[Scienza delle Costruzioni] PLV per struttura iperstatica
Salve a tutti,
dato questo esercizio:
posto quindi $X_1 = 1$ la forza fittizia, quando va ad applicare la sovrapposizione degli effetti per ricavare il momento reale $M^(r)$ scrive:
$M^(r) = M_0 + M_1 * X_1$
Domanda:
$1)$ il momento reale è dato dal contributo del carico esterno $M_0$ + $X_1$ volte il momento $M_1$ dovuto alla forza fittizia unitaria $1^(f)$ ?
Domanda:
$2) $quello che vorrei sapere è perché $X_1$ non lo abbiamo semplificato ? cioè dato che dice che $X_1$ è la forza fittizia unitaria perché non lo sostituisce con $1$ ?
Ma se lo facesse non avrebbe più senso perché sparirebbe l'incognita del problema
cosa sbaglio ?
esattamente lo dice qui:
------------------------------------------
$3)$ All'inizio pensavo che $X_1$ rappresentasse $X_1$ volte la forza fittizia $1^(f)$ e che quindi $X_1$ rappresentasse l'effettivo valore che cerchiamo di reazione vincolare; ma dopo aver letto quelle ultime due slide non ho capito più
Vi ringrazio a priori.
dato questo esercizio:
posto quindi $X_1 = 1$ la forza fittizia, quando va ad applicare la sovrapposizione degli effetti per ricavare il momento reale $M^(r)$ scrive:
$M^(r) = M_0 + M_1 * X_1$
Domanda:
$1)$ il momento reale è dato dal contributo del carico esterno $M_0$ + $X_1$ volte il momento $M_1$ dovuto alla forza fittizia unitaria $1^(f)$ ?
Domanda:
$2) $quello che vorrei sapere è perché $X_1$ non lo abbiamo semplificato ? cioè dato che dice che $X_1$ è la forza fittizia unitaria perché non lo sostituisce con $1$ ?
Ma se lo facesse non avrebbe più senso perché sparirebbe l'incognita del problema
cosa sbaglio ?esattamente lo dice qui:
------------------------------------------
$3)$ All'inizio pensavo che $X_1$ rappresentasse $X_1$ volte la forza fittizia $1^(f)$ e che quindi $X_1$ rappresentasse l'effettivo valore che cerchiamo di reazione vincolare; ma dopo aver letto quelle ultime due slide non ho capito più
Vi ringrazio a priori.
Risposte
up
Il sistema delle forze è il sistema isostatico con forza posta pari ad $1$, il sistema degli spostamenti è quello della struttura iperstatica, ridotta ad isostatica appunto considerando la reazione incognita del carrello pari ad $X$.
Non c'è niente da semplificare nell' espressione del lavoro virtuale, và risolta trovando l' incognita e stop.
Non c'è niente da semplificare nell' espressione del lavoro virtuale, và risolta trovando l' incognita e stop.
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta !
La cosa che mi ha confuso è quando dice:
che: " $\eta_(11)$ è lo spostamento duale all'incognita $X_1$ dovuto a $X_1 = 1$"
Non avrebbe dovuto dire che è lo spostamento duale all'incognita $X_1$ (cioè in pratica che si ha dove agisce $X_1$) dovuto alla forza $1^(f) ?$; non capisco quell'uguaglianza $"X_1=1"$,non so se ho espresso bene il mio dubbio !
La cosa che mi ha confuso è quando dice:
che: " $\eta_(11)$ è lo spostamento duale all'incognita $X_1$ dovuto a $X_1 = 1$"
Non avrebbe dovuto dire che è lo spostamento duale all'incognita $X_1$ (cioè in pratica che si ha dove agisce $X_1$) dovuto alla forza $1^(f) ?$; non capisco quell'uguaglianza $"X_1=1"$,non so se ho espresso bene il mio dubbio !
Sinceramente non ho capito molto il tuo dubbio, comunque i due sistemi (forze e spostamenti) sono quelli, la forza $1$ lavora per lo spostamento del punto in cui è applicata ma dello schema duale, ovvero quello degli spostamenti, quello che infatti lui chiama $eta_11$
Ok mi è chiaro quello che intendi!
Però perché nell'ultima slide pone $X_1 = 1$ ?
Però perché nell'ultima slide pone $X_1 = 1$ ?
In pratica tra gli infiniti possibili sistemi delle forze prende quello uguale allo schema 1, ovvero quello con la forza pari ad $1$
Ok, quindi andiamo passo passo così capisco bene !
allora tale forza $X_1=1$ genera un momento $M_1$, ora perché moltiplichiamo $M_1*X_1$ ?
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai fornendo
allora tale forza $X_1=1$ genera un momento $M_1$, ora perché moltiplichiamo $M_1*X_1$ ?
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai fornendo
Quello non è il principio dei lavori virtuali, ma sono le equazioni di Muller-Breslau (che derivano dalle equazioni del plv, ma non hanno nessun significato particolare, come quelle cavolate scritte li...spostamento duale etc...ma che è...rinnovo il mio invito a buttare quelle slide!).
Dato un sistema di travi $h$ volte iperstiatico, il metodo delle forze consiste dei seguenti passi:
1) Si rimuovono $h$ vincoli in modo che la struttura diventi isostatica e non cambi la sua labilità, questa è detta "struttura principale", questi $h$ vincoli si sostituiscono con le rispettive reazioni vincolari $X_i$, dette incognite iperstatiche, con $i=1,...,h$
2) Si considera la struttura principale si cui agiscono SOLO i carichi esterni (quindi non agiscono le $X_i$), questa è detta "struttura $0$" e si determinano i diagrammi di sollecitazione $N_0$, $T_0$, $M_0$
3) Consideriamo ora la struttura principale $h$ volte, in cui all'i-esimo passo sulla struttura è applicata SOLO la i-esima incognita iperstatica (quindi senza i carichi esterni) con valore unitario $X_i=1$, si hanno le strutture $1$, $2$,...$h$ di cui si calcolano le caratteristiche di sollecitazione $N_i, T_i, M_i$
Per sovrapposizone, le caratteristiche di sollecitazione reali del sistema di travi saranno:
$N=N_0+sum_(i=1)^h X_iN_i$,
$T=T_0+sum_(i=1)^hX_iT_i$,
$M=M_0+sum_(i=1)hX_iM_i$
4) Per ogni passo al punto 3) si applica il plv con i carichi e sollecitazioni virtuali del sistema i-esimo e gli spostamenti e deformazioni reali della struttura:
$1*eta_i + sum_pR_(ip)eta_p+sum_qR_(iq)(R_q/(k_q))=sum_kint(N_(ik)epsilon_k+T_(ik)gamma_k+M_(ik)theta_k)+sum_sC_(is)eta_s+sum_rC_(ir)(C_r/(k_r))$
Dove:
- $eta_i$ è lo spostamento REALE del punto di applicazione della i-esima incognita iperstatica, che vale zero se il vincolo rimosso era ideale, è pari al cedimento se il vincolo rimosso era cedevole anelasticamente, è pari a $-X_i/k_i$ se il vincolo rimosso era cedevole elasticamente
- gli $eta_p$ sono i cedimenti anelastici (reali) dei vincoli esterni e $R_(ip)$ le rispettive reazioni vincolari nel sistema i-esimo
-$R_q)/(k_q)$ sono gli eventuali spostamenti reali dei vincoli esterni cedevoli elasticamente, $R_(iq)$ sono le rispettive reazioni nel sistema i-esimo e $R_q=R_(0q)+sumX_iR_(iq)$ è la reazione totale agente sul vincolo esterno q-esimo ottenuto per sovrapposizione tra le varie sottostrutture che abbiamo definito.
Lascio a te interpretare il significato dei simboli a destra...sono gli "analoghi" "interni" dei termini a sinistra.
Queso è un sistema algebrico di h equazioni in h incognite. Questa espressione si può modificare maneggiandola, arrivando alle equazioni di Muller-Braslau che aggira il problema di risolvere un sistema di h equazioni in h incognite.
Dopo le scrivo, se ti interessa.
Dato un sistema di travi $h$ volte iperstiatico, il metodo delle forze consiste dei seguenti passi:
1) Si rimuovono $h$ vincoli in modo che la struttura diventi isostatica e non cambi la sua labilità, questa è detta "struttura principale", questi $h$ vincoli si sostituiscono con le rispettive reazioni vincolari $X_i$, dette incognite iperstatiche, con $i=1,...,h$
2) Si considera la struttura principale si cui agiscono SOLO i carichi esterni (quindi non agiscono le $X_i$), questa è detta "struttura $0$" e si determinano i diagrammi di sollecitazione $N_0$, $T_0$, $M_0$
3) Consideriamo ora la struttura principale $h$ volte, in cui all'i-esimo passo sulla struttura è applicata SOLO la i-esima incognita iperstatica (quindi senza i carichi esterni) con valore unitario $X_i=1$, si hanno le strutture $1$, $2$,...$h$ di cui si calcolano le caratteristiche di sollecitazione $N_i, T_i, M_i$
Per sovrapposizone, le caratteristiche di sollecitazione reali del sistema di travi saranno:
$N=N_0+sum_(i=1)^h X_iN_i$,
$T=T_0+sum_(i=1)^hX_iT_i$,
$M=M_0+sum_(i=1)hX_iM_i$
4) Per ogni passo al punto 3) si applica il plv con i carichi e sollecitazioni virtuali del sistema i-esimo e gli spostamenti e deformazioni reali della struttura:
$1*eta_i + sum_pR_(ip)eta_p+sum_qR_(iq)(R_q/(k_q))=sum_kint(N_(ik)epsilon_k+T_(ik)gamma_k+M_(ik)theta_k)+sum_sC_(is)eta_s+sum_rC_(ir)(C_r/(k_r))$
Dove:
- $eta_i$ è lo spostamento REALE del punto di applicazione della i-esima incognita iperstatica, che vale zero se il vincolo rimosso era ideale, è pari al cedimento se il vincolo rimosso era cedevole anelasticamente, è pari a $-X_i/k_i$ se il vincolo rimosso era cedevole elasticamente
- gli $eta_p$ sono i cedimenti anelastici (reali) dei vincoli esterni e $R_(ip)$ le rispettive reazioni vincolari nel sistema i-esimo
-$R_q)/(k_q)$ sono gli eventuali spostamenti reali dei vincoli esterni cedevoli elasticamente, $R_(iq)$ sono le rispettive reazioni nel sistema i-esimo e $R_q=R_(0q)+sumX_iR_(iq)$ è la reazione totale agente sul vincolo esterno q-esimo ottenuto per sovrapposizione tra le varie sottostrutture che abbiamo definito.
Lascio a te interpretare il significato dei simboli a destra...sono gli "analoghi" "interni" dei termini a sinistra.
Queso è un sistema algebrico di h equazioni in h incognite. Questa espressione si può modificare maneggiandola, arrivando alle equazioni di Muller-Braslau che aggira il problema di risolvere un sistema di h equazioni in h incognite.
Dopo le scrivo, se ti interessa.
Ho solo una domanda (stupida) ma se nella prima equazione ,ad esempio, dello sforzo normale
$N=N_0+sum_(i=1)^h X_iN_i$
e abbiamo detto $X_i = 1$ perché $X_i*N_i$ non è uguale a $N_i$ ?
Non capisco come sia possibile che $X_i$ sia la reazione vincolare iperstatica cercata e contemporaneamente sia $X_i =1 $
cioè detto ancora più terra terra
come è possibile che$ X_i =1$ e poi alla fine del problema trovo ad esempio $X_i = qL/4$ ?
$N=N_0+sum_(i=1)^h X_iN_i$
e abbiamo detto $X_i = 1$ perché $X_i*N_i$ non è uguale a $N_i$ ?
Non capisco come sia possibile che $X_i$ sia la reazione vincolare iperstatica cercata e contemporaneamente sia $X_i =1 $
cioè detto ancora più terra terra
come è possibile che$ X_i =1$ e poi alla fine del problema trovo ad esempio $X_i = qL/4$ ?
No, $X_i$ è il valore "vero" della reazione vincolare incognita, $1$ è il valore che le si assegna nel sistema $i-esimo$, solo per comodità, nel sistema i-esimo questa forza unitaria determinerà un certo sistema di rezioni vincolari e caratteristiche di sollecitazione. Dato che il valore "vero" della incognita iperstatica non è 1 ma $X_i$, allora le reazioni vincolari e le caratteristiche di sollecitazione da essa prodotte saranno $X_i$ volte quelle del sistema i-esimo
Ok grazie mille !
Avrebbero potuto chiamarle in modo diverso !
Comunque ti rispondo ora, si sono interessato a come ci si arriva !
Avrebbero potuto chiamarle in modo diverso !
Dopo le scrivo, se ti interessa.
Comunque ti rispondo ora, si sono interessato a come ci si arriva !
Intanto ne approfitto per fare un'altra domanda, ritroviamo nel caso di sistemi di trave iperstatica che vale il teorema di unicità della soluzione valido in elasticità lineare.
La dimostrazione parte dicendo che per vedere che il sistema lineare costituito dalle equazioni di Muller-Breslau ammette un'unica soluzione, consideriamo la struttura isostatica principale caricata solamente con le incognite iperstatiche $X_i$ e quindi non dal carico esterno.
Il lavoro di deformazione di questa struttura caricata dall'incognita $X_i$ è maggiore di zero
$L_{DEF} > 0$
Domanda:
1)ora quello che volevo sapere è se è possibile affermare che è maggiore di zero, dato che il momento risultante dalla struttura isostatica principale con le sole incognite iperstatiche è al più lineare; quindi moltiplicando due funzioni lineari il risultato è una funzione quadratica. Giusto ?
-----------
P.S.
Questa dimostrazione l'avevo già vista nel caso di un corpo elastico lineare in cui sempre il teorema di Kirchhoff ci dice che assegnate le forze di volume e quelle di superficie e gli spostamenti imposti dai vincoli a un certo corpo tridimensionale; se la soluzione ${\eta_a}$ esiste essa è unica. Allora sarà unico anche il campo di deformazioni $[epsilon_a]$ ottenuto per derivata degli spostamenti ed sarà unico anche il campo di tensioni $[\sigma_a]$ ottenuto tramite le equazioni costitutive.
La dimostrazione parte dicendo che per vedere che il sistema lineare costituito dalle equazioni di Muller-Breslau ammette un'unica soluzione, consideriamo la struttura isostatica principale caricata solamente con le incognite iperstatiche $X_i$ e quindi non dal carico esterno.
Il lavoro di deformazione di questa struttura caricata dall'incognita $X_i$ è maggiore di zero
$L_{DEF} > 0$
Domanda:
1)ora quello che volevo sapere è se è possibile affermare che è maggiore di zero, dato che il momento risultante dalla struttura isostatica principale con le sole incognite iperstatiche è al più lineare; quindi moltiplicando due funzioni lineari il risultato è una funzione quadratica. Giusto ?
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P.S.
Questa dimostrazione l'avevo già vista nel caso di un corpo elastico lineare in cui sempre il teorema di Kirchhoff ci dice che assegnate le forze di volume e quelle di superficie e gli spostamenti imposti dai vincoli a un certo corpo tridimensionale; se la soluzione ${\eta_a}$ esiste essa è unica. Allora sarà unico anche il campo di deformazioni $[epsilon_a]$ ottenuto per derivata degli spostamenti ed sarà unico anche il campo di tensioni $[\sigma_a]$ ottenuto tramite le equazioni costitutive.
Una volta considerata l'equazione del plv scritta prima, portando tutto a destra e lasciando solo $1*eta_i$ a sinistra, e ricordando che, per la k-esima trave del sistema di travi in questione vale:
$epsilon_k=(N_(0k)+sum_(j=1)^(h)X_jN_(jk))/(E_kA_k)+alpha_kdeltaphi_k$
$gamma_k=(T_(0k)+sum_(j=1)^hX_jT_(jk))/(G_kA_k)$
$theta_k=(M_(0k)+sum_(j=1)^hX_jM_(jk))/(E_kI_k)+2alpha_k(deltaphi_k)/(l_k)$
Ci si convince facilmente che vale:
$1*eta_i=eta_(i0)+X_1eta_(i1)+...+X_heta_(ih)+eta_(ie)+eta_(if)+eta_(it)$
essendo:
$eta_(i0)=sum_kint(N_(ik)N_(0k)/(E_kA_k)+T_(ik)T_(0k)/(G_kA_k)+M_(ik)M_(0k)/(E_kI_k))ds$
$eta_(ij)=sum_kint(N_(ik)N_(jk)/(E_kA_k)+T_(ik)T_(jk)/(G_kA_k)+M_(ik)M_(jk)/(E_kI_k))ds$
$eta_(ie)=sum_rC_(ir)C_r/(k_r)-sum_qR_(iq)R_q/(k_q)$
$eta_(if)=sum_sC_(is)eta_s-sum_pR_(ip)eta_p$
$eta_(it)=sum_kint(N_(ik)alpha_kdeltaphi_k+M_(ik)2alpha_k(deltaphi_k)/(h_k))ds$
essendo inoltre $alpha_k$ il coefficiente di dilatazione termica della k-esima trave, e $phi_k$ la temperatura.
$epsilon_k=(N_(0k)+sum_(j=1)^(h)X_jN_(jk))/(E_kA_k)+alpha_kdeltaphi_k$
$gamma_k=(T_(0k)+sum_(j=1)^hX_jT_(jk))/(G_kA_k)$
$theta_k=(M_(0k)+sum_(j=1)^hX_jM_(jk))/(E_kI_k)+2alpha_k(deltaphi_k)/(l_k)$
Ci si convince facilmente che vale:
$1*eta_i=eta_(i0)+X_1eta_(i1)+...+X_heta_(ih)+eta_(ie)+eta_(if)+eta_(it)$
essendo:
$eta_(i0)=sum_kint(N_(ik)N_(0k)/(E_kA_k)+T_(ik)T_(0k)/(G_kA_k)+M_(ik)M_(0k)/(E_kI_k))ds$
$eta_(ij)=sum_kint(N_(ik)N_(jk)/(E_kA_k)+T_(ik)T_(jk)/(G_kA_k)+M_(ik)M_(jk)/(E_kI_k))ds$
$eta_(ie)=sum_rC_(ir)C_r/(k_r)-sum_qR_(iq)R_q/(k_q)$
$eta_(if)=sum_sC_(is)eta_s-sum_pR_(ip)eta_p$
$eta_(it)=sum_kint(N_(ik)alpha_kdeltaphi_k+M_(ik)2alpha_k(deltaphi_k)/(h_k))ds$
essendo inoltre $alpha_k$ il coefficiente di dilatazione termica della k-esima trave, e $phi_k$ la temperatura.
Ok !! Grazie mille per la dimostrazione è molto chiara !!
Quando hai tempo potresti dirmi anche la risposta del post di sopra riguardo al lavoro di deformazione
Grazie mille per l'aiuto che mi stai dando
Quando hai tempo potresti dirmi anche la risposta del post di sopra riguardo al lavoro di deformazione
Grazie mille per l'aiuto che mi stai dando
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