[Scienza delle Costruzioni] Legame costitutivo elastico lineare
Ciao a tutti,
Non capisco che passaggio fa il mio libro riguardo il legame costitutivo elastico lineare.
Dopo aver scritto la matrice Hessiana $[H]$ del potenziale elastico, afferma che il potenziale elastico è uguale a:
$\phi = \frac{1}{2} {\epsilon}^T [H]{\epsilon}$
dove ${\epsilon}$ è il vettore delle deformazioni
Adesso viene il passaggio che non capisco dove dice: derivando per $\epsilon$ possiamo scrivere:
${\sigma}=[H]{\epsilon}$
il primo membro mi è chiaro ossia che la derivata del potenziale elastico rispetto alle deformazioni è uguale al vettore delle tensioni, ma non capisco come ottiene il secondo membro
Non riesco a capire come si deriva il secondo membro, essendo presente il prodotto tra un vettore trasposto e quello non trasposto
Spero di aver esposto bene il mio dubbio
Vi ringrazio a priori
Non capisco che passaggio fa il mio libro riguardo il legame costitutivo elastico lineare.
Dopo aver scritto la matrice Hessiana $[H]$ del potenziale elastico, afferma che il potenziale elastico è uguale a:
$\phi = \frac{1}{2} {\epsilon}^T [H]{\epsilon}$
dove ${\epsilon}$ è il vettore delle deformazioni
Adesso viene il passaggio che non capisco dove dice: derivando per $\epsilon$ possiamo scrivere:
${\sigma}=[H]{\epsilon}$
il primo membro mi è chiaro ossia che la derivata del potenziale elastico rispetto alle deformazioni è uguale al vettore delle tensioni, ma non capisco come ottiene il secondo membro
Non riesco a capire come si deriva il secondo membro, essendo presente il prodotto tra un vettore trasposto e quello non trasposto
Spero di aver esposto bene il mio dubbio
Vi ringrazio a priori
Risposte
Fai il prodotto della matrice per le componenti scalari del vettore e dovresti trovarti
potresti scriverlo in formula, non ho capito cosa intendi
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
Innanzitutto sono tensori e non vettori, quel $H$ è un tensore del quarto ordine, non è rappresentabile da una matrice. Diciamo un po' le cose per bene: Sia $e(x,F)$ l'energia elastica (o densità di energia elastica, o potenziale elastico etc) di un corpo semplice (dipendente in generale punto per punto dal gradiente di deformazione $F$, quando le deformazioni sono piccole $e$ dipende punto per punto dal tensore delle piccole deformazioni), in condizioni di piccole deformazioni possiamo sviluppare in serie l'energia elastica attorno a un punto di equilibrio ($epsilon=0$):
$e(x,epsilon)=e_0+sigma_0*epsilon+1/2epsilon*CCepsilon+o(abs(epsilon))$
Essendo $e_0$ una energia "preassegnata" (ossia è l'energia posseduta dal corpo quando non è deformato, uno scalare), $sigma_0=(partiale(x,0))/(partial epsilon)$lo sforzo "preassegnato" (ossia lo sforzo presente quando il corpo non è deformato, un tenskre del secondo ordine) ed essendo $CC:=(partial^2e)/(partialepsilon^2)$ il famoso "tensore costitutivo elastico lineare", un tensore del quarto ordine, quello che tu chiami matrice hessiana.
Supponiami che sia $e_0=0$ e $sigma_0=0$, allora
$e=1/2epsilon*CCepsilon$
E sapendo che nei corpi semplici elastici l'energia elastica è un potenziale per lo sforzo, allora:
$sigma(x, epsilon)=(partiale)/(partial epsilon)=CCepsilon$
Il perché di questa formula è dovuto alla simmetria di $CC$, infatti quella formula vale solo per tensori simmetrici, nel nostro caso è un po' piú difficile vederlo perché $CC$ ha 4 indici, ma per tensori simmetrici del secondo ordine la cosa è evidente:
Prendi un tensore $A=A_(ij)$ simmetrico $A_(ij)=A_(ji)$ e considera un vettore $v$, il prodotto $v*Av$ è uno scalare $A_(ij)v_iv_j$ (convenzione di Einstein sugli induci rupetuti miraccomando), il termine $A_(ij)v_iv_j$ rappresenta quello che si chiama "forma quadratica".
Se te ora lo scalare $A_(ij)v_iv_j$ lo derivi rispetto a $v$, ottieni un vettore $w$ di componenti $w_k=(partialA_(ij)v_iv_j)/(partialv_k)$...a te ora concludere
$e(x,epsilon)=e_0+sigma_0*epsilon+1/2epsilon*CCepsilon+o(abs(epsilon))$
Essendo $e_0$ una energia "preassegnata" (ossia è l'energia posseduta dal corpo quando non è deformato, uno scalare), $sigma_0=(partiale(x,0))/(partial epsilon)$lo sforzo "preassegnato" (ossia lo sforzo presente quando il corpo non è deformato, un tenskre del secondo ordine) ed essendo $CC:=(partial^2e)/(partialepsilon^2)$ il famoso "tensore costitutivo elastico lineare", un tensore del quarto ordine, quello che tu chiami matrice hessiana.
Supponiami che sia $e_0=0$ e $sigma_0=0$, allora
$e=1/2epsilon*CCepsilon$
E sapendo che nei corpi semplici elastici l'energia elastica è un potenziale per lo sforzo, allora:
$sigma(x, epsilon)=(partiale)/(partial epsilon)=CCepsilon$
Il perché di questa formula è dovuto alla simmetria di $CC$, infatti quella formula vale solo per tensori simmetrici, nel nostro caso è un po' piú difficile vederlo perché $CC$ ha 4 indici, ma per tensori simmetrici del secondo ordine la cosa è evidente:
Prendi un tensore $A=A_(ij)$ simmetrico $A_(ij)=A_(ji)$ e considera un vettore $v$, il prodotto $v*Av$ è uno scalare $A_(ij)v_iv_j$ (convenzione di Einstein sugli induci rupetuti miraccomando), il termine $A_(ij)v_iv_j$ rappresenta quello che si chiama "forma quadratica".
Se te ora lo scalare $A_(ij)v_iv_j$ lo derivi rispetto a $v$, ottieni un vettore $w$ di componenti $w_k=(partialA_(ij)v_iv_j)/(partialv_k)$...a te ora concludere
Ok quindi otterremo un vettore $w$ che scritto in componenti sarà:
$w_k= 2 \ A_{ij} v_{j}$
ossia
${w}= 2[A] {v}$
quindi sopra si ha' per quando riguarda i corpi elastici che il tensore di tensione è uguale a:
$[\sigma(x,\epsilon)] = \frac{1}{2}*2*[[CC]]*[\epsilon]$
e mi trovo !
Grazie mille per la spiegazione !!!!
$w_k= 2 \ A_{ij} v_{j}$
ossia
${w}= 2[A] {v}$
quindi sopra si ha' per quando riguarda i corpi elastici che il tensore di tensione è uguale a:
$[\sigma(x,\epsilon)] = \frac{1}{2}*2*[[CC]]*[\epsilon]$
e mi trovo !
Grazie mille per la spiegazione !!!!
Un' altra cosa, per affermare che la $CC$ è definita positiva; è lecito dire che dato che il potenziale elastico è un energia quindi è positiva e si ha :
$\epsilon ^T \cdot CC \epsilon >0$
da cui si può affermare che $CC$ è definita positiva
E' giusto dire ciò ?
$\epsilon ^T \cdot CC \epsilon >0$
da cui si può affermare che $CC$ è definita positiva
E' giusto dire ciò ?
Si, è giusto. Inoltre un altro modo di vederla è il fatto che abbia sviluppato l'energia elastica in serie attorno a un punto di equilibrio, e i punti di equilibrio sono punti di minimo dell'energia, quindi per esserci un minimo, come sai, l'hessiana deve essere definita positiva in quel punto.
Perfetto, grazie mille !!!!!
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