Segnali (aleatori) - autocorrelazione di un processo
si consideri il processo
$ X(t)= sum_(n = 0)^(oo)A_ncos(2\pinf_0t) $
dove $A_n$ sono variabili aleatorie indipendenti a media nulla e con varianza $\sigma^2(n)=2^(-n)\sigma^2_0$
calcolare la funzione di autocorrelazione di X(t) e discutere la stazionarietà del processo.
io ho impostato $r_x(t;\tau)=E{X(t)*X(t+\tau)}=E{sum_(n = 0)^(oo)A_ncos(2\pinf_0t)*sum_(n = 0)^(oo)A_ncos(2\pinf_0t+2\pinf_0\tau)}$. dal prodotto delle sommatorie penso si possa passare alla sommatoria dei prodotti (dato che non siamo matematici ma ingegneri
) e, sviluppando $cos(a)+cos(b)$, alla fine mi verrebbe
$r_x(t;\tau)=\sigma^2_0*sum_(n = 0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]$ che penso si possa semplificare ulteriormente ma non vedo come.
qualcuno mi aiuta?
$ X(t)= sum_(n = 0)^(oo)A_ncos(2\pinf_0t) $
dove $A_n$ sono variabili aleatorie indipendenti a media nulla e con varianza $\sigma^2(n)=2^(-n)\sigma^2_0$
calcolare la funzione di autocorrelazione di X(t) e discutere la stazionarietà del processo.
io ho impostato $r_x(t;\tau)=E{X(t)*X(t+\tau)}=E{sum_(n = 0)^(oo)A_ncos(2\pinf_0t)*sum_(n = 0)^(oo)A_ncos(2\pinf_0t+2\pinf_0\tau)}$. dal prodotto delle sommatorie penso si possa passare alla sommatoria dei prodotti (dato che non siamo matematici ma ingegneri
) e, sviluppando $cos(a)+cos(b)$, alla fine mi verrebbe $r_x(t;\tau)=\sigma^2_0*sum_(n = 0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]$ che penso si possa semplificare ulteriormente ma non vedo come.
qualcuno mi aiuta?
Risposte
Comincia ad usare due indici diversi per le sommatorie, ad esempio \(m\) ed \(n\)
niente da fare.. anche usando indici diversi non riesco a cavare un ragno dal buco. ho provato anche a passare in forma polare ma sono sempre punto e a capo. sento che dovrei avere un intuizione che mi semplificherebbe i conti ma che al momento purtroppo non ho.. 
mi sai dare un altro aiuto?
grazie comunque per ora
mi sai dare un altro aiuto?
grazie comunque per ora
Partiamo da quello che hai scritto, usando i due indici diversi per le sommatorie
\(\displaystyle r_x(t;\tau)=E\{X(t)\cdot X(t+\tau)\}=E\{\sum_{n = 0}^{\infty}A_n \cos(2\pi n f_0 t)\cdot\sum_{m = 0}^\infty A_m \cos(2\pi m f_0 t+2\pi m f_0\tau)\}\)
Ora dovresti invocare la linearità del valore atteso e l'indipendenza delle variabili aleatorie, vale a dire
\(
E\{A_n A_m\}=0
\)
per \(n\ne m\).
\(\displaystyle r_x(t;\tau)=E\{X(t)\cdot X(t+\tau)\}=E\{\sum_{n = 0}^{\infty}A_n \cos(2\pi n f_0 t)\cdot\sum_{m = 0}^\infty A_m \cos(2\pi m f_0 t+2\pi m f_0\tau)\}\)
Ora dovresti invocare la linearità del valore atteso e l'indipendenza delle variabili aleatorie, vale a dire
\(
E\{A_n A_m\}=0
\)
per \(n\ne m\).
si giusto! finchè $n!=m$ il valore medio del prodotto è 0 quindi spariscono tutti i termini della sommatoria in m..
adesso sono arrivato a: $sum_(n=0)^(oo)E{A_n^2/2}[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=sum_(n=0)^(oo)2^(-n)\sigma_0^2/2sum_(n=0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]= \sigma_0^2sum_(n=0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]$
questa somma di coseni non la so ridurre ulteriormente in una forma più compressa, quindi mi verrebbe da concludere che il processo non è stazionario dato che la funzione di autocorrelazione non è funzione del solo $\tau$.
adesso sono arrivato a: $sum_(n=0)^(oo)E{A_n^2/2}[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=sum_(n=0)^(oo)2^(-n)\sigma_0^2/2sum_(n=0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]= \sigma_0^2sum_(n=0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]$
questa somma di coseni non la so ridurre ulteriormente in una forma più compressa, quindi mi verrebbe da concludere che il processo non è stazionario dato che la funzione di autocorrelazione non è funzione del solo $\tau$.
Non avevo mai fatto un esercizio del genere 
i tuoi conti sono giusti li ho fatti anche io identici (almeno che entrambi non stiamo sbagliando); quindi credo che possa andar bene. Però bò, non mi convince pienamente ad essere sincero...aspetto altre risposte anchio 
i tuoi conti sono giusti li ho fatti anche io identici (almeno che entrambi non stiamo sbagliando); quindi credo che possa andar bene. Però bò, non mi convince pienamente ad essere sincero...aspetto altre risposte anchio
"bord89":
$sum_(n=0)^(oo)E{A_n^2/2}[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=sum_(n=0)^(oo)2^(-n)\sigma_0^2/2sum_(n=0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]$
Non capisco il passaggio che ho citato: come fai a passare da una a due sommatorie?
"luca.barletta":
[quote="bord89"]$sum_(n=0)^(oo)E{A_n^2/2}[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=sum_(n=0)^(oo)2^(-n)\sigma_0^2/2sum_(n=0)^(oo)[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]$
Non capisco il passaggio che ho citato: come fai a passare da una a due sommatorie?[/quote]
ok ammetto che questo passaggio me lo sono un po' "inventato"
il problema è che non so come chiudere quella serie e speravo che la sommatoria del prodotto in questo caso potesse essere uguale al prodotto delle sommatorie..
Il tuo problema si riconduce al calcolo della serie
\(
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \cos(a n)
\)
con \(a\in\mathbb{R}\). Prova a pensarci un po' su, non è così complicato come sembra.
\(
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \cos(a n)
\)
con \(a\in\mathbb{R}\). Prova a pensarci un po' su, non è così complicato come sembra.
"luca.barletta":
Il tuo problema si riconduce al calcolo della serie
\(
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \cos(a n)
\)
con \(a\in\mathbb{R}\). Prova a pensarci un po' su, non è così complicato come sembra.
FORSE qui ci sono..
$ sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^ncos(an)=sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n(e^(jan)+e^(-jan))/2=e^(ja)/2sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n+e^(-ja)/2sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n=2cos(a)$
prima di procedere oltre vorrei sincerarmi di avere fatto bene almeno fin qui..
"bord89":
FORSE qui ci sono..
$ sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^ncos(an)=sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n(e^(jan)+e^(-jan))/2=e^(ja)/2sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n+e^(-ja)/2sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n=2cos(a)$
prima di procedere oltre vorrei sincerarmi di avere fatto bene almeno fin qui..
Il primo passaggio va bene, ma il secondo non l'ho capito.
riguardando meglio i conti mi sono accorto di aver fatto un errore..
allora ricapitoliamo: $sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^ncos(an)=sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n(e^(jan)+e^(-jan))/2=1/2sum_(n = 0)^(oo ) (e^(ja)/2)^n+(e^(-ja)/2)^n=1/2(1/(1-e^(ja)/2)+1/(1-e^(-ja)/2))=(4-2cos(a))/(5-4cos(a))$
allora ricapitoliamo: $sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^ncos(an)=sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n(e^(jan)+e^(-jan))/2=1/2sum_(n = 0)^(oo ) (e^(ja)/2)^n+(e^(-ja)/2)^n=1/2(1/(1-e^(ja)/2)+1/(1-e^(-ja)/2))=(4-2cos(a))/(5-4cos(a))$
Ok, ora fila.
nonostante sia passato un mese ho ancora bisogno di risolvere questo esercizio che ad Agosto ho lasciato da parte.. 
spero di venirne a capo prima o poi.
da qui "basta" sostituire ad 'a' l'effettivo valore che aveva nell'equazione di partenza. l'espressione quindi dovrebbe diventare:
$sum_(n=0)^(oo)E{A_n^2/2}[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=sum_(n=0)^(oo)1/2*1/2^n\sigma_0^2[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=$
$=(\sigma_0^2)/2{sum_(n=0)^(oo)1/2^n*cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+sum_(n=0)^(oo)1/2^n*cos(2\pinf_0\tau)}= \sigma_0^2/2[(4-2cos(4\pif_0t+2\pif_0\tau))/(5-4cos(4\pif_0t+2\pif_0\tau)) + (4-2cos(2\pif_0\tau))/(5-4cos(2\pif_0\tau))]$
che è abbastanza ingestibile, quindi o ho fatto alcuni errori oppure mi sfugge un modo per semplificare le cose..
spero di venirne a capo prima o poi.
"bord89":
allora ricapitoliamo: $sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^ncos(an)=sum_(n = 0)^(oo ) 1/2^n(e^(jan)+e^(-jan))/2=1/2sum_(n = 0)^(oo ) (e^(ja)/2)^n+(e^(-ja)/2)^n=1/2(1/(1-e^(ja)/2)+1/(1-e^(-ja)/2))=(4-2cos(a))/(5-4cos(a))$
da qui "basta" sostituire ad 'a' l'effettivo valore che aveva nell'equazione di partenza. l'espressione quindi dovrebbe diventare:
$sum_(n=0)^(oo)E{A_n^2/2}[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=sum_(n=0)^(oo)1/2*1/2^n\sigma_0^2[cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+cos(2\pinf_0\tau)]=$
$=(\sigma_0^2)/2{sum_(n=0)^(oo)1/2^n*cos(4\pinf_0t+2\pinf_0\tau)+sum_(n=0)^(oo)1/2^n*cos(2\pinf_0\tau)}= \sigma_0^2/2[(4-2cos(4\pif_0t+2\pif_0\tau))/(5-4cos(4\pif_0t+2\pif_0\tau)) + (4-2cos(2\pif_0\tau))/(5-4cos(2\pif_0\tau))]$
che è abbastanza ingestibile, quindi o ho fatto alcuni errori oppure mi sfugge un modo per semplificare le cose..
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