[Scienze delle Costruzioni] - Definizione dei carichi partendo da uno stato di sforzo

[l0r3nzo1]

Ciao a tutti,
non riesco a capire lo svolgimento dell'esercizio numero 2 di questo esame: http://www.unifi.it/costruzioni/upload/sub/Zani/scienza-12-2-10/t1.pdf

Dato il campo di spostamento $u=ax$ $v=0$ definito nel quadrato mostrato in figura, supposto costituito di materiale elastico lineare isotropo, determinare i carichi corrispondenti utilizzando i dati.

Svoglimento
Si parte con $ T= ( (ax), (0) ) $ OK

ora vengono applicate le equazioni di congruenza: $ epsilon x = (d u) / (d x) = a $ (mi scuso per il "d" che vuol dire derivata ma non trovo il simbolo della derivata tra i simboli che ci sono)
$ epsilon y = = (d v) / (d y) = 0 $ e $ epsilon xy = = (d u) / (d y) + (d y) / (d x) = 0 $
da cui ricaviamo che

$ E= ( ( a , 0 ),( 0 , 0 ) ) $

Ora vengono applicate le equazioni costitutive:

$ epsilon x = 1/E (sigma x - nu (sigma y + sigma z)) $ $=>$ $ Ea = sigma x - nu sigma y $

$ epsilon y = 1/E (sigma y - nu (sigma z + sigma x)) => 0 = sigma y - nu sigma x $

$ epsilon xy = (tau xy)/(2G) => 0 = tau xy $

Ora il procedimento continua con:

$sigma y = nu sigma x $ => $sigma x - nu^2 sigma x = Ea $ => $ sigma x = (Ea)/(1-nu^2) $ e $sigma y = (Ea nu)/(1-v^2)$

da cui ricavo $ T= ( ( (Ea)/(1- nu^2) , 0 ),( 0 , (Ea nu)/(1-v^2) ) ) $

successivamente (e qui il procedimento ri-diventa semplice) si prendono rispettivamente i versori $n_1 = (1,0)$ e $n_2 = (0,1)$ e si calcola lo sforzo $t_1 = Tn_1 $ e $t_2 = Tn_2$ rispettivamente per il lato verticale destro e il lato orizzontale alto (da cui, per simmetria, equivalgono anche ai lati opposti).

dopo tutto lo svolgimento arriviamo quindi a ciò che non capisco
1) perché si utilizzano le equazioni di congruenza piuttosto che le costitutive.
2) quando vengono applicate le costitutive sinceramente io non capisco il calcolo della $ epsilon x $ perché teoricamente la $ sigma y $ dovremmo considerarla = 0 no? Se così fosse la $ epsilon x = a$.
3) perché alla fine definiamo una nuova matrice delle tensioni? con le costitutive non dovremmo trovare la matrice delle deformazioni E?

grazie anticipatamente a chi risponderà

Nota finale: i due sforzi, per chi volesse fare l'esercizio fino in fondo, risultano essere di 23 Kg/cm per il lato verticale e 6,9 kg/cm per il lato orizzontale.

[ELWOOD1]

"l0r3nzo":
1) perché si utilizzano le equazioni di congruenza piuttosto che le costitutive.

Scusa ma quale intendi te per costitutive? Quelle che legano sforzi e deformazioni sono tutte costitutive.

"l0r3nzo":
2) quando vengono applicate le costitutive sinceramente io non capisco il calcolo della $ epsilon x $ perché teoricamente la $ sigma y $ dovremmo considerarla = 0 no? Se così fosse la $ epsilon x = a $.

Non necessariamente ad una deformazione nulla lungo $y$ corrisponde anche una tensione nulla nella stessa direzione!

"l0r3nzo":
3) perché alla fine definiamo una nuova matrice delle tensioni? con le costitutive non dovremmo trovare la matrice delle deformazioni E?

Se nell'esercizio ti vengono richiesti i carichi applicati evidentemente l'obbiettivo è proprio quello di determinare una nuova matrice delle tensioni.

"l0r3nzo":(mi scuso per il "d" che vuol dire derivata ma non trovo il simbolo della derivata tra i simboli che ci sono)

You have to write:

$\frac{\partial u}{\partial x}$

[l0r3nzo1]

"ELWOOD":
Scusa ma quale intendi te per costitutive? Quelle che legano sforzi e deformazioni sono tutte costitutive.

Equazioni costitutive legano lo sforzo e la deformazione
Equazioni di congruenza legano la deformazione con lo spostamento.

almeno questo è come le chiamiamo noi.

"ELWOOD":
Se nell'esercizio ti vengono richiesti i carichi applicati evidentemente l'obbiettivo è proprio quello di determinare una nuova matrice delle tensioni.

errore mio in questo caso. La prima matrice è uno sforzo, non è la matrice degli sforzi.

Comunque riguardando l'esercizio con ciò che mi hai detto credo di averlo capito grazie