[Scienza delle Costruzioni] Instabilità dell'equilibrio
Salve, vorrei un aiuto sulla risoluzione di questo esercizio sull'instabilità dell'equilibrio ad elasticità diffusa. Come potete notare dalla foto ho proceduto normalmente alla risoluzione ma al momento di risolvere l'equazione differenziale ho avuto un dubbio. Infatti, in tutti gli esercizi, ed in generale, mi ritrovo sempre con la formulazione $v^4(z)+v^2(z)=0$ (con il più per intenderci) la cui soluzione è $v(z)=Asen(alpha*z)+Bcos(alpha*z)+C*z+D$. In questo caso ho invece $v^4(z)-v^2(z)=0$, sbaglio qualcosa nel considerare le rotazioni intorno al concio di mohr,oppure la soluzione è la medesima? Vi ringrazio.
Risposte
[xdom="JoJo_90"]Da regolamento i conti vanno scritti nel messaggio. Ti invito ad aggiungerli, grazie.[/xdom]
Guardo a sinistra per $0
Momento instabilizzante: $-Nv(z)+Va*z$
Eguaglio i due momenti ed ho : $-EIV^2(z)$=$-Nv(z)+Va*z$
Derivo due volte ed ho : $EIV^4(z)-Nv^2(z)=0$ ,
Chiamando $alpha=N/(EI)$ ho $v^4(z)−alpha*v^2(z)=0$ qui ho il problema del segno descritto in precedenza.
Per maggiori delucidazioni , sia sul disegno che su eventuali passaggi guardare immagine soprastante. grazie
Momento instabilizzante: $-Nv(z)+Va*z$
Eguaglio i due momenti ed ho : $-EIV^2(z)$=$-Nv(z)+Va*z$
Derivo due volte ed ho : $EIV^4(z)-Nv^2(z)=0$ ,
Chiamando $alpha=N/(EI)$ ho $v^4(z)−alpha*v^2(z)=0$ qui ho il problema del segno descritto in precedenza.
Per maggiori delucidazioni , sia sul disegno che su eventuali passaggi guardare immagine soprastante. grazie
up 
Ciao
ancora non me ne intendo molto dell'argomento (purtroppo), ma a mio avviso il segno del 1 termine del momento instabilizzante è errato.
Per la deformata che hai disegnato la forza normale $N$ fa inflettere la trave con le fibre tese verso il basso, per cui crea un momento positivo secondo la convenzione della linea elastica con la quale hai definito il momento interno...o dico cavolate?
ancora non me ne intendo molto dell'argomento (purtroppo), ma a mio avviso il segno del 1 termine del momento instabilizzante è errato.
Per la deformata che hai disegnato la forza normale $N$ fa inflettere la trave con le fibre tese verso il basso, per cui crea un momento positivo secondo la convenzione della linea elastica con la quale hai definito il momento interno...o dico cavolate?
Di instabilita' non ne ho mai capito molto, comunque io ragionerei cosi':
Innanzitutto una domanda: le tue rotazioni sono definite positive se antiorarie, giusto?
Se si allora se tagli in un qualsiasi punto la tua trava nell'intorno di A e fai l'equilibrio dei momenti rispetto ad A (immaginando che, per la regola della mattonella, il momento della sezione a destra che stai buttando via sia antiorario), dato che la sezione si sposta verso il basso di una quantita' v ed N diretto verso sinistra (quindi N tende a far ruotare la sezione in senso orario) il momento rispetto al polo A e' negativo (-Nv), quindi facendo l'equilibrio dei momenti uguagliato a 0 hai
[tex]M-Nv=0 \rightarrow\ -EJv''-Nv\ =\ 0[/tex]
e poi derivando due volte ti torna
[tex]-EJv''''-Nv''=0[/tex]
che e' quanto cercato.
Dai tuoi conti vedo che il momento instabilizzante lo avevi calcolato nel modo giusto, ma non capisco perche' lo abbia messo al secondo membro dell'equazione (io ho sempre fatto che la somma di momento, taglio, sforzo normale dal lato in cui ho tagliato deve essere uguale a 0)....
Innanzitutto una domanda: le tue rotazioni sono definite positive se antiorarie, giusto?
Se si allora se tagli in un qualsiasi punto la tua trava nell'intorno di A e fai l'equilibrio dei momenti rispetto ad A (immaginando che, per la regola della mattonella, il momento della sezione a destra che stai buttando via sia antiorario), dato che la sezione si sposta verso il basso di una quantita' v ed N diretto verso sinistra (quindi N tende a far ruotare la sezione in senso orario) il momento rispetto al polo A e' negativo (-Nv), quindi facendo l'equilibrio dei momenti uguagliato a 0 hai
[tex]M-Nv=0 \rightarrow\ -EJv''-Nv\ =\ 0[/tex]
e poi derivando due volte ti torna
[tex]-EJv''''-Nv''=0[/tex]
che e' quanto cercato.
Dai tuoi conti vedo che il momento instabilizzante lo avevi calcolato nel modo giusto, ma non capisco perche' lo abbia messo al secondo membro dell'equazione (io ho sempre fatto che la somma di momento, taglio, sforzo normale dal lato in cui ho tagliato deve essere uguale a 0)....
Vi ringrazio, ho capito dove sbagliavo. Un ultima cosa, in teoria (forse) ho avuto una dimenticanza, in quanto nel nodo A ci dovrebbe essere un momento esplicato dal doppio pendolo. Questo momento in teoria non influenza il risultato in sè perché , essendo una reazione vincolare non dipendente dalla z e quando andiamo a fare le derivata viene eliso. Giusto?
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