[Scienza delle Costruzioni] Labile, isostatico o iperstatico?
Buongiorno,
detto $l$ il numero di gradi di libertà di un sistema e $v$ il numero di gradi di vincolo, Wikipedia dice:
- se $l>v$, allora il sistema è labile;
- se $l
- se $l=v$ ed i vincoli sono ben posti, allora il sistema è isostatico.
Sull'iperstatico però non sono convinto. Se abbiamo una trave orizzontale con $4$ carrelli a scorrimento orizzontale, $l=3,v=4$, ma il sistema è labile. Quindi per me anche per l'iperstatico va considerata la ben posizione dei vincoli.
In figura, io vedo un corpo ($l=3$) e $2$ dispositivi di vincolo semplice (biella e molla; $v=2$). Perché è iperstatico?
Grazie.
detto $l$ il numero di gradi di libertà di un sistema e $v$ il numero di gradi di vincolo, Wikipedia dice:
- se $l>v$, allora il sistema è labile;
- se $l
- se $l=v$ ed i vincoli sono ben posti, allora il sistema è isostatico.
Sull'iperstatico però non sono convinto. Se abbiamo una trave orizzontale con $4$ carrelli a scorrimento orizzontale, $l=3,v=4$, ma il sistema è labile. Quindi per me anche per l'iperstatico va considerata la ben posizione dei vincoli.
In figura, io vedo un corpo ($l=3$) e $2$ dispositivi di vincolo semplice (biella e molla; $v=2$). Perché è iperstatico?
Grazie.
Risposte
Grazie per la risposta. Anche se a livello algebrico il sistema è esternamente labile, poiché per la particolare condizione di carico esterno risulta esternamente autoequilibrato, si può dire che è esternamente isostatico? Comunque io ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo (si chiedeva di scrivere il principio del lavoro virtuale).
in cui ho trascurato gli integrali con lo sforzo normale, tranne quello con anche la distorsione termica. Sulle dispense invece c'è quest'altra traccia della soluzione:
Sono entrambe valide o io ho sbagliato qualcosa? E poi un'altra cosa: alla discussione di cui al link, ho letto che si parla dei $2$ th. Kennedy (catene cinematiche), e quindi colgo l'occasione per chiederti... Ad esempio,
Abbiamo una sola trave, cioè $3$ gradi di libertà; un vincolo doppio (cerniera) ed uno semplice (carrello a scorrimento orizzontale), che si traducono in $3$ gradi di vincolo. Abbiamo dunque un candidato isostatico. Per verificarne l'effettiva isostaticità però bisogna verificare l'effettiva efficacia dei vincoli, cioè bisogna verificare che non esistano centri di rotazione. Per la cerniera, il centro di rotazione assoluta dovrebbe coincidere con il punto $A$; per il carrello, dovrebbe appartenere invece alla retta $r$ passante per il suo asse. Essendo queste condizioni incompatibili tra loro... è corretto dire che "non esiste il centro di rotazione assoluta"? O è meglio dire che "non è determinato univocamente"? Ancora. Ad esempio,
Abbiamo $2$ travi, cioè $6$ gradi di libertà; un vincolo semplice (carrello a scorrimento orizzontale), uno doppio (cerniera interna) ed uno triplo (incastro), che si traducono in $6$ gradi di vincolo. Abbiamo dunque un candidato isostatico. Per verificarne l'effettiva isostaticità però bisogna verificare l'effettiva efficacia dei vincoli, cioè bisogna verificare che non esistano centri di rotazione. Per il carrello, il centro di rotazione assoluta della $1°$ trave appartiene alla retta $r$ passante per il suo asse; per la cerniera, il centro di rotazione relativo coincide con il punto $A$; per l'incastro, il centro di rotazione assoluta della $2°$ trave non esiste. Dunque formalmente come dovrei scrivere per far capire che i vincoli sono ben posti? "I centri di rotazione non consentono atto di moto rigido"? O "non è verificato il $1°$ th. Kennedy"?
Grazie ancora.
in cui ho trascurato gli integrali con lo sforzo normale, tranne quello con anche la distorsione termica. Sulle dispense invece c'è quest'altra traccia della soluzione:
Sono entrambe valide o io ho sbagliato qualcosa? E poi un'altra cosa: alla discussione di cui al link, ho letto che si parla dei $2$ th. Kennedy (catene cinematiche), e quindi colgo l'occasione per chiederti... Ad esempio,
Abbiamo una sola trave, cioè $3$ gradi di libertà; un vincolo doppio (cerniera) ed uno semplice (carrello a scorrimento orizzontale), che si traducono in $3$ gradi di vincolo. Abbiamo dunque un candidato isostatico. Per verificarne l'effettiva isostaticità però bisogna verificare l'effettiva efficacia dei vincoli, cioè bisogna verificare che non esistano centri di rotazione. Per la cerniera, il centro di rotazione assoluta dovrebbe coincidere con il punto $A$; per il carrello, dovrebbe appartenere invece alla retta $r$ passante per il suo asse. Essendo queste condizioni incompatibili tra loro... è corretto dire che "non esiste il centro di rotazione assoluta"? O è meglio dire che "non è determinato univocamente"? Ancora. Ad esempio,
Abbiamo $2$ travi, cioè $6$ gradi di libertà; un vincolo semplice (carrello a scorrimento orizzontale), uno doppio (cerniera interna) ed uno triplo (incastro), che si traducono in $6$ gradi di vincolo. Abbiamo dunque un candidato isostatico. Per verificarne l'effettiva isostaticità però bisogna verificare l'effettiva efficacia dei vincoli, cioè bisogna verificare che non esistano centri di rotazione. Per il carrello, il centro di rotazione assoluta della $1°$ trave appartiene alla retta $r$ passante per il suo asse; per la cerniera, il centro di rotazione relativo coincide con il punto $A$; per l'incastro, il centro di rotazione assoluta della $2°$ trave non esiste. Dunque formalmente come dovrei scrivere per far capire che i vincoli sono ben posti? "I centri di rotazione non consentono atto di moto rigido"? O "non è verificato il $1°$ th. Kennedy"?
Grazie ancora.
"TeM":Trattandosi di un sistema a due corpi, il non verificarsi del primo teorema sulle catene cinematiche implica la non labilità e quindi, in questo caso, tale sistema di travi è certamente isostatico (per sistemi con più di due corpi allora per essere certi della labilità devono essere verificati entrambi i teoremi).[/quote]
[quote="Bubbino1993"]"I centri di rotazione non consentono atto di moto rigido"? O "non è verificato il $1°$ th. Kennedy"?
OK, quindi non verificandosi il $1°$ th. Kennedy è formalmente corretto dire che "i centri di rotazione non consentono atto di moto rigido"?
"TeM":
"Bubbino1993":
Ti ringrazio tantissimo per esserti ricordato delle nostre convenzioni! OK, ho semplificato il sistema proposto come te, con l'unica differenza di aver invertito il verso dei moltiplicatori di carico (arbitrario). Noi usiamo la seguente formulazione del principio del lavoro virtuale:
$1_ks_k+sum_jR_(jk)delta_j=int_s(N_k((N_0+sum_i^nX_iN_i)/A+epsilon_t)+M_k((M_0+sum_i^nX_iM_i)/B+chi_t))ds$
in cui:
- $1_k$ è l'azione di prova che agisce nel sistema di prova $k$ e che sostituisce uno dei vincoli in più;
- $s_k$ lo spostamento assegnato (nullo o meno) del punto su cui agisce $1_k$;
- $R_(jk)$ le reazioni vincolari del sistema di prova $k$ che agiscono sui punti in cui vi sono i cedimenti vincolari assegnati $d_j$;
- $N_k, M_k$ le espressioni di $N, M$ nel sistema di prova $k$, cioè quelle associate a $1_k$ ed a $s_k$;
- $n$ il grado d'iperstaticità;
- $X_i$ i moltiplicatori di carico.
In genere, trascuriamo i termini $int_sN_k((N_0+sum_i^nX_iN_i)/A)ds$, a meno che i termini $int_sM_k((M_0+sum_i^nX_iM_i)/B)ds$ non siano nulli. Te hai parlato di "infinita rigidezza assiale"; a noi, in realtà, ci è semplicemente stato detto che i primi sono sempre trascurabili rispetto ai secondi perché molto minori. Dunque in base al mio disegno (che poi è uguale al tuo, con la sola inversione dei versi dei moltiplicatori di carico) ho espresso il principio suddetto nel modo seguente:
$1*epsilon_tDeltaTl+0=int_sN_1epsilon_tds+int_s(X_1M_1^2)/Bds+int_s(X_2M_1M_2)/Bds$
$1*(-X_2/k)+0=int_sN_2epsilon_tds+int_s(X_1M_1M_2)/Bds+int_s(X_2M_2^2)/Bds$
Ti sembra corretta?
Grazie, il resto è tutto chiaro.
Alcune cose le ho capite. Ora però lasciamo perdere le formulazioni del principio del lavoro virtuale, o le equazioni di Muller-Breslau (che dir si voglia; tra l'altro, a noi quelle che ho scritto le hanno presentate proprio sotto questo nome). Proviamo a giocare un po' con l'esercizio. Abbiamo un sistema $2$ volte iperstatico internamente:
Per assialsimmetria, lo semplifichiamo così:
Indipendentemente dalle richieste dell'esercizio, ci chiediamo: qual è il valore dello spostamento orizzontale del punto $A$, in dipendenza del moltiplicatore di carico $X_1$, prendendo come positivo il verso concorde con $X_1$ stesso (verso sinistra)? La biella, per effetto del carico termico, si dilata, per cui sicuramente lo spostamento di $A$ sarà concorde con $X_1$, cioè avrà segno $+$. Inoltre, poiché stiamo studiando metà sistema, lo spostamento di $A$ sarà la metà della dilatazione della biella, il che si traduce con il fattore $1/2$. Resta da calcolare la dilatazione della biella; essa vale $(X_1/A+alphaDeltaT)b$, indicando con $A$ la rigidezza assiale e $b$ la lunghezza iniziale della biella. In definitiva, lo spostamento di $A$ è $+1/2(X_1/A+alphaDeltaT)b$. E' giusto come ragionamento? Se sì, ci chiediamo ancora: qual è il valore dello spostamento orizzontale del punto $B$, in dipendenza del moltiplicatore di carico $X_2$, prendendo come positivo il verso concorde con $X_2$ stesso (verso sinistra)? In generale, quando c'è una molla lo spostamento è $-X_2/K$. Poiché però stiamo studiando metà sistema, lo spostamento di $B$ sarà la metà (l'altra metà se la prenderà $B'$), il che si traduce con il fattore $1/2$. In definitiva, lo spostamento di $B$ è $-X_2/(2K)$. Quindi a me verrebbe da dire che la rigidezza della molla, considerando metà sistema, andrebbe raddoppiata, essendo inversamente proporzionale allo spostamento (che si dimezza).
Grazie.
Per assialsimmetria, lo semplifichiamo così:
Indipendentemente dalle richieste dell'esercizio, ci chiediamo: qual è il valore dello spostamento orizzontale del punto $A$, in dipendenza del moltiplicatore di carico $X_1$, prendendo come positivo il verso concorde con $X_1$ stesso (verso sinistra)? La biella, per effetto del carico termico, si dilata, per cui sicuramente lo spostamento di $A$ sarà concorde con $X_1$, cioè avrà segno $+$. Inoltre, poiché stiamo studiando metà sistema, lo spostamento di $A$ sarà la metà della dilatazione della biella, il che si traduce con il fattore $1/2$. Resta da calcolare la dilatazione della biella; essa vale $(X_1/A+alphaDeltaT)b$, indicando con $A$ la rigidezza assiale e $b$ la lunghezza iniziale della biella. In definitiva, lo spostamento di $A$ è $+1/2(X_1/A+alphaDeltaT)b$. E' giusto come ragionamento? Se sì, ci chiediamo ancora: qual è il valore dello spostamento orizzontale del punto $B$, in dipendenza del moltiplicatore di carico $X_2$, prendendo come positivo il verso concorde con $X_2$ stesso (verso sinistra)? In generale, quando c'è una molla lo spostamento è $-X_2/K$. Poiché però stiamo studiando metà sistema, lo spostamento di $B$ sarà la metà (l'altra metà se la prenderà $B'$), il che si traduce con il fattore $1/2$. In definitiva, lo spostamento di $B$ è $-X_2/(2K)$. Quindi a me verrebbe da dire che la rigidezza della molla, considerando metà sistema, andrebbe raddoppiata, essendo inversamente proporzionale allo spostamento (che si dimezza).
Grazie.
"TeM":
In ogni modo, in generale, non è corretto scrivere che considerando metà struttura allora la rigidezza va raddoppiata, dipende dalla posizione della molla/biella/piedritto. Infatti, se questi si trovassero verticalmente coincidenti con l'asse di simmetria, allora considerando il sistema ridotto occorre dimezzare la rigidezza (sia mai che a qualcuno arrivi questo dubbio).
Sì, io parlavo di questo caso particolare. Comunque OK, ora è chiaro, grazie.
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