[Scienza delle Costruzioni] Spostamento in una struttura iperstatica

StefanoOne
Salve a tutti data una generica struttura iperstatica




supposto di avere già calcolato il momento finale, se volessi calcolare lo spostamento nell'estremo di destra della struttura; applicando il PLV posso prendere una struttura isostatica associata pari ad esempio solo alla trave con incastro con forza unitaria nell'estremo ? dato che al sistema di forze fittizio è richiesto solo l'equilibrio...o sbaglio ?

dopo di che andrei ad applicare la fomula

$v = int_s (M^(f) * M/(EI)) dz$

Risposte
SeccoJones
Si mi sembra corretto il ragionamento

xnix
si, prova a fare una verifica con uno schema semplice del tipo incastro appoggio; dopo aver trovato le incognite iperstatiche applica il plv per lo spostamento che cerchi e poi come riscontro verifica che lo spostamento trovato sia uguale con quello della linea elastica.

StefanoOne
Ok grazie mille a entrambi !

Ne approfitto per chiedere un altra cosa, se volessi risolvere la trave incastrata a sinistra con carrello a destra:






se voglio risolverla con l'equazione della linea elastica posso considerare l'isostatica equivalente :







andare a calcolare l'equazione del momento per i due tratti, quindi andare ad applicare la linea elastica del secondo ordine per i 2 tratti e infine andare a imporre l'equazione di congruenza, ossia che lo spostamento nel carrello deve essere zero


o è sbagliato ?

StefanoOne
Intanto posto lo svolgimento dell'esercizio così mi dite dove ho sbagliato.


data la struttura isostatica associata, calcolo le reazioni vincolari



${ ( V_a + X - 2qL = 0 ),( M_a + 2XL - 2qL^2 =0 ):}$

da cui
${ ( V_a = -X + 2qL ),( M_a = - 2XL + 2qL^2 ):}$

quindi trovo che
${ ( M(z) = -(qz^2)/2 + Xz -2qLz -2qL^2 + 2XL \qquad\qquad0<=z<=2L),( M(z)=0 \qquad\qquad 2L<=x<=3L ):}$

quindi avrò due equazioni della linea elastica, la prima tra
$0<=z<=2L$

si ha:
$v_1''(z)= -1/(EI) ( -(qz^2)/2 + Xz -2qLz -2qL^2 + 2XL)$

integro 2 volte e trovo
$v_1'(z)= -1/(EI) ( -(qz^3)/6 + Xz^2/2 -2qLz^2 /2 -2qL^2 z + 2XLz + c_1)$

$v_1(z)=-1/(EI) (-qz^4 /24 + Xz^3/6 - 2qLz^3 /6 - 2qL^2 z^2 /2 + 2XLz^2 /2+c_1 z + c_2)$

invece da
$2L<=z<=3L$

si ha
$v_2''(z)= 0$

$v_2'(z)= c_3$

$v_2(z)= c_3 z + c_4$

impongo le condizioni al contorno :
${ ( v_1(0)=0 ),( v'_1(0)=0 ),( v_1(2L)=v_2(2L) ),( v'_1(2L)=v'_2(2L) ):}$

svolgendo i conti trovo
$v_1 (z) =+1/(EI) (+qz^4 /24 - Xz^3 /6 + 2qLz^3 /6 + 2qL^2 z^2 /2 - 2XLz^2 /2)$

e

$v_2(z) =+1/(EI) (-6XL^2 z + 28/3 qL^3 z + 20/3 XL^3 - 34/3 qL^4)$

impongo l'equazione di congruenza che mi dice che in $z=2L$ c'è un carrello

$v(2L)=0$

e trovo

$X= 17/10 qL$


dove sbaglio ?

xnix
"Faffa":

impongo le condizioni al contorno :
${ ( v_1(0)=0 ),( v'_1(0)=0 ),( v_1(2L)=v_2(2L) ),( v'_1(2L)=v'_2(2L) ):}$
dove sbaglio ?

non dovrebbe essere $v_1(2L)=v_2(0) ; v'_1(2L)=v'_2(0) $ ?

StefanoOne
a ogni "fine" di linea elastica devo azzerare la z ? perché io considero z compresa tra 0 e 3L....sbaglio ?

xnix
si dovresti considerare due tratti
$z_1$ con $0
non va da $2l$ fino a $3l$

xnix
"Faffa":

${ ( M(z) = -(qz^2)/2 + Xz -2qLz -2qL^2 + 2XL \qquad\qquad0<=z<=2L),( M(z)=0 \qquad\qquad 2L<=x<=3L ):}$


se i due momenti li hai "spezzati" così devi necessariamente far variare $z_2$ tra $0

StefanoOne
Ho corretto ma continuo a non trovarmi,

${ ( c_3 = -6XL^2 + 16/3 qL^3 ),( c_4 = -16/3 XL^3 + 14/3 qL^4 ):}$

Quindi
$v_2 (z) = -1/(EI) (-6XL^2 z + 16/3 L^3 qz + 16/3 XL^3 -14/3 qL^4 )$

Quindi impongo l'eq di congruenza
$v_2 (0) = 0$

$X=7/8 qL$

xnix
a me viene $x=3/4 ql$

$EJv= ql z^4/24 - 5/24 ql z^3 + 1/4 ql^2 z^2$ questa è l'equazione per gli abbassamenti del primo tratto $0
$EJv=-1/6 ql^3 z_2$ questa è l'equazione per gli abbassamenti del secondo tratto $0
ho fatto una verifica e sembra sia ok





StefanoOne
Ok grazie mille !

Ne approfitto per chiederti un ultima cosa, perché data questa struttura :







con la forza applicata nella mezzeria del tratto verticale.

Perchè se metto una cerniera in B e degrado l'incastro a cerniera posso considerare la trave come due travi appoggiate appoggiate e quindi svolgerla con gli schemi elementari ? Nel senso che, se la trave fosse rettilinea e non a L non avremo sforzo normale e sarebbe chiarissimo ! Ma in questo caso essendo presente uno sforzo normale, perchè possiamo considerarla inserendo una cerniera in B e degradando l'incastro come composta da due travi appoggiate appoggiate ?

xnix
scusami, non è che potresti riformulare la domanda, non mi è chiara

StefanoOne
Effettivamente non era tanto chiara, colpa del sonno :-D

Allora data tale isostatica principale:






1)perché possiamo considerare il tratto AB e il tratto BC come due travi appoggiate appoggiate ?
2) le travi appoggiate appoggiate degli schemi notevoli sono costituite solo da carrello e cerniera; inoltre non sono soggette a sforzo normale, mentre in questo caso è presente lo sforzo normale.... quindi come mai il prof. le svolge usando lo schema notevole di trave appoggiata appoggiata ?

xnix
"Faffa":
1)perché possiamo considerare il tratto AB e il tratto BC come due travi appoggiate appoggiate ?

perché hai declassato il vincolo quindi "spezzando" la struttura hai per il tratto $BC$ cerniera a destra e appoggio a sinistra poiché il tratto $AB$ gli fa da appoggio (e viceversa per il tratto $AB$) mi pare una cosa intuitiva questa
se fossero state deformabili assialmente allora ti "giocavi" anche l'appoggio

"Faffa":
2) le travi appoggiate appoggiate degli schemi notevoli sono costituite solo da carrello e cerniera; inoltre non sono soggette a sforzo normale, mentre in questo caso è presente lo sforzo normale.... quindi come mai il prof. le svolge usando lo schema notevole di trave appoggiata appoggiata ?


sicuramente il tuo prof. avrà considerato $EA\rightarrow0$

StefanoOne
Cioè per $EA -> 0$ si ha che il vincolo è molto più rigido della struttura, e quindi non è deformabile assialmente sennò avrei avuto un cedimento vincolare ?




Quindi detto terra terra, posso considerare AB e BC come appoggio appoggio perchè non essendoci deformabilità assiale ed essendo presente una cerniera in B è come se le due travi si comportassero come se fossero "divise" cioè così :



e quindi possiamo trattarle come due appoggiate appoggiate....ho capito bene quello che hai detto ?




P.S.
come si fa a capire se EA->0 ? cioè perché la traccia chiedeva solamente di calcolare le reazioni e i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

xnix
no no scusami non a zero $EArarr oo$

StefanoOne
OK !

Per il resto ho detto bene ?

xnix
"Faffa":
Quindi detto terra terra, posso considerare AB e BC come appoggio appoggio perchè non essendoci deformabilità assiale ed essendo presente una cerniera in B è come se le due travi si comportassero come se fossero "divise" cioè così

si le aste le consideri indeformabili assialmente si fa questa supposizione nella maggior parte dei casi
poi non è anomale vedere aste deformabili assialmente

StefanoOne
Ok grazie mille :-)

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