[Scienza delle Costruzioni] Stato di sforzo

[fedeinge]

Buongiorno a tutti sono alle prese con un esercizio banale per aiutare un mio amico ma non mi ricordo manco più da che parte iniziare:
Testo:

Dato in un sistema di riferimento piano cartesiano ortogonale lo sforzo

$ sigma =( ( 4 , 2 ),( 2 , 0 ) ) N/(mm^2) $

determinare sforzi principali e direzioni principali di sforzo.

Qualcuno sa aiutarmi? ho un vuoto totale! Grazie a tutti

[ELWOOD1]

Ciao e benvenuta...
Analiticamente, le proprietà sullo stato di sforzo sono date dalla risoluzione del problema agli autovalori e autovettori della matrice degli sforzi.
Un'altra strada è quella grafica disegnando il cerchio di Mohr
Con questo suggerimento credo tu riesca ad andare avanti tranquillamente....giusto?

[fedeinge]

Molto bene allora provo a sviluppare come ho fatto e ditemi se è giusto

Trovo gli autovalori associati alla mia matrice scrivendo:
$ (sigma -lambda I)=( ( 4-lambda , 2 ),( 2 , -lambda ) ) $

Calcolo il det $ (sigma -lambda I) $ =0 e trovo che $ lambda1=4.828 $ e $ lambda2=-0.828 $
Poi calcolo gli autovettori...

Per autovalore $ lambda 1=4.828 $ avrò

$ (sigma-lambda1I)*bar(n1)=( ( -0.828 , 2 ),( 2 , -4.828) ) *( ( nx ),( ny ) ) = ((0),(0)) $


Risolvo il sistema: $ { ( -0.828nx+2ny=0 ),( 2nx-4.828ny=0 ):} -> {( nx=2.42 ),(ny= 1 ) :} $

quindi otterrò: $ n1 = ((2.42),(1)) -> ||n1||=sqrt(1^2+2.42^2)=2.62 -> alpha1=arctan ((1)/(2.42))= 22.45° $

Per autovalore $ lambda 2=-0.828 $ avrò

$ (sigma-lambda2I)*bar(n2)=( ( 4.828 , 2 ),( 2 , 0.828) ) *( ( nx ),( ny ) ) = ((0),(0)) $


Risolvo il sistema: $ { ( 4.828nx+2ny=0 ),( 2nx+0.828ny=0 ):} -> {( nx=-0.414 ),(ny= 1 ) :} $

quindi otterrò: $ n2 = ((-0.414),(1)) -> ||n2||=sqrt((1)^2+(-0.414)^2)=1.08 -> alpha2=arctan ((1)/(-0.414))= -67.51° $

E ADESSO CHE CI FACCIO CON QUESTA MAREA DI NUMERI? Non mi ricordo proprio più niente!

gRAZIE A TUTTI

[ELWOOD1]

Bè che significato fisico potresti dare a quella "marea di numeri" ?
Il tracciamento del cerchio di Mohr ti darebbe una mano