[Scienza delle Costruzioni] Trave con carico trapezoidale
Salve,
Sto cercando di determinare il diagramma delle sollecitazioni di una trave come in figura
Soggetta però ad un carico trapezoidale.
Del carico trapezoidale conosco la distribuzione in funzione di x a partire dall'estremo libero
E il valore alle estremità, ricavato sempre dalla formula evidenziata della figura precedente.
Ho scomposto il carico trapezoidale in un carico lineare più triangolare, ma nel tratto BA non mi trovo con le sollecitazioni interne (ho controllato con FTOOL).
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Sto cercando di determinare il diagramma delle sollecitazioni di una trave come in figura
Soggetta però ad un carico trapezoidale.
Del carico trapezoidale conosco la distribuzione in funzione di x a partire dall'estremo libero
E il valore alle estremità, ricavato sempre dalla formula evidenziata della figura precedente.
Ho scomposto il carico trapezoidale in un carico lineare più triangolare, ma nel tratto BA non mi trovo con le sollecitazioni interne (ho controllato con FTOOL).
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Risposte
Scrivi le sollecitazioni e vediamo.
"JoJo_90":
Scrivi le sollecitazioni e vediamo.
Ciao grazie per avermi risposto.
Ti do i dati e tutto;
$l=5.5m$
$q_E=2227N/m$ all'estremo C
$q_R=3205N/m$ all'estremo A
La variazione del carico con la stazione x è
$q(x)=178N/m^2x+2227N/m$ con x che inizia come dalla figura all'estremo libero.
Come detto, ho scomposto tutto in un carico triangolare con risultante applicata ad l/3 e un carico rettangolare con risultante applicata a l/2.
Dunque,
$q_r=2227N/m$
$q_t=q_R-q_E=978N/m$
Quindi le risultanti sono
$R_1=12249N$
$R_2=89N$
Quindi calcolo le r.v. che sono
$R_A=4369N$
$R_B=-19308N$
Ok, adesso calcolo le sollecitazioni.
Tratto BC, scompongo sempre il carico trapezoidale in lineare+triangolare
$q_r=2227N/m$
$q_t=q(x_1)-q_E=178N/m^2x_1$
e trovo le due risultanti
$(R_1)^**=q_rx_1$ applicata in $x_1/2$
$(R_2)^**= 89N/m^2x_1^2$ applicata in $x_1/3$
e quindi, considerando le forze alla destra della sezione, trovo
$T(x_1)=-2227N/mx_1-89N/m^2x_1^2$
$M(x_1)=1114N/mx_1^2+30N/m^2x_1^3$
tutto questo per $0m<=x_1<=3.5m$
Poi passo al tratto BA e qua non mi trovo col programma...
Allora, faccio sempre lo stesso procedimento cioè scompongo il carico come lineare+rettangolo. Fisso l'estremo di riferimento in B e chiamo $x_2$ il tratto alla sx di tale punto. Allora;
$q_r=2227N/m$
$q_t=q(x_2)-q_E=178N/m^2x_2$
di risultanti
$(R_1)^****=q_r(x_2+3.5m)$ applicata in $(x_2+3.5m)/2$
$(R_2)^****= [(178N/m^2x_2)(x_2+3.5m)]*1/2$ applicata in $(x_2+3.5m)/3$
e quindi trovo
$T(x_2)=19308N-2227N/mx_2-7795N$
$M(x_2)=-19308Nx_2+3897Nx_2+1114N/mx_2^2+3898Nx_2+13641Nm+30N/m^2x_2^3+207N/mx_2^2+363Nx_2$
e tutto questo per tutto questo per $0m<=x_1<=2m$.
Come detto in questo secondo tratto non mi trovo né con FTOOL e né banalmente verificando le azioni interne agli estremi... Infatti non mi tornano le r.v. e il momento in A non si annulla.
Ho effettuato varie volte ma niente...
"astrolabio95":
Quindi le risultanti sono
$R_1=12249N$
$R_2=89N$
Come hai calcolato $R_2$? Inoltre a me risulta \(q_{\mathrm{A}} = 3206\,\mathrm{N/m}\) (\(= 178 \times5,5 + 2227\)).
"JoJo_90":
[quote="astrolabio95"]
Quindi le risultanti sono
$R_1=12249N$
$R_2=89N$
Come hai calcolato $R_2$? Inoltre a me risulta \(q_{\mathrm{A}} = 3206\,\mathrm{N/m}\) (\(= 178 \times5,5 + 2227\)).[/quote]
Ora ti dico, avevo sbagliato ad inviare il messaggio, ho messo tutto il procedimento.
Allora su $q_A$ hai ragione ho mangiato un numero mentre su $R_2=((q_A-q_C)*5.5m)/(2)$
Ti scrivo fino al calcolo delle reazioni vincolari intanto e ne discutiamo se c'è qualche dubbio. Uso una simbologia leggermente diversa, perché sinceramente con la tua mi confondevo un po'.
La legge del carico trapezioidale, rispetto al sistema di riferimento locale con origine all'estremo libero è
\[
q(x) = 178 \cdot x + 2227
\]
Pensando di scomporre il carico nella somma di un carico rettangolare e di uno triangolare, i rispettivi risultanti sono:
\begin{align*}
R_{\mathrm{triang.}} &= \frac{[q(l)-q(0)] \cdot l}{2} = \frac{[3206 - 2227] \times 5,5}{2} \approx 2692,3\,\mathrm{N}\,; & &(\text{applicata in }x \approx 3,67\, \mathrm{m})\\[2.5ex]
R_{\mathrm{rettang.}} &= q(0) \cdot l = 2227 \times 5,5= 12248,5 \,\mathrm{N}\,; & &(\text{applicata in }x = 2,75\, \mathrm{m})
\end{align*}
Dall'equilibrio alla rotazione si ottengono le reazioni vincolari (entrambe verso il basso):
\begin{align*}
V_{\mathrm{A}} &= 897,4 \, \mathrm{N}\\[2.5ex]
V_{\mathrm{B}} &= 14043,4 \, \mathrm{N}
\end{align*}
Fin qui ti quadra?
La legge del carico trapezioidale, rispetto al sistema di riferimento locale con origine all'estremo libero è
\[
q(x) = 178 \cdot x + 2227
\]
Pensando di scomporre il carico nella somma di un carico rettangolare e di uno triangolare, i rispettivi risultanti sono:
\begin{align*}
R_{\mathrm{triang.}} &= \frac{[q(l)-q(0)] \cdot l}{2} = \frac{[3206 - 2227] \times 5,5}{2} \approx 2692,3\,\mathrm{N}\,; & &(\text{applicata in }x \approx 3,67\, \mathrm{m})\\[2.5ex]
R_{\mathrm{rettang.}} &= q(0) \cdot l = 2227 \times 5,5= 12248,5 \,\mathrm{N}\,; & &(\text{applicata in }x = 2,75\, \mathrm{m})
\end{align*}
Dall'equilibrio alla rotazione si ottengono le reazioni vincolari (entrambe verso il basso):
\begin{align*}
V_{\mathrm{A}} &= 897,4 \, \mathrm{N}\\[2.5ex]
V_{\mathrm{B}} &= 14043,4 \, \mathrm{N}
\end{align*}
Fin qui ti quadra?
Grazie per la risposta e la pazienza.
La risultante del carico triangolare non va applicata ad 1/3 dalla $q(l)$?
La risultante del carico triangolare non va applicata ad 1/3 dalla $q(l)$?
In ogni caso ho provato a modificare i calcoli con queste nuove r.v., ma nemmeno mi viene..
Passiamo alle sollecitazioni. Qui non ho capito:
Se hai posto un nuovo sistema di riferimento con origine in $B$, perché la risultante del carico rettangolare non è banalmente posizionata in \(\frac{x_2}{2}\)? Non capisco cos'è $3,5$...
Sì.
"astrolabio95":
Poi passo al tratto BA [...]
$(R_1) =q_r(x_2+3.5m)$ applicata in $(x_2+3.5m)/2$
$(R_2) = [(178N/m^2x_2)(x_2+3.5m)]*1/2$ applicata in $(x_2+3.5m)/3$
Se hai posto un nuovo sistema di riferimento con origine in $B$, perché la risultante del carico rettangolare non è banalmente posizionata in \(\frac{x_2}{2}\)? Non capisco cos'è $3,5$...
"astrolabio95":
La risultante del carico triangolare non va applicata ad 1/3 dalla $q(l)$?
Sì.
"JoJo_90":
Passiamo alle sollecitazioni. Qui non ho capito:
Se hai posto un nuovo sistema di riferimento con origine in $B$, perché la risultante del carico rettangolare non è banalmente posizionata in \(\frac{x_2}{2}\)? Non capisco cos'è $3,5$...
Ti mostro il mio schema
3.5 è il tratto che va da C a B
Ah ok, avevo pensato che la trave fosse suddivisa in due parti uguali. Quindi son da modificare le reazioni che avevo calcolato. Vedo domani di modificare il tutto e vedere con calma i tuoi procedimenti.
Ti ringrazio per la disponibilità
Ho rifatto lo schema:
1. REAZIONI VINCOLARI
Sostituendo i carichi distribuiti con i rispettivi risultanti (gli stessi di prima) e applicando le due equazioni di equilibrio alla rotazione e traslazione verticale, si ottengono le reazioni vincolari:
\[ \begin{align*}
V_{\mathrm{A}} &\approx 4369 \, \mathrm{N} & &(\text{verso l'alto})\\[2.5ex]
V_{\mathrm{B}} &\approx 19310 \, \mathrm{N} & &(\text{verso il basso})
\end{align*} \]
2. SOLLECITAZIONI
Tratto BC
Nel tratto $BC$, fatta una sezione e guardando a destra, le leggi del taglio e del momento flettente risultano rispettivamente:
\[ \begin{align*}
T(x) & = -89\,x^2 - 2227\,x\\[2,5ex]
M(x) & \approx -29,7\,x^3 - 1113,5\,x^2
\end{align*} \]
Agli estremi del tratto si ha:
\[
\begin{align*}
T(0) & = 0 \,\mathrm{N} & T(3,5) & \approx - 8885 \,\mathrm{N} \\[1.5ex]
M(0) & \approx 0 \,\mathrm{N\,m} & M(3,5) & \approx -14914 \,\mathrm{N\,m}
\end{align*}
\]
Tratto BA
Nel tratto $BA$, fatta una sezione e guardando a destra, le leggi del taglio e del momento flettente risultano rispettivamente:
\[ \begin{align*}
T(x) & = -\frac{178\,(x+3,5)^2}{2} - 2227 \,(x+3,5) + 19310\\[2,5ex]
M(x) & = -\frac{178\,(x+3,5)^2}{2} \times \frac{x+3,5}{3} - 2227 \,(x+3,5) \times \frac{x+3,5}{2} + 19310 \times x
\end{align*} \]
Agli estremi del tratto si ha:
\[
\begin{align*}
T(0) & = -10425 \,\mathrm{N} & T(2,0) & = - 4369 \,\mathrm{N} \\[1.5ex]
M(0) & \approx -14912 \,\mathrm{N\,m} & M(2,0) & \approx 0 \,\mathrm{N\,m}
\end{align*}
\]
Se non ti torna qualcosa dimmelo pure.
1. REAZIONI VINCOLARI
Sostituendo i carichi distribuiti con i rispettivi risultanti (gli stessi di prima) e applicando le due equazioni di equilibrio alla rotazione e traslazione verticale, si ottengono le reazioni vincolari:
\[ \begin{align*}
V_{\mathrm{A}} &\approx 4369 \, \mathrm{N} & &(\text{verso l'alto})\\[2.5ex]
V_{\mathrm{B}} &\approx 19310 \, \mathrm{N} & &(\text{verso il basso})
\end{align*} \]
2. SOLLECITAZIONI
Tratto BC
Nel tratto $BC$, fatta una sezione e guardando a destra, le leggi del taglio e del momento flettente risultano rispettivamente:
\[ \begin{align*}
T(x) & = -89\,x^2 - 2227\,x\\[2,5ex]
M(x) & \approx -29,7\,x^3 - 1113,5\,x^2
\end{align*} \]
Agli estremi del tratto si ha:
\[
\begin{align*}
T(0) & = 0 \,\mathrm{N} & T(3,5) & \approx - 8885 \,\mathrm{N} \\[1.5ex]
M(0) & \approx 0 \,\mathrm{N\,m} & M(3,5) & \approx -14914 \,\mathrm{N\,m}
\end{align*}
\]
Tratto BA
Nel tratto $BA$, fatta una sezione e guardando a destra, le leggi del taglio e del momento flettente risultano rispettivamente:
\[ \begin{align*}
T(x) & = -\frac{178\,(x+3,5)^2}{2} - 2227 \,(x+3,5) + 19310\\[2,5ex]
M(x) & = -\frac{178\,(x+3,5)^2}{2} \times \frac{x+3,5}{3} - 2227 \,(x+3,5) \times \frac{x+3,5}{2} + 19310 \times x
\end{align*} \]
Agli estremi del tratto si ha:
\[
\begin{align*}
T(0) & = -10425 \,\mathrm{N} & T(2,0) & = - 4369 \,\mathrm{N} \\[1.5ex]
M(0) & \approx -14912 \,\mathrm{N\,m} & M(2,0) & \approx 0 \,\mathrm{N\,m}
\end{align*}
\]
Se non ti torna qualcosa dimmelo pure.
Ti ringrazio mi sei stato molto utile.
Sbagliavo a considerare l'origine del riferimento.
Grazie ancora!
Sbagliavo a considerare l'origine del riferimento.
Grazie ancora!
Prego!
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