[Scienza delle Costruzioni] Momento d'inerzia
Salve a tutti, ho questo esercizio:
La sezione chiusa formata da elementi di spessore t e 2t (t<
Il sistema di riferimento (O,x,y) mostrato in figura non è principale d'inerzia. Verificarlo e calcolare Jx,Jy e Jxy.
Io ho provato ma non viene il risultato....forse ho sbagliato qualcosa. Ecco come procedo:
Considero metà sezione (data la simmetria) e calcolo i momenti d'inerzia rispetto i rispettivi baricentri (G1,G2,G3,G4) trovando poi i momenti rispetto agli assi richiesti con Huygens.
$J_(xG1)= int_{A}y^2 da = int_{-a/2}^{a/2} dx int_{-t}^{t} y^2 dy = (2at^3)/3$
$J_(xG2)= int_{A}y^2 da = int_{-t}^{t} dx int_{-a/2}^{a/2} y^2 dy = (a^3t)/6$
Quindi il momento d'inerzia della parte destra rispetto agli assi x,y diventa:
$J_x = J_(xG1)+A_1 a^2 + J_(xG2)+A_2 a^2/4 = 2at^3/3 + 8a^3t/3$
Più o meno stesso procedimento per la parte di sinistra ma già si vede che non torna....perché? Dove sbaglio?
Grazie mille!
La sezione chiusa formata da elementi di spessore t e 2t (t<
Il sistema di riferimento (O,x,y) mostrato in figura non è principale d'inerzia. Verificarlo e calcolare Jx,Jy e Jxy.
Io ho provato ma non viene il risultato....forse ho sbagliato qualcosa. Ecco come procedo:
Considero metà sezione (data la simmetria) e calcolo i momenti d'inerzia rispetto i rispettivi baricentri (G1,G2,G3,G4) trovando poi i momenti rispetto agli assi richiesti con Huygens.
$J_(xG1)= int_{A}y^2 da = int_{-a/2}^{a/2} dx int_{-t}^{t} y^2 dy = (2at^3)/3$
$J_(xG2)= int_{A}y^2 da = int_{-t}^{t} dx int_{-a/2}^{a/2} y^2 dy = (a^3t)/6$
Quindi il momento d'inerzia della parte destra rispetto agli assi x,y diventa:
$J_x = J_(xG1)+A_1 a^2 + J_(xG2)+A_2 a^2/4 = 2at^3/3 + 8a^3t/3$
Più o meno stesso procedimento per la parte di sinistra ma già si vede che non torna....perché? Dove sbaglio?
Grazie mille!
Risposte
"marcook":
Considero metà sezione (data la simmetria)
semplicemente perchè non è quella la simmetria
Ahh......quindi devo considerare il problema simmetrico lungo l'asse x' o y' in questo modo??
E devo calcolare i momenti d'inerzia rispetto a x e y di questo?
Grazie
E devo calcolare i momenti d'inerzia rispetto a x e y di questo?
Grazie
Onestamente ti consiglierei di riferirti agli assi $Oxy$ e fare i calcoli con la figura per intero
Boh io ho provato con la figura intera non mi torna....vedo che compare il termine della soluzione ma c'è una montagna di roba che non si semplifica.....domani cerco di postare tutti i conti, mi sa che è la cosa migliore
Prendi un rettangolo per volta, e ricordati le formule dei MI dei rettangoli, così non devi calcolare alcune integrale. Poi ricordati che devi sommare ad ogni momento di inerzia proprio il termine di trasporto.
Con riferimento alla tua figura :
1)Rettangolo $G_1 $ :
$I_x = 1/(12)(2t)^3a + a*2t*a^2 = …..$
$I_y = 1/(12) a^3*2t + a*2t*(a/2)^2 =……$
2) rettangolo $G_2 $ :
$I_x = 1/(12) a^3*2t + a*2t*(a/2)^2 = …..$
$I_y = 1/(12)(2t)^3a + a*2t*a^2 = …..$
Per i rettangoli G3 e G4, devi solo porre lo spessore uguale a $t$ anziché $2t$ .
E poi, per i rettangoli sotto l'asse $x$ le formule sono le stesse. Basta quindi sommare tutti i MI riferiti a $x$ e tutti quelli riferiti a $y$.
Con riferimento alla tua figura :
1)Rettangolo $G_1 $ :
$I_x = 1/(12)(2t)^3a + a*2t*a^2 = …..$
$I_y = 1/(12) a^3*2t + a*2t*(a/2)^2 =……$
2) rettangolo $G_2 $ :
$I_x = 1/(12) a^3*2t + a*2t*(a/2)^2 = …..$
$I_y = 1/(12)(2t)^3a + a*2t*a^2 = …..$
Per i rettangoli G3 e G4, devi solo porre lo spessore uguale a $t$ anziché $2t$ .
E poi, per i rettangoli sotto l'asse $x$ le formule sono le stesse. Basta quindi sommare tutti i MI riferiti a $x$ e tutti quelli riferiti a $y$.
Finalmente sono riuscito a trovare del tempo per rifare il conto...ed in effetti adesso mi è tornato!!!
Grazie mille
Grazie mille
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