[Segnali] BIBO stabilità e funzione di trasferimento: spiegazione di un esercizio con soluzione
Salve a tutti,
chi tra voi mi saprebbe spiegare in che modo si è ricavata la BIBO stabilità a partire dalla $H(s)$ in questo esercizio?
Vi posto traccia e soluzione, si tratta quindi di commentare il risultato.
Grazie!
chi tra voi mi saprebbe spiegare in che modo si è ricavata la BIBO stabilità a partire dalla $H(s)$ in questo esercizio?
Vi posto traccia e soluzione, si tratta quindi di commentare il risultato.
Grazie!
Risposte
Cosa c'è che non ti torna?
Buongiorno D4lF4zZI0,
non mi torna il procedimento risolutivo. Ovvero: non ho capito l'algoritmo con cui dalla FDT $H(s)$ deduce la BIBO stabilità del sistema. Mi potresti aiutare a comprendere?
Ti ringrazio
non mi torna il procedimento risolutivo. Ovvero: non ho capito l'algoritmo con cui dalla FDT $H(s)$ deduce la BIBO stabilità del sistema. Mi potresti aiutare a comprendere?
Ti ringrazio
Dalla definizione di stabilità BIBO, si sa che $ AA u(t)0 ):} $.
Dunque, dovendo considerare un qualunque ingresso limitato, consideriamo l'ingresso $u(t)=1$ ed analizziamo per primo il caso in cui $a=0$.
Trasformando secondo Laplace, si ha:
$ Y(s)=U(s)H(s)=1/s (s-1)/s^2=1/s^2-1/s^3 $
la cui antitrasformata vale:
$ y(t)=t-1/2t^2 $
che non risulta essere limitata per $t>0$; conseguentemente, il sistema non è BIBO stabile per $a=0$.
Quando, invece, $a!=0$, per la BIBO stabilità è sufficiente che la fdt presenti poli a parte reale negativa; i poli della fdt valgono $s=+-a$ e, quindi, la fdt, presentando un poli a parte reale positiva sembrerebbe BIBO instabile, ma se poniamo $a=+-1$, allora la fdt ( a causa del suo numeratore ) assume l'espressione $ H(s)=1/(s+1) $ che risulta BIBO stabile.
In definitiva, la fdt è BIBO stabile per $a=+-1$
Dunque, dovendo considerare un qualunque ingresso limitato, consideriamo l'ingresso $u(t)=1$ ed analizziamo per primo il caso in cui $a=0$.
Trasformando secondo Laplace, si ha:
$ Y(s)=U(s)H(s)=1/s (s-1)/s^2=1/s^2-1/s^3 $
la cui antitrasformata vale:
$ y(t)=t-1/2t^2 $
che non risulta essere limitata per $t>0$; conseguentemente, il sistema non è BIBO stabile per $a=0$.
Quando, invece, $a!=0$, per la BIBO stabilità è sufficiente che la fdt presenti poli a parte reale negativa; i poli della fdt valgono $s=+-a$ e, quindi, la fdt, presentando un poli a parte reale positiva sembrerebbe BIBO instabile, ma se poniamo $a=+-1$, allora la fdt ( a causa del suo numeratore ) assume l'espressione $ H(s)=1/(s+1) $ che risulta BIBO stabile.
In definitiva, la fdt è BIBO stabile per $a=+-1$
Grazie per la tua risposta, che ho compreso. Purtroppo non comprendo il metodo utilizzato nell'esercizio postato.
Nello specifico, non è discusso quando $a=0$ ma si è andati precisi sul valore $a=+-1$. Perchè?
Inoltre, se me lo consenti, vorrei sottoporti una ulteriore soluzione sempre riguardante la BIBO stabilità e non compresa
Nello specifico, non è discusso quando $a=0$ ma si è andati precisi sul valore $a=+-1$. Perchè?
Inoltre, se me lo consenti, vorrei sottoporti una ulteriore soluzione sempre riguardante la BIBO stabilità e non compresa
Siamo andati sicuro su $a=+-1$ giusto perchè osservando la fdt la si può scrivere $H(s)=(s-1)/((s+a)(s-a))$ e quindi si vede subito che quando $a=+-1$ si semplifica uno dei due fattori a turno presenti al denominatore 
Ho capito grazie
Sono pesante se ti chiedo un parere riguardo la parte sottolineata in rosso nell'immagine che ho postato? Non ho compreso cosa c'entri la radice al numeratore per la verità..
Ad ogni modo grazie per la tua cortesia e precisione!
Sono pesante se ti chiedo un parere riguardo la parte sottolineata in rosso nell'immagine che ho postato? Non ho compreso cosa c'entri la radice al numeratore per la verità..
Ad ogni modo grazie per la tua cortesia e precisione!
Si vuole verificare se sia possibile avere un sistema bibo stabile, ma non asintoticamente stabile.
Allora, affinchè il sistema sia non asintoticamente stabile, deve avere almeno un polo a parte reale positiva ( o un polo a parte reale nulla con molteplicità maggiore di 1).
Di conseguenza, se il denominatore lo si scrive nella forma:
$ H(s)=(s-1)/((s-1)(s+p)) $, allora il sistema è NON asintoticamente stabile perchè presenta un polo a parte reale positiva, ma risulta essere bibo stabile
Allora, affinchè il sistema sia non asintoticamente stabile, deve avere almeno un polo a parte reale positiva ( o un polo a parte reale nulla con molteplicità maggiore di 1).
Di conseguenza, se il denominatore lo si scrive nella forma:
$ H(s)=(s-1)/((s-1)(s+p)) $, allora il sistema è NON asintoticamente stabile perchè presenta un polo a parte reale positiva, ma risulta essere bibo stabile
Ciao, mi scuso per la risposta tardiva e ti ringrazio per la pazienza che dimostri.
Continuo a non capire il ragionamento che sta dietro: volta per volta comprendo la tua spiegazione ma non riesco a cogliere quella che offre la souzione.
Vorrei comprendere proprio quel ragionamento che sta alla base delle soluzioni che mi si offrono.
Per esempio:
(Il sistema è bibo stabile per $a>1$ perchè precedentemente si è dimostrata l'asintotica stabilità per quei valori di $a$)
Domande:
$1)$Perchè annulla prima il numeratore e poi impone che per la stessa $s$ per cui esso si è annullato, si debba annullare anche il denominatore?
$2)$Una volta trovate le radici $a_i$ per cui ciò avviene, come fa a dedurre che il sistema è bibo stabile per $a=1$ e non per $a=0$ dalla $H(s)$? Da dove lo vede?
Grazie, il tuo aiuto è molto importante per me
Continuo a non capire il ragionamento che sta dietro: volta per volta comprendo la tua spiegazione ma non riesco a cogliere quella che offre la souzione.
Vorrei comprendere proprio quel ragionamento che sta alla base delle soluzioni che mi si offrono.
Per esempio:
(Il sistema è bibo stabile per $a>1$ perchè precedentemente si è dimostrata l'asintotica stabilità per quei valori di $a$)
Domande:
$1)$Perchè annulla prima il numeratore e poi impone che per la stessa $s$ per cui esso si è annullato, si debba annullare anche il denominatore?
$2)$Una volta trovate le radici $a_i$ per cui ciò avviene, come fa a dedurre che il sistema è bibo stabile per $a=1$ e non per $a=0$ dalla $H(s)$? Da dove lo vede?
Grazie, il tuo aiuto è molto importante per me
Mettiamola in questi termini, avendo un grado di libertà ( rappresentato proprio dal parametro $a$ ), conviene semplificare il numeratore in modo da rendere più semplice la fdt e rendere immediata l'analisi della stabilità.
Detto questo, è chiaro che per semplificare il numeratore la fdt deve avere un polo in $s=1$; quindi andando a sostituire al denominatore $s=1$ si ottiene $ { ( a=0 ),( a=-1 ):} $ ( ovviamente i passaggi sono quelli riportati nel testo inutile che li riscrivo io ).
Fatto questo, iniziamo ad analizzare la BIBO stabilità al variare di $a$ e partiamo proprio dai due valori appena trovati:
1) $ H(s,a=0)=(s-1)/(s^2-s)=(s-1)/(s(s-1))=1/s $. Onestamente si vede subito che è non BIBO stabile, però supponiamo di non essere così bravi e scegliamo, tra tanti ingressi limitati, il più semplice, ovvero quello costante $u=1$ la cui trasformata di Laplace è $U(s)=1/s$ a cui corrisponde una uscita $Y(s)=1/s^2$ che nel dominio del tempo è $y(t)=t$ risulta non limitata per $trarr +oo$. Dunque, per $a=0$ il sistema non è BIBO stabile;
2) $ H(s,a=-1)=(s-1)/(s^2-1)=(s-1)/((s+1)(s-1))=1/(s+1) $. Anche in questo caso si vede subito che il sistema è BIBO stabile. Come prima, supponiamo l'ingresso costante $u=1$ ottenendo l'uscita $Y(s)=1/(s(s+1))$ la cui antitrasformata è la funzione $y(t)=1-e^(-t)$ che è una funzione limitata per $trarr +oo$ e, dunque, il sistema è BIBO stabile.
Ora resta da capire cosa succede al sistema in termini di stabilità quando $a<-1$, $01$.
Penso che ora puoi proseguire anche da solo
Detto questo, è chiaro che per semplificare il numeratore la fdt deve avere un polo in $s=1$; quindi andando a sostituire al denominatore $s=1$ si ottiene $ { ( a=0 ),( a=-1 ):} $ ( ovviamente i passaggi sono quelli riportati nel testo inutile che li riscrivo io ).
Fatto questo, iniziamo ad analizzare la BIBO stabilità al variare di $a$ e partiamo proprio dai due valori appena trovati:
1) $ H(s,a=0)=(s-1)/(s^2-s)=(s-1)/(s(s-1))=1/s $. Onestamente si vede subito che è non BIBO stabile, però supponiamo di non essere così bravi e scegliamo, tra tanti ingressi limitati, il più semplice, ovvero quello costante $u=1$ la cui trasformata di Laplace è $U(s)=1/s$ a cui corrisponde una uscita $Y(s)=1/s^2$ che nel dominio del tempo è $y(t)=t$ risulta non limitata per $trarr +oo$. Dunque, per $a=0$ il sistema non è BIBO stabile;
2) $ H(s,a=-1)=(s-1)/(s^2-1)=(s-1)/((s+1)(s-1))=1/(s+1) $. Anche in questo caso si vede subito che il sistema è BIBO stabile. Come prima, supponiamo l'ingresso costante $u=1$ ottenendo l'uscita $Y(s)=1/(s(s+1))$ la cui antitrasformata è la funzione $y(t)=1-e^(-t)$ che è una funzione limitata per $trarr +oo$ e, dunque, il sistema è BIBO stabile.
Ora resta da capire cosa succede al sistema in termini di stabilità quando $a<-1$, $0
Penso che ora puoi proseguire anche da solo
Grazie, chiarissimo!
Quindi nella soluzione sono semplicemente omessi i passaggi di antitrasformazione..
Dunque:
quando $a>1$, il sistema è bibo stabile perchè è anche asintoticamente stabile..
per $a<-1$ e per $-1
Quindi nella soluzione sono semplicemente omessi i passaggi di antitrasformazione..
Dunque:
quando $a>1$, il sistema è bibo stabile perchè è anche asintoticamente stabile..
per $a<-1$ e per $-1
Colpa mia: ho dimenticato il caso $-1
Analizziamo i vari casi:
1) $a<-1$: il polinomio al denominatore vale $s^2+(a^2-1)s+a$ ed essendo $a<-1$ lo possiamo scrivere come $s^2+ks-a$ con $k=a^2-1>0$. Dunque per la regola di Cartesio, il polinomio caratteristico avrà un polo a parte reale positiva e, quindi, la fdt è instabile ( quindi anche BIBO instabile );
2) $-1
Quindi, in conclusione, il sistema è bibo stabile per $a=-1$ e $a>1$
Analizziamo i vari casi:
1) $a<-1$: il polinomio al denominatore vale $s^2+(a^2-1)s+a$ ed essendo $a<-1$ lo possiamo scrivere come $s^2+ks-a$ con $k=a^2-1>0$. Dunque per la regola di Cartesio, il polinomio caratteristico avrà un polo a parte reale positiva e, quindi, la fdt è instabile ( quindi anche BIBO instabile );
2) $-1
Quindi, in conclusione, il sistema è bibo stabile per $a=-1$ e $a>1$
Sei un grande, ti ringrazio enormente!
comuqnue l'idea della semplificazione della fdt annullando il numeratore non mi è ancora chiara.. personalmente credo che nella fdt il numeratore (ovvero l'ingresso) si annulli per lo stesso motivo per cui si annulla l'ingresso nel calcolo della risposta libera. Tu che ne pensi?
A parte ciò, ho apprezzato davvero il tuo aiuto. Grazie
comuqnue l'idea della semplificazione della fdt annullando il numeratore non mi è ancora chiara.. personalmente credo che nella fdt il numeratore (ovvero l'ingresso) si annulli per lo stesso motivo per cui si annulla l'ingresso nel calcolo della risposta libera. Tu che ne pensi?
A parte ciò, ho apprezzato davvero il tuo aiuto. Grazie
Non c'entra quello che dici, il motivo è che semplificando la fdt si vede subito quando e se essa è stabile o meno. Fai caso, avendo semplificato il numeratore, abbiamo ottenuto una fdt del primo ordine che si vede " ad occhio " quando è stabile o meno, vicerversa nell'altro caso abbiamo dovuto fare uno studio di una funzione ( e per fortuna che conosciamo la regola di Cartesio altrimenti dovevamo ricorrere a Routh o altri criteri per la stabilità! )
ah e quindi quando noi annulliamo il numeratore, lo facciamo solo per ricavare valori "immediati" di $a$ da cui poi poter descrivere il sistema?
trovare la radice $r$ al numeratore e poi imporre che essa sia anche radice del denominatore è un modo per far sì che il numeratore si semplifichi con un fattore $(s-r)$ al denominatore, facendoci giungere ad una versione della fdt semplificata.
Da tale versione ricaviamo il valore di a e ne studiamo la stabilità.
E' così?
trovare la radice $r$ al numeratore e poi imporre che essa sia anche radice del denominatore è un modo per far sì che il numeratore si semplifichi con un fattore $(s-r)$ al denominatore, facendoci giungere ad una versione della fdt semplificata.
Da tale versione ricaviamo il valore di a e ne studiamo la stabilità.
E' così?
Si è così, lo si fa solo per studiare in modo rapido la stabilità in alcuni valori del parametro.
Ovviamente nulla e nessuno vieta di non semplificare e studiare semplicemente il denominatore oppure meglio ancora applicare direttamente la definizione di BIBO stabilità alla fdt, antitrasformarla con il parametro $a$, e studiarla nel dominio del tempo
Ovviamente nulla e nessuno vieta di non semplificare e studiare semplicemente il denominatore oppure meglio ancora applicare direttamente la definizione di BIBO stabilità alla fdt, antitrasformarla con il parametro $a$, e studiarla nel dominio del tempo
Ok, grazie della conferma.
Comunque ho visto che molte volte basta ricondurre la fdt nella forma $1/(p(s))$ (dove $p(s)$ è un polinomio in $s$), per poi concludere che i poli $r$ a parte reale negativa della fdt sono quei valori per cui il sistema presenta BIBO stabilità.
Senza ricorrere alle trasformate, non avremmo potuto vedere quali tra i poli erano a parte reale negativa?
Ti ringrazio!
Comunque ho visto che molte volte basta ricondurre la fdt nella forma $1/(p(s))$ (dove $p(s)$ è un polinomio in $s$), per poi concludere che i poli $r$ a parte reale negativa della fdt sono quei valori per cui il sistema presenta BIBO stabilità.
Senza ricorrere alle trasformate, non avremmo potuto vedere quali tra i poli erano a parte reale negativa?
Ti ringrazio!
Figurati
E proprio l'ultima domanda me la lasci in sospeso??
Scusa hai ragione, ho letto solo la fine del messaggio 
In generale si, se un sistema è asintoticamente stabile allora è anche bibo stabile
PS: c'è un caso limite però, a differenza di quanto accade nell'asintotica stabilità, se la fdt si presenta del tipo $H(s)=s/(s^2+omega^2)$ oppure $H(s)=omega/(s^2+omega^2)$, mentre diremo che il sistema è ancora asintoticamente stabile, per la bibo stabilità si dice che il sistema va in risonanza!
In generale si, se un sistema è asintoticamente stabile allora è anche bibo stabile
PS: c'è un caso limite però, a differenza di quanto accade nell'asintotica stabilità, se la fdt si presenta del tipo $H(s)=s/(s^2+omega^2)$ oppure $H(s)=omega/(s^2+omega^2)$, mentre diremo che il sistema è ancora asintoticamente stabile, per la bibo stabilità si dice che il sistema va in risonanza!
D'accordo, beh grazie di tutto! Credo che quanto abbiamo discusso possa risultare assai utile per molti altri utenti!
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