[Scienza delle Costruzioni] Sfera sottoposta a sole forze di volume

[ambraparietti]

Qualcuno riesce a risolvere questo esercizio?? Grazie!!

All’interno della sfera di equazione x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1, di materiale iperelastico lineare di Lamé, con
costanti elastiche E e v, è osservato il campo di forze di volume f = (−px, −py, −pz), mentre il suo
contorno è scarico. Determinare il tensore degli sforzi e quello della deformazione.

[ingres]

Se ho fatto bene i conti le equazioni di Navier-Cauchy in coordinate sferiche dovrebbero dare in questo caso l'equazione di equilibrio

(1) $r*(d sigma)/(dr) + 2*(sigma_r-sigma_t)=pr^2$

Poi si ha l'equazione che lega la deformazione agli spostamenti

(2) $epsilon_r = (du)/(dr)$
(3) $epsilon_t = u/r$

e le equazioni costitutive elastiche

(4) $epsilon_r = 1/E*(sigma_r-2*nu sigma_t)$
(5) $epsilon_t = 1/E*(sigma_r-nu*(sigma_r+sigma_t))$

Poiché la soluzione dipendente da $1/r^2$ deve essere scartata, perché la sfera è piena e il campo di spostamento deve essere finito per r=0, la soluzione finale in termini di u (da cui poi si può ricavare tutte le altre grandezze) sarà del tipo:

$u= A *r + f(r)$

essendo f(r) la soluzione particolare dovuta al campo di forze di volume e A da determinarsi imponendo $sigma_r=0$ per per il r=1.

[ingres]

Volendo arrivare fino in fondo ai calcoli, si può ricavare dalle equazioni (2),(3),(4),(5) le seguenti:

$sigma_r = E/((1+nu)(1-2nu))*((1-nu)*(du)/(dr)+2nu*u/r)$
$sigma_t = E/((1+nu)(1-2nu))*(nu*(du)/(dr)+u/r)$

e quindi

$(d sigma_r)/(dr) = E/((1+nu)(1-2nu))*((1-nu)*(d^2u)/(dr^2)+(2nu)/r*(du)/(dr)-2nu*u/r^2)$
$sigma_r-sigma_t = E/(1+nu)*((du)/(dr)-u/r)$

sostituendo nell'equazione di equilibrio (1) si ottiene l'equazione lineare a coefficienti non costanti e non omogenea seguente:

$r*(d^2u)/(dr^2)+2*(du)/(dr)-2u/r = ((1-2nu)(1+nu))/(E*(1-nu))*p*r^2$

Posto per semplicità $k=((1-2nu)(1+nu))/(E*(1-nu))$, l'equazione può anche essere riscritta come:

$r(d/(dr)(1/r^2*d/(dr)(ur^2))=kpr^2$

che può essere facilmente risolta sia in termini di omogenea che di soluzione particolare e quindi si arriva alla soluzione finale:

$u(r)=A*r+B/r^2+(kp)/10*r^3$

Poiché u deve essere finito per r=0 dovrà risultare B=0 e quindi la soluzione diventa:

$u(r)=A*r+(kp)/10*r^3$

dove A come detto andrà determinato con la condizione $sigma_r =0$ sulla superfice della sfera