[Scienza delle Costruzioni] Potenziale elastico complementare

[StefanoOne]

Ciao a tutti, non riesco a capire come dimostrare che il potenziale elastico complementare sia una funzione di stato, prima di scrivere la domanda faccio un riassunto delle cose precedenti:

Riassunto:
Dato un corpo deformabile iper-elastico tridimensionale, soggetto a forze di volume ${F}dv$ e forze di superficie ${p}ds$ si ha un campo di spostamenti ${\eta}$, per cui andando a incrementare il campo di spostamenti di una quantità ${d\eta}$ avremo che all'interno del corpo ci sarà un incremento delle $\epsilon$ (dove con {$\epsilon$} indichiamo il vettore delle deformazioni e parliamo di vettore in quanto solo 6 componenti sono indipendenti) e delle $\sigma$ (dove con {$\sigma$} indichiamo il vettore delle tensioni); detto ciò possiamo affermare sfruttando il PLV che, il lavoro interno infinitesimo dovuto quindi a incrementi infinitesimi di spostamento e deformazioni è :
$dL_{i} = int {\sigma}^T cdot {d\epsilon} dv$
mentre
$dL_{e}= int {F}^T {d\eta} dv + int {p}^T {d\eta} ds$

dove per il principio dei lavori virtuali vale l'uguaglianza:
$dL_{e} = dL_{i}$
quindi poniamo
$d\phi = {\sigma}^T cdot {d\epsilon}$
e chiamiamo $\phi$ potenziale elastico

Scriviamo adesso il lavoro virtuale infinitesimo prendendo questa volta gli incrementi infinitesimi di tensione per le deformazioni :
$d\psi={d\phi}^T \cdot {\epsilon}$

dove con $\psi$ indichiamo il potenziale elastico complementare

Domanda:
posso affermare che $d\psi$ è un differenziale esatto, perché sappiamo che l'energia che viene accumulata all'interno di un corpo iper-elastico è una funzione di stato e quindi il lavoro infinitesimo di deformazione che viene immagazzinato nel corpo deve essere un differenziale esatto ???

inoltre mentre $\phi$ rappresenta l'energia immagazzinata da un corpo, la $\psi$ fisicamente cosa rappresenta ?