[SdC] Grafico Tensioni di taglio
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Esercizio a pagina 412 VIOLA 2
Ciao ragazzi, questa sezione è sottoposta a flessione e a taglio, mentre per il diagramma a farfalla non ho problemi, vorrei sapere come mai quello delle tensioni di taglio è parabolico, come si fa a disegnarlo? Per sezioni di diversa geometria?
Invece questo diagramma come si disegna?
grazie ragazzi
Risposte
L'andamento parabolico si ricava con il metodo di Jourawsky, che permette di calcolare la media delle tensioni tangenziali lungo una cord, quindi è un metodo approssimativo, che si verifica funzionare bene soprattutto per i profili in parete sottile, come quello del secondo esempio che hai riportato. Parete sottile significa che lo spessore del profilo è relativamente piccolo rispetto alle sue dimensioni. Come vedi la corda, nel secondo esempio, è stata scelta orizzontale per il tratto verticale e verticale per i tratti orizzontali, in modo da tagliare il profilo sempre lungo la sua dimensione minore, che è lo spessore (b e b1, indicati in figura).
Grazie mille per la risposta, in rete ho trovato questa spiegazione molto chiara 
mi trovo con il calcolo del momento statico da lui fatto, ma se lo svolgo con gli integrali non mi viene.
$ S=int_(y)^(h/2) b*y dy $ considerando che l'area in rosso è a una distanza y dall'asse x. Insomma svolto l'integrale ottengo
$ (bh^2)/8 - (by^2)/2 $ come mai?
mi trovo con il calcolo del momento statico da lui fatto, ma se lo svolgo con gli integrali non mi viene.
$ S=int_(y)^(h/2) b*y dy $ considerando che l'area in rosso è a una distanza y dall'asse x. Insomma svolto l'integrale ottengo
$ (bh^2)/8 - (by^2)/2 $ come mai?
L'integrale si utilizza per calcolare l'area della sezione, individuata dalla corda. Dovresti cambiare nome alla variabile y che hai inserito nell'intergrale e calcolarlo tra 0 ed y (con riferimento alla figura postata). Ad ogni modo l'area del rettangolo dovrebbe essere una definizione.
Scusate l'intromissione, ma solo per chiarezza, il momento statico di una sezione calcolato nel suo baricentro è nullo. Te ne rendi conto esplicitando il calcolo attraverso l'integrale (...essendo il dominio simmetrico):
$S_x=\int_{h/2}^{h/2} A*d_G dy = 0$
ciò che interessa per il calcolo delle tensioni tangenziali è però la "distribuzione" del momento statico, data solamente dall' integrando:
$S_x(y) = A(y)*d_G = by*1/2(-h+y)$ con $0<=y<=h$
attenzione però che $y$ rappresenta la corda con origine in $-h/2$
il valore massimo di $S_x$ sarà dato dall'annullarsi della derivata:
$\frac{dS_x}{dy}=0 \ \ rarr \ \ d/(dy)[by*1/2(-h+y)]=0 \ \ rarr \ \ y = h/2$
ovvero proprio in mezzeria, dove la tensione tangenziale è massima.
ciao
$S_x=\int_{h/2}^{h/2} A*d_G dy = 0$
ciò che interessa per il calcolo delle tensioni tangenziali è però la "distribuzione" del momento statico, data solamente dall' integrando:
$S_x(y) = A(y)*d_G = by*1/2(-h+y)$ con $0<=y<=h$
attenzione però che $y$ rappresenta la corda con origine in $-h/2$
il valore massimo di $S_x$ sarà dato dall'annullarsi della derivata:
$\frac{dS_x}{dy}=0 \ \ rarr \ \ d/(dy)[by*1/2(-h+y)]=0 \ \ rarr \ \ y = h/2$
ovvero proprio in mezzeria, dove la tensione tangenziale è massima.
ciao
Grazie Elwood sinceramente non ci ho capito niente di quello che hai scritto..che è dg? perchè fai da 0 ad h? Perchè il mio integrale è sbagliato? Praticamente se ho capito bene ho una sezione rettangolare ci tiro una corda ad un distanza a piacere e calcolo l'area racchiusa tra la corda e il contorno della sezione giusto? Ora la figura in rosso (tenendo conto che il sistema di riferimento delle Y sia verso l'alto!) va da y ad h/2 o sbaglio?
"Daniele515":
Grazie Elwood sinceramente non ci ho capito niente di quello che hai scritto
Ti ringrazio per la sincerità
allora cercherò di essere il più chiaro possibile.
Diamo innanzitutto una definizione di momento statico piano (nel riferimento cartesiano):
$S_x=\int_A y dA$
in cui indico:
$S_x$ il momento statico calcolato rispetto all'asse x
$y$ è la distanza punto (o baricentro dell'area del quale si vuole calcolare il momento statico) rispetto all'asse $x$
(Analogamente $S_y=\int_A x dA$ rappresenta il momento statico rispetto all'asse $y$).
Bene, allora in riferimento alla figura, determiniamo il momento statico del rettangolo, rispetto all'asse $\xi$.
$S_{\xi}=\int_{-b/2}^{b/2}dx\int_{0}^{h}y*dy=\frac{bh^2}{2}$
Supponiamo di voler invece calcolare il momento statico, sempre del rettangolo in figura, rispetto però all'asse baricentrico $x$, allora la formula è:
$S_x=\int_{-b/2}^{b/2}dx\int_{-h/2}^{h/2}y*dy=0$
Il che risulta nullo, per la simmetria del dominio. (Quanto detto sopra per chiarire l'annullamento del momento statico se calcolato lungo un asse baricentrico).
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"Daniele515":
perchè fai da 0 ad h? Perchè il mio integrale è sbagliato? Praticamente se ho capito bene ho una sezione rettangolare ci tiro una corda ad un distanza a piacere e calcolo l'area racchiusa tra la corda e il contorno della sezione giusto? Ora la figura in rosso (tenendo conto che il sistema di riferimento delle Y sia verso l'alto!) va da y ad h/2 o sbaglio?
Per rispondere a queste domande, vediamo come calcolare la distribuzione delle tensioni tangenziali in una sezione rettangolare:
Il calcolo della loro distribuzione(media), lungo una corda generica, è data dalla nota formula di Jouwrasky:
$\bar{\tau}_{zy}=\frac{T_y*S_x}{I_x*b}$
in cui indico con:
$T_y$ la forza di taglio agente sulla sezione
$S_x$ rappresenta il momento statico dell'area sottesa dalla generica corda, calcolato rispetto all'asse baricentrico $x$
$I_x$ è invece il momento d'inerzia dell'intera sezione calcolato rispetto all'asse $x$
Per cui, da questa formula puoi dedurre alcune considerazioni fondamentali:
$S_x$ non è costante, ma bensì varia al variare della posizione della corda generica su cui vogliamo determinare la distribuzione delle $\tau$
$I_x$ è invece costante e rappresenta il momento d'inerzia dell'intera sezione, calcolato rispetto all'asse baricentrico $x$.
Per cui vediamo come fare per determinare la distribuzione delle $\tau$ sul nostro rettangolo, soggetto ad una forza tagliante $T$ applicata nel baricentro, tracciando una generica corda $C$ di riferimento:
Sempre per Jouwrasky le nostre tensioni tangenziali rispetto alla corda sono:
$\bar{\tau}_{zy}=\frac{T_y*S_x}{I_x*b}$
andiamo a calcolarci i valori:
il momento d'inerzia del rettangolo è $I_x=\frac{bh^3}{12}$
la lunghezza della corda coincide con la larghezza della sezione rettangolare $b$.
il momento statico è quello di $A'$ calcolato rispetto all'asse $x$ e possiamo esprimerlo come:
$S_x=A'*\bar{GG'}=b*\eta*(-h/2+\eta/2)$ Se sostituisci a questa espressione $y=\eta$ ti ritrovi quella che hai postato del tuo libro.
Per cui la distribuzione delle nostre tensioni vale:
$\bar{\tau}_{zy}=\frac{T_y*S_x}{I_x*b}=\frac{6T}{bh^3}*[b*\eta*(\eta-h)]$
Da cui evinci che
$\bar{\tau}_{zy}(\eta=0)=0$
$\bar{\tau}_{zy}(\eta=h)=0$
$\bar{\tau}_{zy}(\eta=h/2)=\frac{3}{2}\frac{T}{bh}$ cioè il valore massimo.
Per cui il momento statico è colui che determina la distribuzione delle $\tau$ e non a caso assume anche valore massimo in prossimità di mezzeria.
Non confonderti quindi sul momento statico dell'intera sezione che si annulla in prossimità del baricentro!
Grazie ora sei stato davvero chiaro (giuro) però ancora qualcosa non mi quadra..
ho cambiato il verso dell'asse y perchè mi è più comodo verso l'alto e ho scritto i valori della y all'inizio e alla fine della sezione A'...lo so che voglio complicarmi la vita calcolando il momento statico con gli integrali ma non capisco perchè non debba venire anche con questo metodo un risultato identico
.... $ S= int_(h/2- eta )^(h/2)b* y dy = b*(h/2)^2/2 - b*(h/2- eta)^2/2 $ che ad occhio e croce non mi sembra il risultato ottenuto da te...grazie mille elwood!
ho cambiato il verso dell'asse y perchè mi è più comodo verso l'alto e ho scritto i valori della y all'inizio e alla fine della sezione A'...lo so che voglio complicarmi la vita calcolando il momento statico con gli integrali ma non capisco perchè non debba venire anche con questo metodo un risultato identico
.... $ S= int_(h/2- eta )^(h/2)b* y dy = b*(h/2)^2/2 - b*(h/2- eta)^2/2 $ che ad occhio e croce non mi sembra il risultato ottenuto da te...grazie mille elwood!
Invece è proprio lo stesso (cambiato di segno)....raccogli, semplifica e vedrai 
si risolvendolo hai ragione!! perfetto ringrazio molto per la pazienza, vorrei aggiungere per chi dovesse leggere che con l'integrale che ho scritto si ottiene un segno diverso per via del sistema di riferimento che ho cambiato (mettendolo verso l'alto)....domani mi concentrerò sulla spiegazione che mi hai dato tempo fa sul nocciolo d'inerzia 
ps ma tu hai una tavoletta grafica per fare tutti questi schemi/disegni?
"Daniele515":
ps ma tu hai una tavoletta grafica per fare tutti questi schemi/disegni?
No purtroppo...li faccio con power point
ragazzi scusate ma per quanto riguarda disegnare questo diagramma? come si procede? Intendo le freccette (tensioni) che si distruibuiscono lungo il profilo
Quando le $tau$ ti risultano positive, significa che sono entranti nell'area relativa alla generica corda. Se negative invece sono uscenti
scusa elwood non sto capendo..
Ok allora partiamo con ordine.
Analizziamo il tratto $CD$ (vedi figura) in cui vado ad esaminare l'entità delle tensioni tangenziali tracciando la generica corda $1$ che sottende l'area $A'$.
Nel tratto $CD$ le tensioni tangenziali valgono per Jouwrasky $\bar{\tau}_{zy}=\frac{T_y*S_x}{b*I_x}$
ora chi decide il segno delle $\tau$ all'interno di quella formula è solamente il momento statico.
Infatti con
$S_x>0 \rarr \tau>0$
e conseguentemente
$S_x<0 \rarr \tau<0$
Nel tratto $CD$ dunque il momento statico è negativo (essendo $y$ negativa) per cui le $\tau$ sono negative.
Per cui come ti ho detto nel precedente post, se il segno delle $\tau$ è negativo significa che sono uscenti dall'area sottesa dalla generica corda nel nostro caso sono uscenti dall'area $A'$ sottesa dalla corda $1$, per questo vanno disegnate con la freccetta rivolta verso destra.
Analogamente potrai agevolmente verificare che nel tratto $\bar{FE}$ invece sono entranti.
Analizziamo il tratto $CD$ (vedi figura) in cui vado ad esaminare l'entità delle tensioni tangenziali tracciando la generica corda $1$ che sottende l'area $A'$.
Nel tratto $CD$ le tensioni tangenziali valgono per Jouwrasky $\bar{\tau}_{zy}=\frac{T_y*S_x}{b*I_x}$
ora chi decide il segno delle $\tau$ all'interno di quella formula è solamente il momento statico.
Infatti con
$S_x>0 \rarr \tau>0$
e conseguentemente
$S_x<0 \rarr \tau<0$
Nel tratto $CD$ dunque il momento statico è negativo (essendo $y$ negativa) per cui le $\tau$ sono negative.
Per cui come ti ho detto nel precedente post, se il segno delle $\tau$ è negativo significa che sono uscenti dall'area sottesa dalla generica corda nel nostro caso sono uscenti dall'area $A'$ sottesa dalla corda $1$, per questo vanno disegnate con la freccetta rivolta verso destra.
Analogamente potrai agevolmente verificare che nel tratto $\bar{FE}$ invece sono entranti.
"ELWOOD":
Quando le $tau$ ti risultano positive, significa che sono entranti nell'area relativa alla generica corda. Se negative invece sono uscenti
ciao elwood
sapresti approfondirmi questa tua affermazione?
che cos'è che ti fa dire che se le tensioni risultano positive allora queste sono entranti nell'area della generica corda? (analogamente se negative)
ALTRA DOMANDA:
"ELWOOD":
Nel tratto $ CD $ le tensioni tangenziali valgono per Jouwrasky $ \bar{\tau}_{zy}=\frac{T_y*S_x}{b*I_x} $
in un mio libro di scienza delle costruzioni la formula di jourawsky è la stessa che hai scritto, ma con segno negativo.
siccome ho notato che questa formula a volte viene usata positiva e a volte negativa, mi sapresti spiegare cosa cambia e perchè ce ne sono due?
grazie
Ciao angelix.
Ti premetto che non sono un libro, per cui potrei anche sbagliarmi (Quindi controlla anche sul tuo libro il procedimento).
Ma sostanzialmente il segno positivo (o negatio) delle $\tau$ proviene direttamente dalla condizione di equilibrio di Jouwrasky.
Guarda la seconda figura a destra
I passi da fare sono:
- Definire la corda generica sul mio continuo tridimensionale $BC$
- Individuare le forze agenti (Sottoforma di tensioni) e imporre loro l'equilibrio.
Per cui se supponi che le $\tau_{zr}$ (quelle in azzurrino) siano entranti nell'area sottesa dalla corda, ($A_1$) per la simmetria del tensore di Cauchy di ritrovi le reciproche $\tau_{rz}$ in direzione delle $z$ negative, per cui la condizione di equilibrio porge:
$-\int_{A_1}\sigma_z dA+\int_{A_1}(\sigma_z + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} dz) dA - \int_B^C\tau_{zr}dzd\eta=0$
Per cui ti ritrovi con il segno positivo delle $\tau$:
$\int_B^C\tau_{zr}d\eta=\int_{A_1}\frac{\partial \sigma_z}{\partial z}dA$
e il valore medio
$\bar{\tau}_{zr}=\frac{T_yS_x}{I_xb}$
Supponi invece di considerare le $\tau$ uscenti dall'area della generica corda, in questa relazione di equilibrio, le $\tau$ reciproche sarebbero rivolte verso le $z$ positive, dandoti quindi un segno negativo.
Spero di averti chiarito le idee.
ciao
Ti premetto che non sono un libro, per cui potrei anche sbagliarmi (Quindi controlla anche sul tuo libro il procedimento).
Ma sostanzialmente il segno positivo (o negatio) delle $\tau$ proviene direttamente dalla condizione di equilibrio di Jouwrasky.
Guarda la seconda figura a destra
I passi da fare sono:
- Definire la corda generica sul mio continuo tridimensionale $BC$
- Individuare le forze agenti (Sottoforma di tensioni) e imporre loro l'equilibrio.
Per cui se supponi che le $\tau_{zr}$ (quelle in azzurrino) siano entranti nell'area sottesa dalla corda, ($A_1$) per la simmetria del tensore di Cauchy di ritrovi le reciproche $\tau_{rz}$ in direzione delle $z$ negative, per cui la condizione di equilibrio porge:
$-\int_{A_1}\sigma_z dA+\int_{A_1}(\sigma_z + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} dz) dA - \int_B^C\tau_{zr}dzd\eta=0$
Per cui ti ritrovi con il segno positivo delle $\tau$:
$\int_B^C\tau_{zr}d\eta=\int_{A_1}\frac{\partial \sigma_z}{\partial z}dA$
e il valore medio
$\bar{\tau}_{zr}=\frac{T_yS_x}{I_xb}$
Supponi invece di considerare le $\tau$ uscenti dall'area della generica corda, in questa relazione di equilibrio, le $\tau$ reciproche sarebbero rivolte verso le $z$ positive, dandoti quindi un segno negativo.
Spero di averti chiarito le idee.
ciao
Ciao ragazzi e scusate se mi intrometto nella discussione ma non ho capito una cosa. Perchè il taglio è massimo in corrispondenza del baricentro? Essendo la formula composta da 3 costanti (taglio, spessore e momento d'inerzia rispetto all'asse y) ed una sola variabile (momento statico rispetto all'asse y) mi aspetto che il momento statico è massimo in corrispondenza del baricentro. E' giusto il mio ragionamento? Il momento statico è sempre massimo in corrispondenza del baricentro?
Grazie
Grazie
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