[Scienza delle Costruzioni] Geometria delle aree - Assi principali di inerzia.
Salve a tutti.
Mi si chiede nell'esercizio di geometria delle masse di determinare tra le tante cose, data una certa sezione assegnata, gli assi principali di inerzia; in particolare data una sezione bisogna "compilare" diversi spazi, la traccia si presenta così :
Ora come li devo calcolare gli assi principali di inerzia ? Come li devo intendere quel $n_1$ e $n_2$ ?
Cosa ci devo scrivere ?
Vi ringrazio.
Buon pomeriggio.
Mi si chiede nell'esercizio di geometria delle masse di determinare tra le tante cose, data una certa sezione assegnata, gli assi principali di inerzia; in particolare data una sezione bisogna "compilare" diversi spazi, la traccia si presenta così :
Ora come li devo calcolare gli assi principali di inerzia ? Come li devo intendere quel $n_1$ e $n_2$ ?
Cosa ci devo scrivere ?
Vi ringrazio.
Buon pomeriggio.
Risposte
credo siano le componenti piane dei coseni direttori che individuano i 2 assi principali
Ciao ELWOOD, grazie.
Ma come andrebbero individuate ?
Grazie ancora
.
Ma come andrebbero individuate ?
Grazie ancora
.
Serve conoscere i raggi di inerzia ?
Se non sbaglio si tratta di rendere diagonale la matrice d'inerzia, traducendosi così in un problema agli autovalori.
Ma onestamente, se si tratta di figure geometriche semplici mi rifarei alle classiche formule di Mohr sulla variazione dei momenti d'inerzia in base ai sistemi di riferimento.
Ma onestamente, se si tratta di figure geometriche semplici mi rifarei alle classiche formule di Mohr sulla variazione dei momenti d'inerzia in base ai sistemi di riferimento.
Ti chiedo scusa se continuo a farti domande, come dovrei procedere supponendo di non avere sezioni elementari ma sezioni somma di rettangoli ?
Con il metodo legato alla ricerca degli autovettori come dovrei fare ?
Grazie infinite.
Con il metodo legato alla ricerca degli autovettori come dovrei fare ?
Grazie infinite.
Bè...se vuoi postare l'immagine possiamo provare a darci un'occhiata.
Ma...tanto per capire, in meccanica razionale non l'hai ancora vista la geometria delle masse?
Al di là di tutto...questo è un es. di razionale o scienza delle costruzioni?
In generale a lezione in che modo vengono risolti questi es?
Scusami per le domande, è solo per capire il metodo che usi.
Perchè io ad esempio in sdc ho sempre ricondotto i problemi di geometria delle masse (delle aree) a semplici formule, senza tirare in balla matrici ed autovalori
Ma...tanto per capire, in meccanica razionale non l'hai ancora vista la geometria delle masse?
Al di là di tutto...questo è un es. di razionale o scienza delle costruzioni?
In generale a lezione in che modo vengono risolti questi es?
Scusami per le domande, è solo per capire il metodo che usi.
Perchè io ad esempio in sdc ho sempre ricondotto i problemi di geometria delle masse (delle aree) a semplici formule, senza tirare in balla matrici ed autovalori
Ciao ELWOOD.
La sezione è :
[fcd][FIDOCAD]
PV 50 40 50 50 110 50 110 115 195 115 195 105 120 105 120 40 0
LI 110 135 195 135 0
LI 210 115 210 105 0
LI 210 105 210 40 0
LI 35 40 35 50 0
LI 50 25 120 25 0
LI 205 105 215 105 0
LI 205 115 215 115 0
LI 205 40 215 40 0
LI 120 130 120 140 0
LI 195 130 195 140 0
LI 30 50 40 50 0
LI 30 40 40 40 0
LI 50 20 50 30 0
LI 120 20 120 30 0
TY 20 45 4 3 0 0 0 * 10
TY 70 20 4 3 0 0 0 * 70
TY 220 105 4 3 0 0 0 * 10
TY 220 65 4 3 0 0 0 * 70
TY 150 140 4 3 0 0 0 * 70
LI 110 130 110 140 0
TY 110 140 4 3 0 0 0 * 10[/fcd]
Il baricentro G è :
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 35 85 35 0
LI 85 35 85 85 0
LI 85 85 90 85 0
LI 130 35 135 35 0
LI 135 35 135 85 0
LI 135 85 130 85 0
TY 100 40 4 3 0 0 0 * 68
TY 100 70 4 3 0 0 0 * 38,3
TY 55 55 4 3 0 0 0 * G =[/fcd]
Il tensore di inerzia è :
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 35 85 35 0
LI 85 35 85 85 0
LI 85 85 90 85 0
LI 160 35 165 35 0
LI 165 35 165 85 0
LI 165 85 160 85 0
TY 90 40 4 3 0 0 0 * 2304167
TY 55 55 4 3 0 0 0 * J_G =
TY 135 40 4 3 0 0 0 * -1703333
TY 90 75 4 3 0 0 0 * -1703333
TY 135 75 4 3 0 0 0 * 2024167[/fcd]
I raggi di inerzia sono $r_1=14,7$ e $r_2=42,9$ .
Ora mi chiede di calcolare gli assi principali di inerzia :
$n_1$ e $n_2$ ...
Come devo fare ?
A lezione non ho ben capito come si fa..
A meccanica razionale mai fatto la geometria delle aree..
Come devo fare ?
Grazie.
La sezione è :
[fcd][FIDOCAD]
PV 50 40 50 50 110 50 110 115 195 115 195 105 120 105 120 40 0
LI 110 135 195 135 0
LI 210 115 210 105 0
LI 210 105 210 40 0
LI 35 40 35 50 0
LI 50 25 120 25 0
LI 205 105 215 105 0
LI 205 115 215 115 0
LI 205 40 215 40 0
LI 120 130 120 140 0
LI 195 130 195 140 0
LI 30 50 40 50 0
LI 30 40 40 40 0
LI 50 20 50 30 0
LI 120 20 120 30 0
TY 20 45 4 3 0 0 0 * 10
TY 70 20 4 3 0 0 0 * 70
TY 220 105 4 3 0 0 0 * 10
TY 220 65 4 3 0 0 0 * 70
TY 150 140 4 3 0 0 0 * 70
LI 110 130 110 140 0
TY 110 140 4 3 0 0 0 * 10[/fcd]
Il baricentro G è :
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 35 85 35 0
LI 85 35 85 85 0
LI 85 85 90 85 0
LI 130 35 135 35 0
LI 135 35 135 85 0
LI 135 85 130 85 0
TY 100 40 4 3 0 0 0 * 68
TY 100 70 4 3 0 0 0 * 38,3
TY 55 55 4 3 0 0 0 * G =[/fcd]
Il tensore di inerzia è :
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 35 85 35 0
LI 85 35 85 85 0
LI 85 85 90 85 0
LI 160 35 165 35 0
LI 165 35 165 85 0
LI 165 85 160 85 0
TY 90 40 4 3 0 0 0 * 2304167
TY 55 55 4 3 0 0 0 * J_G =
TY 135 40 4 3 0 0 0 * -1703333
TY 90 75 4 3 0 0 0 * -1703333
TY 135 75 4 3 0 0 0 * 2024167[/fcd]
I raggi di inerzia sono $r_1=14,7$ e $r_2=42,9$ .
Ora mi chiede di calcolare gli assi principali di inerzia :
$n_1$ e $n_2$ ...
Come devo fare ?
A lezione non ho ben capito come si fa..
A meccanica razionale mai fatto la geometria delle aree..
Come devo fare ?
Grazie.
Ti cheido scusa se il baricentro ed il tensore di inerzia non li ho scritti con LaTeX ma non ci sono riuscito.
Ciao qwerty,
allora innanzitutto quelle coordinate di G che hai scritto, sono riferite a quale sistema?
allora innanzitutto quelle coordinate di G che hai scritto, sono riferite a quale sistema?
Ciao ELWOOD il sistema di riferimento è questo :
[fcd][FIDOCAD]
PV 55 45 55 55 115 55 115 120 200 120 200 110 125 110 125 45 0
LI 115 140 200 140 0
LI 215 120 215 110 0
LI 215 110 215 45 0
LI 40 45 40 55 0
LI 55 30 125 30 0
LI 210 110 220 110 0
LI 210 120 220 120 0
LI 210 45 220 45 0
LI 125 135 125 145 0
LI 200 135 200 145 0
LI 35 55 45 55 0
LI 35 45 45 45 0
LI 55 25 55 35 0
LI 125 25 125 35 0
TY 25 50 4 3 0 0 0 * 10
TY 75 25 4 3 0 0 0 * 70
TY 225 110 4 3 0 0 0 * 10
TY 225 70 4 3 0 0 0 * 70
TY 155 145 4 3 0 0 0 * 70
LI 115 135 115 145 0
TY 115 145 4 3 0 0 0 * 10
LI 55 105 55 120 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 60 100 4 3 0 0 0 * y
TY 60 115 4 3 0 0 0 *
LI 55 120 70 120 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 75 115 4 3 0 0 0 * x
TY 60 130 4 3 0 0 0 *[/fcd]
[fcd][FIDOCAD]
PV 55 45 55 55 115 55 115 120 200 120 200 110 125 110 125 45 0
LI 115 140 200 140 0
LI 215 120 215 110 0
LI 215 110 215 45 0
LI 40 45 40 55 0
LI 55 30 125 30 0
LI 210 110 220 110 0
LI 210 120 220 120 0
LI 210 45 220 45 0
LI 125 135 125 145 0
LI 200 135 200 145 0
LI 35 55 45 55 0
LI 35 45 45 45 0
LI 55 25 55 35 0
LI 125 25 125 35 0
TY 25 50 4 3 0 0 0 * 10
TY 75 25 4 3 0 0 0 * 70
TY 225 110 4 3 0 0 0 * 10
TY 225 70 4 3 0 0 0 * 70
TY 155 145 4 3 0 0 0 * 70
LI 115 135 115 145 0
TY 115 145 4 3 0 0 0 * 10
LI 55 105 55 120 0
FCJ 1 0 3 2 0 1
TY 60 100 4 3 0 0 0 * y
TY 60 115 4 3 0 0 0 *
LI 55 120 70 120 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 75 115 4 3 0 0 0 * x
TY 60 130 4 3 0 0 0 *[/fcd]
per gli assi principali di inerzia devi studiare il problema agli autovalori per un operatore lineare simmetrico
dal quale otterrai un sistema di due equazioni in due incognite che ti fornirà i due assi principali.
dal quale otterrai un sistema di due equazioni in due incognite che ti fornirà i due assi principali.
In pratica quindi prendo la matrice associata al tensore di inerzia che ho scritto prima, ne calcolo la traccia ed il determinante e così ottengo il polinomio caratteristico.
Che sarà nell'incognita $\lambda$ e di grado pari a 2.
La risolvo.
Ottengo due valori $\lambda_1$ e $\lambda_2$.
Questi sono due autovalori della matrice associata al tensore di inerzia $J_G$.
Ora come devo procedere per trovare $n_1$ e $n_2$ ?
Devo scegliere uno dei due autovalori a piacere, ad esempio $\lambda_1$ lo sottraggo sulla diagonale di $J_G$ ottenendo la matrice $M$.
Gli autovettori relativi a $\lambda_1$ formano la soluzione del sistema omogeneo :
$MX=0$
dove $X$ è il vettore colonna formato dalle componenti $x e y$, relative però a chi ? $n_1$ o $n_2$ ?
Come devo proseguire ora ?
Che sarà nell'incognita $\lambda$ e di grado pari a 2.
La risolvo.
Ottengo due valori $\lambda_1$ e $\lambda_2$.
Questi sono due autovalori della matrice associata al tensore di inerzia $J_G$.
Ora come devo procedere per trovare $n_1$ e $n_2$ ?
Devo scegliere uno dei due autovalori a piacere, ad esempio $\lambda_1$ lo sottraggo sulla diagonale di $J_G$ ottenendo la matrice $M$.
Gli autovettori relativi a $\lambda_1$ formano la soluzione del sistema omogeneo :
$MX=0$
dove $X$ è il vettore colonna formato dalle componenti $x e y$, relative però a chi ? $n_1$ o $n_2$ ?
Come devo proseguire ora ?
Ok trovati gli autovalori $\lambda_1$ e $\lambda_2$ si tratta di risolvere il problema agli autovettori...che coincideranno proprio con i versori della terna principale:
$( ( J_(x x) - \lambda_1, J_{xy} ),( J_{xy} , J_{yy} - \lambda_2 ) )*((n_1),(n_2)) =((0),(0))$
Se vuoi ti faccio vedere come lo risolverei io (è una procedura analoga ma forse più semplice e più comoda per risolvere questo tipo di esercizi).
Trovate le caratteristiche inerziali nel sistema $Oxy$ dobbiamo "traslare" e ruotare su $G$ il nuovo sistema che sarà quello centrale!
l'angolo che individuerà la direzione del nuovo sistema di riferimento è dato da:
$\alpha=1/2\arctan(-\frac{2J_{xy}}{J_x-Jy})$
(se vuoi ti spiego da dove derivano queste formule---> praticamente dall'analisi della rotazione di un sistema di riferimento)
Per cui se sono corretti i valori che hai trovato hai
$\alpha=1/2\arctan(-\frac{2*(-1703333)}{2304167-2024167})=40.33°$
Essendo $J_{x x}-J_{yy}>0$ questo angolo individua l'asse con momento d'inerzia massimo $\xi$
Ovvero:
per cui i coseni direttori saranno:
$[(n_{1\xi}),(n_{2\xi})]=[(\cos40.33),(\sin40.33)]=[(0.762),(0.647)]$
$[(n_{1\eta}),(n_2\eta)]=[(\cos(90+40.33)),(\sin(90+40.33))]=[(-0.647),(0.762)]$
$( ( J_(x x) - \lambda_1, J_{xy} ),( J_{xy} , J_{yy} - \lambda_2 ) )*((n_1),(n_2)) =((0),(0))$
Se vuoi ti faccio vedere come lo risolverei io (è una procedura analoga ma forse più semplice e più comoda per risolvere questo tipo di esercizi).
Trovate le caratteristiche inerziali nel sistema $Oxy$ dobbiamo "traslare" e ruotare su $G$ il nuovo sistema che sarà quello centrale!
l'angolo che individuerà la direzione del nuovo sistema di riferimento è dato da:
$\alpha=1/2\arctan(-\frac{2J_{xy}}{J_x-Jy})$
(se vuoi ti spiego da dove derivano queste formule---> praticamente dall'analisi della rotazione di un sistema di riferimento)
Per cui se sono corretti i valori che hai trovato hai
$\alpha=1/2\arctan(-\frac{2*(-1703333)}{2304167-2024167})=40.33°$
Essendo $J_{x x}-J_{yy}>0$ questo angolo individua l'asse con momento d'inerzia massimo $\xi$
Ovvero:
per cui i coseni direttori saranno:
$[(n_{1\xi}),(n_{2\xi})]=[(\cos40.33),(\sin40.33)]=[(0.762),(0.647)]$
$[(n_{1\eta}),(n_2\eta)]=[(\cos(90+40.33)),(\sin(90+40.33))]=[(-0.647),(0.762)]$
Salve ELWOOD. Grazie per avermi risposto.
Io, però, non devo trovare $n_1$ ed $n_2$ in termini di seno e coseno bensì come autovettori della matrice J_G associata al tensore di inerzia.
Come dovrei fare in tal caso ?
Grazie ancora.
Io, però, non devo trovare $n_1$ ed $n_2$ in termini di seno e coseno bensì come autovettori della matrice J_G associata al tensore di inerzia.
Come dovrei fare in tal caso ?
Grazie ancora.
[ot]@qwert90: non è difficile inserire le matrici con LateX. Basta che segui questo percorso:
Finestra di scrittura messaggio --> Aggiungi Formula (in basso, accanto all'opzione per aggiungere una immagine) --> MATRICI.
Ciao.[/ot]
Finestra di scrittura messaggio --> Aggiungi Formula (in basso, accanto all'opzione per aggiungere una immagine) --> MATRICI.
Ciao.[/ot]
"qwert90":
Salve ELWOOD. Grazie per avermi risposto.
Salve
A dir il vero quelle sono proprio le componenti cartesiane dei versori (o autovettori) della terna principale
Anzi a voler essere precise sono le componenti "centrali" ovvero misurate nel sistema di riferimento principale centrato nel baricentro $G$.
Credo siano delle caratteristiche sufficienti per descrivere un vettore, che ne dici?
Grazie ELWOOD per avermi risposto .
Se invece comunque volessi calcolare $n_1$ ed $n_2$ "in termini" di autovettori come dovrei procedere ?
P.s. : grazie Jojo per l'informazione su come si scrivono le matrici .
.Se invece comunque volessi calcolare $n_1$ ed $n_2$ "in termini" di autovettori come dovrei procedere ?
P.s. : grazie Jojo per l'informazione su come si scrivono le matrici
.
Risolvendo il problema degli autovalori. Trovati quelli dal polinomio caratteristico, li sostituisci nella matrice trovando i corrispondenti autovettori, ma onestamente visto che non si tratta di analisi matematica, fossi in te vedrei di semplificarmi la vita con delle formule un' pò più sbrigative tipo quelle che ti ho mostrato. o no?
Si si indubbiamente, ELWOOD.
Anche io facevo ed avrei fatto nel modo che tu hai esposto.
Il problema è che parlando con alcuni colleghi del corso, è "uscito fuori" che in realtà quegli n_1 ed n_2 vanno "intesi" come autovettori. E quindi dovrei calcolarli nel modo che tu hai citato nel tuo ultimo post.
Anche io facevo ed avrei fatto nel modo che tu hai esposto.
Il problema è che parlando con alcuni colleghi del corso, è "uscito fuori" che in realtà quegli n_1 ed n_2 vanno "intesi" come autovettori. E quindi dovrei calcolarli nel modo che tu hai citato nel tuo ultimo post.
Ok allora proviamo a farlo, così vediamo se tornano gli stessi risultati...
Ok allora il problema agli autovalori è questo:
$\bar{\bar{T}}\bar{u}=\lambda\bar{u}$
Con $\bar{\bar{T}}$ tensore d'inerzia
Per cui si tratta di risolvere l'equazione $det(\bar{\bar{T}}-\lambda\bar{\bar{I}})=0$
ovvero
$|(2304167-\lambda_1 , -1703333),(-1703333 , 2024167-\lambda_2)|=0$
Quanto ti vengono $\lambda_1$ e $\lambda_2$?
Ok allora il problema agli autovalori è questo:
$\bar{\bar{T}}\bar{u}=\lambda\bar{u}$
Con $\bar{\bar{T}}$ tensore d'inerzia
Per cui si tratta di risolvere l'equazione $det(\bar{\bar{T}}-\lambda\bar{\bar{I}})=0$
ovvero
$|(2304167-\lambda_1 , -1703333),(-1703333 , 2024167-\lambda_2)|=0$
Quanto ti vengono $\lambda_1$ e $\lambda_2$?
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