[Scienze delle Costruzioni] Cedimento + Equazione linea elastica
Ciao a tutti,
ho una trave con un incastro a sinistra (A) ed uno a destra (B) con in più, nel punto B anche un cedimento $delta$. Per risolvere l'esercizio potrei usare l'equazione dei tre momenti oppure la linea elastica. visto che in questo caso con l'equazione dei 3 momenti non c'ho cavato un ragno dal buco nonostante c'abbia passato su un bel po' di tempo mi son buttato sull'equazione della linea-elastica.
In questo caso sono "fortunato" perché non avendo il carico l'equazione differenziale parte con $EIv^(IV) = 0$ e integrando avrò rispettivamente:
$EIv^(III) = C1$
$EIv^(II) = C1z + C2$
$EIV^I = (C1z^2)/2 + C2z + C3$
$EIV = (C1z^3)/6 + (C2z^2)/2 + C3z + C4$
Condizioni a contorno:
$v(0) = 0 => C4 = 0$
$v^I (0) = 0 => C3 = 0$
$v(l) = -delta => (C1l^3)/6 + (c2l^2)/2 = -delta$
$v^I (l) = 0 => (C1l^2)/2 + C2l = 0$
dall'ultima equazione ricavo $C2= - C1l/2$ che sostituisco nella seconda e, calcoli permettendo, dovrebbe tornare: $C1=(12 delta)/l^3$. Di conseguenza $C2 = (-6 delta)/l^2$
A questo punto mi ricavo il Taglio => $T = -EIV^(III)$ e il Momento => $M = - EIV^(II)$
La mia domanda è:
1) è giusto il procedimento (eventuale errore di calcolo a parte)
2) le reazioni vincolari, come le trovo?
grazie
ho una trave con un incastro a sinistra (A) ed uno a destra (B) con in più, nel punto B anche un cedimento $delta$. Per risolvere l'esercizio potrei usare l'equazione dei tre momenti oppure la linea elastica. visto che in questo caso con l'equazione dei 3 momenti non c'ho cavato un ragno dal buco nonostante c'abbia passato su un bel po' di tempo mi son buttato sull'equazione della linea-elastica.
In questo caso sono "fortunato" perché non avendo il carico l'equazione differenziale parte con $EIv^(IV) = 0$ e integrando avrò rispettivamente:
$EIv^(III) = C1$
$EIv^(II) = C1z + C2$
$EIV^I = (C1z^2)/2 + C2z + C3$
$EIV = (C1z^3)/6 + (C2z^2)/2 + C3z + C4$
Condizioni a contorno:
$v(0) = 0 => C4 = 0$
$v^I (0) = 0 => C3 = 0$
$v(l) = -delta => (C1l^3)/6 + (c2l^2)/2 = -delta$
$v^I (l) = 0 => (C1l^2)/2 + C2l = 0$
dall'ultima equazione ricavo $C2= - C1l/2$ che sostituisco nella seconda e, calcoli permettendo, dovrebbe tornare: $C1=(12 delta)/l^3$. Di conseguenza $C2 = (-6 delta)/l^2$
A questo punto mi ricavo il Taglio => $T = -EIV^(III)$ e il Momento => $M = - EIV^(II)$
La mia domanda è:
1) è giusto il procedimento (eventuale errore di calcolo a parte)
2) le reazioni vincolari, come le trovo?
grazie
Risposte
Premesso che farebbe comodo una immagine della struttura, la mia domanda è: quando dici che non c'è carico, suppongo tu voglia dire che non c'è carico distribuito, ma un carico (una coppia, una forza concentrata) c'è?
Inoltre, il cedimento $\delta$ è alla traslazione verticale?
Inoltre, il cedimento $\delta$ è alla traslazione verticale?
Hai ragione, chiedo scusa. Ecco qua c'è l'esercizio: http://www.unifi.it/costruzioni/upload/sub/Zani/scienza-14-9-09/t1.pdf.
Dopo aver fatto passare la nottata riprendo in mano l'esercizio e c'è qualcosa che non mi torna.... Essendo due incastri io non posso imporre la rotazione uguale a zero perchè una rotazione viene effettivamente fatta.... Solo che le condizioni a contorno dell'incastro sono solo spostamento uguale a zero e rotazione uguale a zero mmm.... Sono in un vicolo cieco...
"l0r3nzo":
Essendo due incastri io non posso imporre la rotazione uguale a zero perchè una rotazione viene effettivamente fatta....
E quale sarebbe scusa?
"ELWOOD":
[quote="l0r3nzo"]
Essendo due incastri io non posso imporre la rotazione uguale a zero perchè una rotazione viene effettivamente fatta....
E quale sarebbe scusa?[/quote]
visto che c'è un cedimento se la trave si abbassa non genera spostamento?
Attenzione. Quando scrivi una condizione, la scrivi per una specifica sezione della struttura.
Così, se chiamo $B$ la sezione in corrispondenza dell'incastro cedevole, dirò che tale sezione non ruota, ma trasla solo verso il basso a causa del cedimento $\delta$, tant'è che la tangente alla deformata in $B$ è orizzontale (il che comporta che l'angolo fra la sezione $B$ e la tangente alla deformata si mantiene retto).
Situazione diversa sarebbe stata la presenza di un cedimento rotazionale.
Così, se chiamo $B$ la sezione in corrispondenza dell'incastro cedevole, dirò che tale sezione non ruota, ma trasla solo verso il basso a causa del cedimento $\delta$, tant'è che la tangente alla deformata in $B$ è orizzontale (il che comporta che l'angolo fra la sezione $B$ e la tangente alla deformata si mantiene retto).
Situazione diversa sarebbe stata la presenza di un cedimento rotazionale.
"JoJo_90":
Attenzione. Quando scrivi una condizione, la scrivi per una specifica sezione della struttura.
Così, se chiamo $B$ la sezione in corrispondenza dell'incastro cedevole, dirò che tale sezione non ruota, ma trasla solo verso il basso a causa del cedimento $\delta$, tant'è che la tangente alla deformata in $B$ è orizzontale (il che comporta che l'angolo fra la sezione $B$ e la tangente alla deformata si mantiene retto).
Quindi in questo caso la rotazione in B, ovvero $v^I = 0$ quindi $v^I (l) = 0 $ ?
Le condizioni a contorno quindi diventerebbero:
$v(o) = 0$
$v(l) = delta$
$v^I (l) = 0$
bene, però mi manca la 4° che per ovvie ragioni dovrà essere qualcosa rapportata alla rotazione nel punto A. Azzarderei una rotazione $v(0) = 0$ come diceva prima elwood però non capisco perché ... (anche se dall'immagine che hai postato la tangente mi sembra che non cambi nel punto A) mmm
"JoJo_90":
Situazione diversa sarebbe stata la presenza di un cedimento rotazionale.
non corro questo rischio perché il cedimento rotazionale non lo abbiamo mai fatto né considerato
La condizione rimanente è proprio quella che pensi, cioè rotazione della prima sezione di trave nulla, perché il vincolo gli impedisce sia di traslare, sia di ruotare. E' lo stesso discorso di prima: la deformata deve partire dall'incastro con tangente orizzontale.
Il tuo ragionamento mi torna...
a questo punto mi ritrovo $C_1 = (-12 delta)/l^3$ e $C2 = (6 delta)/l^2$. inserendo questi valori nelle derivazioni fatte in precedenza mi posso trovare in ordine Taglio, Momento, Rotazione e spostamento. E fin qui ci sono. Ma, come in questo, se l'esercizio mi richiede le reazioni vincolari (domanda banale immagino) come le trovo?
Domanda 2: come mai il taglio ha come denominatore $l^3$ e il momento $l^2$? io avrei detto il contrario
a questo punto mi ritrovo $C_1 = (-12 delta)/l^3$ e $C2 = (6 delta)/l^2$. inserendo questi valori nelle derivazioni fatte in precedenza mi posso trovare in ordine Taglio, Momento, Rotazione e spostamento. E fin qui ci sono. Ma, come in questo, se l'esercizio mi richiede le reazioni vincolari (domanda banale immagino) come le trovo?
Domanda 2: come mai il taglio ha come denominatore $l^3$ e il momento $l^2$? io avrei detto il contrario
"l0r3nzo":
Ma, come in questo, se l'esercizio mi richiede le reazioni vincolari (domanda banale immagino) come le trovo?
Guarda, una volta trovate le sollecitazioni, le reazioni vincolari si calcolano in modo molto semplice.
Facciamo un esempio. Supponi di avere una trave appoggiata ad un estremo e incernierata all'altro. Supponi di conoscere le reazioni vincolari. Se io ti chiedo: quanto vale il taglio nell'appoggio? Tu cosa mi rispondi?
"l0r3nzo":
Domanda 2: come mai il taglio ha come denominatore e il momento ? io avrei detto il contrario
Fai conto che il taglio ha l'unità di misura di una forza (Newton nel S.I.). Dunque, la sua espressione, dimensionalmente, sarà fatta in modo di darti dei Newton.
La verifica dimensionale, inoltre, è un ottimo modo per verificare la coerenza fisica dei risultati ottenuti.
"JoJo_90":
Guarda, una volta trovate le sollecitazioni, le reazioni vincolari si calcolano in modo molto semplice.
Facciamo un esempio. Supponi di avere una trave appoggiata ad un estremo e incernierata all'altro. Supponi di conoscere le reazioni vincolari. Se io ti chiedo: quanto vale il taglio nell'appoggio? Tu cosa mi rispondi?
Ah, dato che il taglio vale $(12 delta)/l^3$ ed è costante sarà questa la reazione verticale... mentre per il momento la coppia d'incastro, se il momento vale $(12 delta z)/l^3 - (6 delta)/l^2$ sarà in senso antiorario e varrà proprio $(6 delta)/l^2$ giusto?
ovviamente dando per scontato che i miei calcoli siano corretti
"JoJo_90":
Fai conto che il taglio ha l'unità di misura di una forza (Newton nel S.I.). Dunque, la sua espressione, dimensionalmente, sarà fatta in modo di darti dei Newton.
La verifica dimensionale, inoltre, è un ottimo modo per verificare la coerenza fisica dei risultati ottenuti.
Eh si infatti cerco sempre di fare la verifica, anche se mi ci ingarbuglio. però qua per il Taglio abbiamo un $l^3$ al denominatore e un $delta$ al numeratore. Considerato che il $delta$ dovrebbe essere in cm avrei un $cm^-2$ come unità di misura. giusto?
"l0r3nzo":
Ah, dato che il taglio vale $ (12 delta)/l^3 $ ed è costante sarà questa la reazione verticale... mentre per il momento la coppia d'incastro, se il momento vale $ (12 delta z)/l^3 - (6 delta)/l^2 $ sarà in senso antiorario e varrà proprio $ (6 delta)/l^2 $ giusto?
ovviamente dando per scontato che i miei calcoli siano corretti
In valore assoluto si. Però devi fare attenzione al segno e di conseguenza il verso, da attribuire alle reazioni vincolari.
Se stiamo cercando la reazione dell'incastro di destra, è come se facessi una sezione infinitamente vicina all'incastro. Guardando a destra, la convenzione del concio dice che se il taglio è positivo, è diretto verso il basso e viceversa.
Quello che devi fare, è vedere il segno del taglio: se è positivo, allora la reazione è verso il basso, perché essa dovrà dare un taglio positivo e viceversa.
Stesso ragionamento per il momento.
"l0r3nzo":
Eh si infatti cerco sempre di fare la verifica, anche se mi ci ingarbuglio. però qua per il Taglio abbiamo un $ l^3 $ al denominatore e un $ delta $ al numeratore. Considerato che il $ delta $ dovrebbe essere in cm avrei un $ cm^-2 $ come unità di misura. giusto?
Si, dimensionalmente ti viene $"cm"^-2$, quindi probabilmente hai sbagliato qualcosa o sfugge qualcosa a me...
è questo che non mi torna, come non mi torna il fatto che il momento avrebbe come unità di misura $cm^(-3)$ mmm
però scusa, prendiamo il punto A. in questo punto, andando a fare i calcoli il taglio sarebbe positivo come grafico. Se ho capito bene ciò che mi dici tu la reazione vincolare verticale dovrebbe essere negativa ma sinceramente non mi torna perché se io mi mettessi a distanza z (asse z è l'asse orizzontale della trave) da A e guardassi a sinistra se la reazione verticale fosse negativa avrei un taglio negativo, quando in realtà dovrebbe esser positiva... no?
però scusa, prendiamo il punto A. in questo punto, andando a fare i calcoli il taglio sarebbe positivo come grafico. Se ho capito bene ciò che mi dici tu la reazione vincolare verticale dovrebbe essere negativa ma sinceramente non mi torna perché se io mi mettessi a distanza z (asse z è l'asse orizzontale della trave) da A e guardassi a sinistra se la reazione verticale fosse negativa avrei un taglio negativo, quando in realtà dovrebbe esser positiva... no?
"l0r3nzo":
però scusa, prendiamo il punto A. in questo punto, andando a fare i calcoli il taglio sarebbe positivo come grafico. Se ho capito bene ciò che mi dici tu la reazione vincolare verticale dovrebbe essere negativa
Dipende dalla convenzione che usi relativa alle forze agenti sulla struttura.
Se in $A$ il taglio è positivo, significa che la reazione vincolare è diretta verso l'alto, quindi è negativa se consideri negative le forze verso l'alto.
Riguardo l'unità di misura ci sto ragionando...
Ragionato 
Praticamente la cosa che ti ha indotto all'errore è l'aver scritto l'equazione della linea elastica in questa forma:
$EI \cdot v^(IV)(x) = 0$
Da questa, si deduce che $v^(IV)(x)=0$ (dato che $EI!=0$), quindi l'equazione da integrare è quest'ultima e non la suddetta.
Procedendo in questo modo, ho quindi:
$v^(III)(x)= C_1$ e non $EI*v^(III)(x)=C_1$.
Ed ancora, il Taglio è:
$T(x) = - EI * v^(III)(x)$
Essendo $v^(III)(x)= C_1$, il taglio vale $T(x) = - EI * C_1 = EI* (12\delta)/(l^3)$ e ora l'analisi dimensionale torna.
P.S. A me comunque, la $C_1$ viene negativa.
Praticamente la cosa che ti ha indotto all'errore è l'aver scritto l'equazione della linea elastica in questa forma:
$EI \cdot v^(IV)(x) = 0$
Da questa, si deduce che $v^(IV)(x)=0$ (dato che $EI!=0$), quindi l'equazione da integrare è quest'ultima e non la suddetta.
Procedendo in questo modo, ho quindi:
$v^(III)(x)= C_1$ e non $EI*v^(III)(x)=C_1$.
Ed ancora, il Taglio è:
$T(x) = - EI * v^(III)(x)$
Essendo $v^(III)(x)= C_1$, il taglio vale $T(x) = - EI * C_1 = EI* (12\delta)/(l^3)$ e ora l'analisi dimensionale torna.
P.S. A me comunque, la $C_1$ viene negativa.
Scusami se non ti ho risposto prima ma son stato assente nei giorni passati.
Mi torna tutto ciò che dici ed ora devo cercare di imprimermi nella testa di iniziare le integrazioni con EI al denominatore di -q piuttosto che lasciarlo a sinistra...
L'ultima cosa in merito a questo esercizio: in caso di carico termico l'equazione iniziale diventa così?: $v^(IV) = -q/(EI) + alpha t_1$ ??
Mi torna tutto ciò che dici ed ora devo cercare di imprimermi nella testa di iniziare le integrazioni con EI al denominatore di -q piuttosto che lasciarlo a sinistra...
L'ultima cosa in merito a questo esercizio: in caso di carico termico l'equazione iniziale diventa così?: $v^(IV) = -q/(EI) + alpha t_1$ ??
Non sono sicuro della forma dell'edle del quarto ordine in presenza di carichi termici, però dovresti specificare cosa intendi con $\alpha$ e con $t_1$.
Qui (pag. 308) ho trovato l'equazione della linea elastica del quarto ordine in presenza di carichi termici:
$v^("IV")(x) = q/(EI) + \mu^("II")$, $" "$dove $\mu = -\alpha (\DeltaT)/(h)$.
Siccome però, la distorsione termica solitamente è costante lungo il tratto di trave, la sua derivata seconda ($\mu^("II")$) dovrebbe essere nulla non essendo $\mu$ funzione di $x$.
Attendi comunque pareri più competenti.
Ciao.
$v^("IV")(x) = q/(EI) + \mu^("II")$, $" "$dove $\mu = -\alpha (\DeltaT)/(h)$.
Siccome però, la distorsione termica solitamente è costante lungo il tratto di trave, la sua derivata seconda ($\mu^("II")$) dovrebbe essere nulla non essendo $\mu$ funzione di $x$.
Attendi comunque pareri più competenti.
Ciao.
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