[Scienza delle costruzioni - il solido isotropo]
ciao a tutti,
volevo chiedervi qualcosa a proposito delle costanti ingegneristiche E modulo di Young e v coefficiente di Poisson.
A partire dalle relazioni:
$E=mu(3lambda + 2mu)/(lambda+mu)$
$ni=lambda/(2(lambda + mu))$
come ricavo le costanti ingegneristiche? $mu=E/(2(1+nu))$ ; $lambda=(E*ni)/((1+nu)*(1-2nu))$
Perchè $nu$ deve essere compreso tra $0$ e $1/2$ ? e perchè $E>0$
Cioè come si spiegano le limitazioni per le costanti $E$ e $nu$
Grazie anticipate.
volevo chiedervi qualcosa a proposito delle costanti ingegneristiche E modulo di Young e v coefficiente di Poisson.
A partire dalle relazioni:
$E=mu(3lambda + 2mu)/(lambda+mu)$
$ni=lambda/(2(lambda + mu))$
come ricavo le costanti ingegneristiche? $mu=E/(2(1+nu))$ ; $lambda=(E*ni)/((1+nu)*(1-2nu))$
Perchè $nu$ deve essere compreso tra $0$ e $1/2$ ? e perchè $E>0$
Cioè come si spiegano le limitazioni per le costanti $E$ e $nu$
Grazie anticipate.
Risposte
Ciao, quelle sono le costanti di Lamè che intendono descrivere le principali "costanti elastiche" $E$ e $\nu$.
Derivano dallo studio del potenziale elastico che permette la correlazione tra sforzi e deformazioni.
Credo che spiegarti tutto sia troppo lungo, molti libri come il Capurso dedicano un intero capitolo alla determinazione delle costanti elastiche.
Lo spiego in poche parole, con una logica matematicam anche se forse ti verranno ancora più dubbi se non hai affrontato il discorso....
Ricavato il potenziale elastico (che deriva da ipotesi precedenti) come una funzione di 2 variabili ($\sigma$ ed $\epsilon$)
$\psi(\sigma,\epsilon)=\frac{1}{2E}(\sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2)-\frac{\nu}{E}(\sigma_x\sigma_y+\sigma_x\sigma_z+\sigma_y\sigma_z)+\frac{1}{2G}(\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2)$
Esso è per sua natura una funzione definita positiva... pertanto vuol dire che la sua matrice Hessiana deve essere definita positiva....pertanto se individuiamo l'Hessiana come:
$\H(\sigma,\epsilon)=[[\frac{1}{E},-\frac{\nu}{E},-\frac{\nu}{E}],[-\frac{\nu}{E},1/E, -\frac{\nu}{E}],[-\frac{\nu}{E},-\frac{\nu}{E},1/E]]$
affinchè sia definita positiva bisogna che i suoi minori principali siano tutti definiti positivi, ovvero:
1. $1/E>0$
2. $\frac{1}{E^2}(1-\nu^2)>0$
3. $\frac{1}{E^3}(1+\nu)(1-2\nu)>=$
Da cui ricavi proprio
$E>0$ e $-1<\nu<1/2$
Derivano dallo studio del potenziale elastico che permette la correlazione tra sforzi e deformazioni.
Credo che spiegarti tutto sia troppo lungo, molti libri come il Capurso dedicano un intero capitolo alla determinazione delle costanti elastiche.
Lo spiego in poche parole, con una logica matematicam anche se forse ti verranno ancora più dubbi se non hai affrontato il discorso....
Ricavato il potenziale elastico (che deriva da ipotesi precedenti) come una funzione di 2 variabili ($\sigma$ ed $\epsilon$)
$\psi(\sigma,\epsilon)=\frac{1}{2E}(\sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2)-\frac{\nu}{E}(\sigma_x\sigma_y+\sigma_x\sigma_z+\sigma_y\sigma_z)+\frac{1}{2G}(\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2)$
Esso è per sua natura una funzione definita positiva... pertanto vuol dire che la sua matrice Hessiana deve essere definita positiva....pertanto se individuiamo l'Hessiana come:
$\H(\sigma,\epsilon)=[[\frac{1}{E},-\frac{\nu}{E},-\frac{\nu}{E}],[-\frac{\nu}{E},1/E, -\frac{\nu}{E}],[-\frac{\nu}{E},-\frac{\nu}{E},1/E]]$
affinchè sia definita positiva bisogna che i suoi minori principali siano tutti definiti positivi, ovvero:
1. $1/E>0$
2. $\frac{1}{E^2}(1-\nu^2)>0$
3. $\frac{1}{E^3}(1+\nu)(1-2\nu)>=$
Da cui ricavi proprio
$E>0$ e $-1<\nu<1/2$
Quindi, le limitazioni sulle costanti $E$ e $nu$ derivanno delle ipotesi fatte sulla matice di elasticità $C$ e sulla sua inversa $A$ che sono definite positive. Da qui il determinante di $A$ e tutti i suoi minori principali, devono essere positivi e quindi ottengo le limitazioni...
Grazie Elwood.
Grazie Elwood.
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