x(t) $
GRAZIE!!!!
Risposte
$[x(t)*y(t)]*h(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)(\int_(-\infty)^(+\infty)x(tau)y(t-\tau)d\tau)|_(t=u)h(t-u)du=\int_(-\infty)^(+\infty)(\int_(-\infty)^(+\infty)x(tau)y(u-\tau)d\tau)h(t-u)du=\int_(-\infty)^(+\infty)x(tau)d\tau\int_(-\infty)^(+\infty)y(u-\tau)h(t-u)du$
$=\int_(-\infty)^(+\infty)x(tau)d\tau\int_(-\infty)^(+\infty)y(\xi)h[(t-\tau)-\xi]d\xi=\int_(-\infty)^(+\infty)x(\tau)(\int_(-\infty)^(+\infty)y(\xi)h(t-\xi)d\xi\)|_(t=t-\tau)d\tau=x(t)*[y(t)*h(t)]=x(t)*[h(t)*y(t)]$
avendo sostituito $u=\xi+\tau$ e avendo assodato che $y(t)*h(t)=h(t)*y(t)$.
Puoi ripeterlo ciclicamente per gli altri.
$=\int_(-\infty)^(+\infty)x(tau)d\tau\int_(-\infty)^(+\infty)y(\xi)h[(t-\tau)-\xi]d\xi=\int_(-\infty)^(+\infty)x(\tau)(\int_(-\infty)^(+\infty)y(\xi)h(t-\xi)d\xi\)|_(t=t-\tau)d\tau=x(t)*[y(t)*h(t)]=x(t)*[h(t)*y(t)]$
avendo sostituito $u=\xi+\tau$ e avendo assodato che $y(t)*h(t)=h(t)*y(t)$.
Puoi ripeterlo ciclicamente per gli altri.
Grazie della dimostrazione ma non mi è chiara una cosa, se ho capito dopo aver fatto la convoluzione tra x e y, fai la stessa cosa tra y e h, ma h non dovrebbe essere : $h(t-(t-u)$?spero di essere stato chiaro
Io veramente avevo il dubbio su cosa scrivere tra parentesi per h così avevo fatto un ragionamento diverso, data la proprietà commutativa avevo scritto:
$h(t)$*$[x(t)$*$y(t)]$
così facendo sotto il doppio integrale mi veniva
$h(b)*x(a-b)*y(t-a-b)$
da quì sostituendo l'unico problema ce l'avevo con x
é sbagliato il mio ragionamento?
Io veramente avevo il dubbio su cosa scrivere tra parentesi per h così avevo fatto un ragionamento diverso, data la proprietà commutativa avevo scritto:
$h(t)$*$[x(t)$*$y(t)]$
così facendo sotto il doppio integrale mi veniva
$h(b)*x(a-b)*y(t-a-b)$
da quì sostituendo l'unico problema ce l'avevo con x
é sbagliato il mio ragionamento?
Scusa se pongo $s(t)=x(t)*y(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)x(\tau)y(t-\tau)d\tau$ allora
$[x(t)*y(t)]*h(t)=s(t)*h(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)s(u)h(t-u)du=\int_(-\infty)^(+\infty)(\int_(-\infty)^(+\infty)x(\tau)y(t-\tau)d\tau)|_(t=u)h(t-u)du$
Non capisco bene il secondo ragionamento. Se non ti è chiaro come l'ho dimostrato, prova a postare i tuoi conti e vediamo dov'è il problema.
$[x(t)*y(t)]*h(t)=s(t)*h(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)s(u)h(t-u)du=\int_(-\infty)^(+\infty)(\int_(-\infty)^(+\infty)x(\tau)y(t-\tau)d\tau)|_(t=u)h(t-u)du$
Non capisco bene il secondo ragionamento. Se non ti è chiaro come l'ho dimostrato, prova a postare i tuoi conti e vediamo dov'è il problema.
Il dubbio maggiore che ho è quando fai la convoluzione tra y e h
Un passo alla volta forze è meglio
faccio la convoluzione tra x e y:
$∫x(α)*y(t-α)dα$*$h(t)$ ok?
Facendo la convoluzione tra y e h non dovrei avere:
$∫y(t-α)*h(t'-(t-α))d(t-α)$
Ovvero quando nella dimostrazione hai imposto t=u perchè non hai tenuto conto della T? non deve essere t-T=u?
Un passo alla volta forze è meglio
faccio la convoluzione tra x e y:
$∫x(α)*y(t-α)dα$*$h(t)$ ok?
Facendo la convoluzione tra y e h non dovrei avere:
$∫y(t-α)*h(t'-(t-α))d(t-α)$
Ovvero quando nella dimostrazione hai imposto t=u perchè non hai tenuto conto della T? non deve essere t-T=u?
Allora se scrivo $s(t)=x(t)*y(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)x(\tau)y(t-\tau)d\tau$, vuol dire che il segnale $s(t)$ dato dalla convoluzione di $x(t)$ e $y(t)$ dipende dalla sola variabile $t$ (infatti stiamo integrando solo rispetto a $\tau$).
Quando scrivo
$s(t)*h(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)s(u)h(t-u)du$
questo è un nuovo segnale che dipende anch'esso soltanto da $t$. La quantità $s(u)$ è esattamente il segnale precedente con l'imposizione $t=u$. Spero sia chiaro.
Quando scrivo
$s(t)*h(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)s(u)h(t-u)du$
questo è un nuovo segnale che dipende anch'esso soltanto da $t$. La quantità $s(u)$ è esattamente il segnale precedente con l'imposizione $t=u$. Spero sia chiaro.
[OT]
In MathML l'asterisco si fa con \$ ** \$ (che produce $**$).
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In MathML l'asterisco si fa con \$ ** \$ (che produce $**$).
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