[Scienza delle Costruzioni] Linea elastica: condizione al contorno
Non riesco a capire perchè una cosa. Spero mi aiutiate a individuare l'errore.
in questo caso particolare: una trave lunga L con agli estremi una cerniera a Sx ed un carrello a Dx.
L= a +b. a distanza a da sinistra c'è un carico concentrato P.
la convenzione è quella M+ dalla parte delle fibre tese M+, y''< 0 [e M-, y''>0 ].
lo visto online lo svolgimento --> http://www.itimarconi.ct.it/sezioni/didatticaonline/edile/Costruzioni/Linea%20elastica/Linea%20Elastica.htm (esercizio a fine pagina)
ecco, quello che non capisco è - sapendo in questo caso che la $ y_max $ è in corrispondenza di P (mi rendo conto che questo non varrebbe per esempio se al posto della cerniera ci fosse stato un incastro)- perchè non si potrebbe mettere come condizione di contorno $per$ $x=a$, $dot y_1=0 $ e $ dot y_2=0$ ? al posto di usare le condizioni di congruenza $per$ $x=a$, $dot y_1= dot y_2$ e $y_1=y_2$??
perchè concettualmente sarebbe sbagliato usare una c.c di contorno così stritta? coi calcoli non viene nulla, però vorrei sapere la ragione per cui sarebbe sbagliato.
Spero nel vostro aiuto.
in questo caso particolare: una trave lunga L con agli estremi una cerniera a Sx ed un carrello a Dx.
L= a +b. a distanza a da sinistra c'è un carico concentrato P.
la convenzione è quella M+ dalla parte delle fibre tese M+, y''< 0 [e M-, y''>0 ].
lo visto online lo svolgimento --> http://www.itimarconi.ct.it/sezioni/didatticaonline/edile/Costruzioni/Linea%20elastica/Linea%20Elastica.htm (esercizio a fine pagina)
ecco, quello che non capisco è - sapendo in questo caso che la $ y_max $ è in corrispondenza di P (mi rendo conto che questo non varrebbe per esempio se al posto della cerniera ci fosse stato un incastro)- perchè non si potrebbe mettere come condizione di contorno $per$ $x=a$, $dot y_1=0 $ e $ dot y_2=0$ ? al posto di usare le condizioni di congruenza $per$ $x=a$, $dot y_1= dot y_2$ e $y_1=y_2$??
perchè concettualmente sarebbe sbagliato usare una c.c di contorno così stritta? coi calcoli non viene nulla, però vorrei sapere la ragione per cui sarebbe sbagliato.
Spero nel vostro aiuto.
Risposte
Ciao e benvenuto/a!
...certo che sarebbe sbagliato!
Chiediti....che cosa rappresentano quelle derivate che hai scritto $dot(y_1)$ e $dot(y_2)$ ?
...certo che sarebbe sbagliato!
Chiediti....che cosa rappresentano quelle derivate che hai scritto $dot(y_1)$ e $dot(y_2)$ ?
non rappresenta l'inclinazione/tangente della della linea elastica? $doty_1$ dalla parte di sinistra rispetto al carico concentrato e $dot y_2$ dalla parte di destra.
Si esattamente, per cui può essere anche inteso come l'angolo di rotazione della linea elastica rispetto all'orrizzontale.
Allora perchè dici che in prossimità del carico P questi 2 valori angolari valgono zero?
Immaginati la deformata della trave a seguito del carico P e prova a farne le dovute deduzioni
Allora perchè dici che in prossimità del carico P questi 2 valori angolari valgono zero?
Immaginati la deformata della trave a seguito del carico P e prova a farne le dovute deduzioni
perchè guardando il disegno della soluzione, ho visto che la deformazione max $y_max$ era segnata in corrispondenza di P, nonostante P non fosse esattamente al centro. Ho pensato (facendo un ragionamento al contrario di verifica dei concetti) che se la fraccia massima è in corrispondenza di P e P è a distanza "a" dalla cerniera, e visto che sappiamo che nel punto di curvatura massima la derivata è nulla (quindi per x=a, $dot y=0$) ... ho pensato di provare se si potesse usare come condizione di contorno. In effetti ciò si può fare, per esempio, nel caso di un carico distribuito uniforme su una trave incernierata sui lati, dove la curva max di Mf corrisponde a L/2.
Credo di aver sbagliato questo: il disegno probabilmente è qualitativo, dove "a" e "b" sono misure indefinite, ma $y_max$ anche se disegnata in corrispondenza di P, come legge generale non è sempre in corrispondenza di P e quindi non posso usare $a$ come la distanza dove imporre $doty_1=0$ e $dot y_2=0$. Ma se questa distanza cambia e non la conosco, conviene usare un'altra condizione di contorno del tutto diversa: quella di congruenza.
Così fila?
Credo di aver sbagliato questo: il disegno probabilmente è qualitativo, dove "a" e "b" sono misure indefinite, ma $y_max$ anche se disegnata in corrispondenza di P, come legge generale non è sempre in corrispondenza di P e quindi non posso usare $a$ come la distanza dove imporre $doty_1=0$ e $dot y_2=0$. Ma se questa distanza cambia e non la conosco, conviene usare un'altra condizione di contorno del tutto diversa: quella di congruenza.
Così fila?
In effetti adesso che ci penso, credo di averti detto una marea di cavolate!
Ti chiedo scusa, il tuo ragionamento è correttissimo!
Solamente credo una cosa, che venga presa la condizione sugli spostamenti in quanto si tratta di una condizione "essenziale" perchè valutata sulla funzione stessa e non sulla sua derivata. Per cui è una condizione più attendibile.
Ti chiedo scusa, il tuo ragionamento è correttissimo!
Solamente credo una cosa, che venga presa la condizione sugli spostamenti in quanto si tratta di una condizione "essenziale" perchè valutata sulla funzione stessa e non sulla sua derivata. Per cui è una condizione più attendibile.
Il quesito è molto interessante secondo me ed in effetti la conclusione alla quale sei giunto/a è corretta, ovvero: la condizione $y'(S)=0$ la puoi imporre se $S$ è la sezione in corrispondenza della quale hai l'abbassamento massimo.
Siccome a priori non conosci l'ascissa di questa sezione, non puoi imporla come condizione.
Nell'esercizio che hai indicato infatti, la $y_("max")$ non si trova in corrispondenza del punto di applicazione $C$ del carico $P$, ma si trova all'ascissa (riportata più sotto):
$x = (sqrt(1^2-b^2))/(sqrt(3))$
e non a $x=a$.
Però, credo che se si conosce a priori la sezione di abbassamento massimo, la condizione che hai riportato tu si può imporre.
Ciao.
Siccome a priori non conosci l'ascissa di questa sezione, non puoi imporla come condizione.
Nell'esercizio che hai indicato infatti, la $y_("max")$ non si trova in corrispondenza del punto di applicazione $C$ del carico $P$, ma si trova all'ascissa (riportata più sotto):
$x = (sqrt(1^2-b^2))/(sqrt(3))$
e non a $x=a$.
Però, credo che se si conosce a priori la sezione di abbassamento massimo, la condizione che hai riportato tu si può imporre.
Ciao.
Sì, grazie delle risposte.
Mi sono fatta trarre in inganno dal disegno e visto che a lezione abbiamo fatto solo degli accenni a due esempi di esercizi base, volevo verificare quanto effettivamente avevo capito del procedimento cercando di risolvere un esercizio un po' più complesso.
@JoJo_90
in effetti avevo notato che x=[..] era - come dire - più 'flessibile' rispetto al disegno corrispondente (guardando solo quello, infatti, sembrerebbe essere x=a). Quindi (finalmente) ho lasciato in disparte il disegno ed ho immaginato il carico P molto in prossimità della cerniera: era logico in questo caso aspettarsi la freccia max spostata più avanti e non tanto vicina alla cerniera, solo perchè questo era il punto di applicazione del carico. Così mi sono spiegata la soluzione x=[..] riportata da te. Però mi ci è voluto un po' di tempo per motivare la discrepanza con la rappresentazione grafica. "E' sbagliato il disegno" non andava bene: nessuno in un pdf esplicativo sulle linee elastiche va a mettere un disegno sbagliato. Poi mi è venuto in mente che magari il disegno non aveva la pretesa di essere corretto. era solo un grafico qualitativo. Oppure, non so, forse collocando P in una zona abbastanza centrale, la freccia si sposta di talmente poco che graficamente è uno spostamento che non si riesce a registrare/cogliere.
Grazie molte per l'aiuto. davvero gentili.
Mi sono fatta trarre in inganno dal disegno e visto che a lezione abbiamo fatto solo degli accenni a due esempi di esercizi base, volevo verificare quanto effettivamente avevo capito del procedimento cercando di risolvere un esercizio un po' più complesso.
@JoJo_90
in effetti avevo notato che x=[..] era - come dire - più 'flessibile' rispetto al disegno corrispondente (guardando solo quello, infatti, sembrerebbe essere x=a). Quindi (finalmente) ho lasciato in disparte il disegno ed ho immaginato il carico P molto in prossimità della cerniera: era logico in questo caso aspettarsi la freccia max spostata più avanti e non tanto vicina alla cerniera, solo perchè questo era il punto di applicazione del carico. Così mi sono spiegata la soluzione x=[..] riportata da te. Però mi ci è voluto un po' di tempo per motivare la discrepanza con la rappresentazione grafica. "E' sbagliato il disegno" non andava bene: nessuno in un pdf esplicativo sulle linee elastiche va a mettere un disegno sbagliato. Poi mi è venuto in mente che magari il disegno non aveva la pretesa di essere corretto. era solo un grafico qualitativo. Oppure, non so, forse collocando P in una zona abbastanza centrale, la freccia si sposta di talmente poco che graficamente è uno spostamento che non si riesce a registrare/cogliere.
Grazie molte per l'aiuto. davvero gentili.
Hai ragione, il disegno ha confuso inizialmente anche me, ma l'importante è essere venuti a capo della cosa
Per il resto sono io a ringraziare te per l'interessante questione che hai proposto e perché ci hai dato modo di rifletterci su.
Ciao.
Per il resto sono io a ringraziare te per l'interessante questione che hai proposto e perché ci hai dato modo di rifletterci su.
Ciao.
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