[Scienze delle Costruzioni] - Direzioni principali di Sforzo
Salve a tutti,
faccio un po' di confusione nello studio della ricerca delle direzioni principali di sforzo (anche se mi rendo conto che l'argomento non è affatto difficile). Dunque io so che le direzioni principali di sforzo si definiscono attraverso lo studio degli autovalori e relativi autovettori. Gli autovalori infatti definiscono gli sforzi mentre gli autovettori definiscono le direzioni principali di sforzo.
E fin qui non dovrebbero esserci problemi; andiamo però a studiare un esempio semplicissimo, la trazione semplice piana.
Prendiamo un rettangolo caricato a trazione nei lati verticali. Il tensore degli sforzi sarà così formato: $ | ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | $
1) studio eq. interno => $divT + b =0$ . Dato che $b=0$ la divergenza torna uguale a zero, quindi l'equilibrio interno è assicurato.
2) condizioni a contorno per l'equilibrio esterno. Si prendono i singoli vettori perpendicolari e si calcola $Tn= carico$. Non sto a fare i passaggi ma anche questa condizione è assicurata.
Ora, visto che siamo nella situazione piana, invece di usare la teoria degli autovalori e autovettori negli appunti prendiamo un generico vettore normale $n$ $ ( ( cos alpha , sin alpha ) ) $ e il suo reciproco $m$ $ ( ( -sin alpha , cos alpha ) ) $.
Per trovare la componente di sforzo normale: $Tn * n$ = $sigma cos^2 alpha$
Per trovare la componente tangenziale: $Tn * m$ = $ - sigma sin alpha cos alpha$
a questo punto ricerco i massimi e relative direzioni e scopro che per la componente normale il massimo è dato da $alpha =0$ e di conseguenza la relativa direzione è l'asse x, mentre per la componente tangenziale il massimo è dato da $alpha = pi/4$ e di conseguenza la relativa direzione è a 45°.
Se però per la ricerca delle direzioni principali di sforzo usassi gli autovalori ed autovettori ciò che dovrei fare sarebbe calcolare $(T - lambda I ) n = 0$ dove $I$ è la matrice identità.
Se prendo quindi in considerazione lo sforzo di trazione pura però, calcolandomi inanzi tutto il determinante di $(T - lambda I )$ mi ritroverei la seguente situazione:
$ | ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | - lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ = $ | ( -sigma lambda , 0 ),( 0 , - lambda ) | $ ovvero $ lambda^2 sigma = 0$ quindi $ lambda = 0$.
Questa soluzione va in contrasto con quella trovata precedentemente quindi c'è qualcosa che non torna $=>$ faccio un errore di concetto... sapete dirmi dove sbaglio?
grazie!!
faccio un po' di confusione nello studio della ricerca delle direzioni principali di sforzo (anche se mi rendo conto che l'argomento non è affatto difficile). Dunque io so che le direzioni principali di sforzo si definiscono attraverso lo studio degli autovalori e relativi autovettori. Gli autovalori infatti definiscono gli sforzi mentre gli autovettori definiscono le direzioni principali di sforzo.
E fin qui non dovrebbero esserci problemi; andiamo però a studiare un esempio semplicissimo, la trazione semplice piana.
Prendiamo un rettangolo caricato a trazione nei lati verticali. Il tensore degli sforzi sarà così formato: $ | ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | $
1) studio eq. interno => $divT + b =0$ . Dato che $b=0$ la divergenza torna uguale a zero, quindi l'equilibrio interno è assicurato.
2) condizioni a contorno per l'equilibrio esterno. Si prendono i singoli vettori perpendicolari e si calcola $Tn= carico$. Non sto a fare i passaggi ma anche questa condizione è assicurata.
Ora, visto che siamo nella situazione piana, invece di usare la teoria degli autovalori e autovettori negli appunti prendiamo un generico vettore normale $n$ $ ( ( cos alpha , sin alpha ) ) $ e il suo reciproco $m$ $ ( ( -sin alpha , cos alpha ) ) $.
Per trovare la componente di sforzo normale: $Tn * n$ = $sigma cos^2 alpha$
Per trovare la componente tangenziale: $Tn * m$ = $ - sigma sin alpha cos alpha$
a questo punto ricerco i massimi e relative direzioni e scopro che per la componente normale il massimo è dato da $alpha =0$ e di conseguenza la relativa direzione è l'asse x, mentre per la componente tangenziale il massimo è dato da $alpha = pi/4$ e di conseguenza la relativa direzione è a 45°.
Se però per la ricerca delle direzioni principali di sforzo usassi gli autovalori ed autovettori ciò che dovrei fare sarebbe calcolare $(T - lambda I ) n = 0$ dove $I$ è la matrice identità.
Se prendo quindi in considerazione lo sforzo di trazione pura però, calcolandomi inanzi tutto il determinante di $(T - lambda I )$ mi ritroverei la seguente situazione:
$ | ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | - lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ = $ | ( -sigma lambda , 0 ),( 0 , - lambda ) | $ ovvero $ lambda^2 sigma = 0$ quindi $ lambda = 0$.
Questa soluzione va in contrasto con quella trovata precedentemente quindi c'è qualcosa che non torna $=>$ faccio un errore di concetto... sapete dirmi dove sbaglio?
grazie!!
Risposte
C'è solo un errore di calcolo a quanto capisco, dovrebbe essere
$sigma(sigma-lambda)=0$
Che dà come soluzioni $lambda=0$ e $lambda=sigma$.
Tridimensionalmente, al primo autovalore è associato uno spazio di dimensione 2, perpendicolare alla direzione di $sigma$, mentre a $sigma$ è associata al direzione stessa.
Di fatto la matrice è già diagonale, non c'è bisogno di diagonalizzarla
$sigma(sigma-lambda)=0$
Che dà come soluzioni $lambda=0$ e $lambda=sigma$.
Tridimensionalmente, al primo autovalore è associato uno spazio di dimensione 2, perpendicolare alla direzione di $sigma$, mentre a $sigma$ è associata al direzione stessa.
Di fatto la matrice è già diagonale, non c'è bisogno di diagonalizzarla
"sonoqui_":
C'è solo un errore di calcolo a quanto capisco, dovrebbe essere
$sigma(sigma-lambda)=0$
Che dà come soluzioni $lambda=0$ e $lambda=sigma$.
scusami ma in che punto troverei $sigma(sigma-lambda)=0$? Il resto delle tue conclusioni mi torna..
Dalla equazione
$det(| ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | - lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ))=0$
$det(| ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | - lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ))=0$
"sonoqui_":
Dalla equazione
$det(| ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) | - lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ))=0$
ma il determinante di questa è $lambda^2 sigma = 0$ ...
Questo dovrebbe essere il passaggio
$det( ( sigma-lambda , 0 ),( 0 , -lambda ) )=-lambda(sigma-lambda)=0$
$det( ( sigma-lambda , 0 ),( 0 , -lambda ) )=-lambda(sigma-lambda)=0$
"sonoqui_":
Questo dovrebbe essere il passaggio
$det( ( sigma-lambda , 0 ),( 0 , -lambda ) )=-lambda(sigma-lambda)=0$
hai ragione, non vedevo l'errore. ora mi torna.. grazie
Però come mai nel primo procedimento trovo due direzioni, una lungo l'asse x e l'altra a 45gradi mentre con il secondo procedimento trovo $lambda =0 $ e $lambda = sigma$ ? Non sono soluzioni congruenti, o sbaglio?
A mio avviso l'incongruenza sta nel fatto che nella risoluzione del problema agli autovalori, stai scartando delle componenti che prima hai considerato.
Infatti presupponendo che vi sia una tensione tangenziale, devi presupporre uno stato di sforzo piano e NON monoassiale.
Per cui la matrice di Cauchy è questa:
$\bar{\sigma}=((\sigma_1,\tau_{12}),(\tau_{12},\sigma_2))$
E' solamente poi che imporrai la condizione $\sigma_2=0$
Naturalmente se sonoqui confermasse ne sarei felice
Infatti presupponendo che vi sia una tensione tangenziale, devi presupporre uno stato di sforzo piano e NON monoassiale.
Per cui la matrice di Cauchy è questa:
$\bar{\sigma}=((\sigma_1,\tau_{12}),(\tau_{12},\sigma_2))$
E' solamente poi che imporrai la condizione $\sigma_2=0$
Naturalmente se sonoqui confermasse ne sarei felice
A quanto ho letto la matrice dele tensioni è questa
$( ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
che è già diagonalizzata.
In ogni caso, per stato di sollecitazione tridimensionale generico si verifica che la matrice delle tensioni è sempre diagonailizzabile e gli autovettori, se ci sono tre autovalori distinti, sono una terna ortogonale, se ci sono due valori distinti di tensione, si ha un autovettore lungo una direzione e gli altri autovettori stanno su un piano perpendicolare alla direzione, mentre se c'è solo un autovalore si ha uno stato tensionale idrostatico e un qualsiasi vattore è autovettore.
$( ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
che è già diagonalizzata.
In ogni caso, per stato di sollecitazione tridimensionale generico si verifica che la matrice delle tensioni è sempre diagonailizzabile e gli autovettori, se ci sono tre autovalori distinti, sono una terna ortogonale, se ci sono due valori distinti di tensione, si ha un autovettore lungo una direzione e gli altri autovettori stanno su un piano perpendicolare alla direzione, mentre se c'è solo un autovalore si ha uno stato tensionale idrostatico e un qualsiasi vattore è autovettore.
"sonoqui_":
A quanto ho letto la matrice dele tensioni è questa
$( ( sigma , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
che è già diagonalizzata.
In ogni caso, per stato di sollecitazione tridimensionale generico si verifica che la matrice delle tensioni è sempre diagonailizzabile e gli autovettori, se ci sono tre autovalori distinti, sono una terna ortogonale, se ci sono due valori distinti di tensione, si ha un autovettore lungo una direzione e gli altri autovettori stanno su un piano perpendicolare alla direzione, mentre se c'è solo un autovalore si ha uno stato tensionale idrostatico e un qualsiasi vattore è autovettore.
Dunque si, la matrice delle tensioni è quella che corrisponde alla trazione pura bidimensionale, ovvero nel piano.
Detto ciò, come ho scritto nel primo post, visto che siamo nel piano invece di usare autovalori e rispettivi autovettori abbiamo utilizzato, per trovare le direzioni di sforzo, un generico vettore $n$ e il suo corrispettivo $m$.
Facendo quel tipo di procedimento è venuto fuori che ci sono due direzioni principali di sforzo, uno con $alpha =0$ e uno con $alpha = pi/4$ ovvero $45°$.
Detto ciò, visto che negli appunti successivi è stato introdotto il procedimento degli autovalori ed autovettori ho provato ad applicare tale procedimento allo stesso problema (con il taglio puro il procedimento torna) solo che evidentemente le soluzioni non tornano...
Ora ho capito di che si tratta. Sono i termini usati che mettono confusione.
Per direzioni principali di sforzo si intendono le direzioni associate agli autovettori della matrice delle tensioni, mentre la direzione a cui fai riferimento tu è quella per cui, in uno stato di tensione di sola trazione o compressione lungo un asse, come quello descritto dalla matrice che hai scritto, le tensioni tangenziali sono massime in modulo.
Questa direzione è a 45° rispetto all'asse, in positivo o in negativo, vedendolo bidimensionalmente.
Non è una direzione principale perchè, per definizione stessa di autovettore, un vettore in questa direzione dovrebbe essere trasformato, applicando la matrice delle tensioni, in un vettore parallelo, con un certo autovalore, ovvero le tensioni tangenziali sono nulle nelle direzioni principali.
Per direzioni principali di sforzo si intendono le direzioni associate agli autovettori della matrice delle tensioni, mentre la direzione a cui fai riferimento tu è quella per cui, in uno stato di tensione di sola trazione o compressione lungo un asse, come quello descritto dalla matrice che hai scritto, le tensioni tangenziali sono massime in modulo.
Questa direzione è a 45° rispetto all'asse, in positivo o in negativo, vedendolo bidimensionalmente.
Non è una direzione principale perchè, per definizione stessa di autovettore, un vettore in questa direzione dovrebbe essere trasformato, applicando la matrice delle tensioni, in un vettore parallelo, con un certo autovalore, ovvero le tensioni tangenziali sono nulle nelle direzioni principali.
Infatti ciò che intendevo asserire prima è che per ottenere la direzione di 45° come direzione principale, bisogna necessariamente considerare uno stato piano di tensioni.
Considerando l'unica tensione monoassiale si potrà avere l'unica direzione principale con $\alpha=0$
________________
Con $\bar{\sigma}=((0,\tau_{12}),(\tau_{12},0))$
ottieni i due autovettori ruotati di 45° gradi rispetto alla direzione 1
Considerando l'unica tensione monoassiale si potrà avere l'unica direzione principale con $\alpha=0$
________________
Con $\bar{\sigma}=((0,\tau_{12}),(\tau_{12},0))$
ottieni i due autovettori ruotati di 45° gradi rispetto alla direzione 1
grazie ad entrambi! le vostre spiegazioni mi stanno aiutando a capire meglio...
c'è un altro esercizio sempre sullo stesso argomento che non comprendo quindi aprirei un altro topic perché fondamentalmente è diverso da questo. Se però ciò va contro le regole del forum ditemelo che nel caso ri-posto la domanda qui.
c'è un altro esercizio sempre sullo stesso argomento che non comprendo quindi aprirei un altro topic perché fondamentalmente è diverso da questo. Se però ciò va contro le regole del forum ditemelo che nel caso ri-posto la domanda qui.
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