[Scienza delle Costruzioni] esercizi sul tensore lineare
Dato il seguente tensore lineare di tensione:
$\sigma_(ij)=((0,0,1),(0,2,0),(1,0,-1))$
Calcolare:
Le direzioni principali di tensione.
La massima tensione tagliante.
per la prima domanda ho ragionato in questo modo:
utilizzando la formula $det(T-\sigmaI)=0$ arrivo all'equazione secolare $-\sigma^3+\sigma^2+3\sigma-2=0$
le soluzioni di questa equazione mi escono: $\sigma_1=2$ $sigma_2=(-1+sqrt(5))/2$ $sigma_2=(-1-sqrt(5))/2$
da questi risultato son andato a sostituire i sigma all'interno della matrice $T-\sigmaI$ e ho trovato le tre direzioni principali.
vorrei saepre se è giusto il procedimento fino a qui e poi non riesco a capire come rispondere al secondo quesito
$\sigma_(ij)=((0,0,1),(0,2,0),(1,0,-1))$
Calcolare:
Le direzioni principali di tensione.
La massima tensione tagliante.
per la prima domanda ho ragionato in questo modo:
utilizzando la formula $det(T-\sigmaI)=0$ arrivo all'equazione secolare $-\sigma^3+\sigma^2+3\sigma-2=0$
le soluzioni di questa equazione mi escono: $\sigma_1=2$ $sigma_2=(-1+sqrt(5))/2$ $sigma_2=(-1-sqrt(5))/2$
da questi risultato son andato a sostituire i sigma all'interno della matrice $T-\sigmaI$ e ho trovato le tre direzioni principali.
vorrei saepre se è giusto il procedimento fino a qui e poi non riesco a capire come rispondere al secondo quesito
Risposte
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si scusami..
infatti ho trovato un problema nel calcolo degli autovettori:
per $\sigma_2=(-1+sqrt(5))/2$ e $\sigma_3=(-1-sqrt(5))/2$ gli autovettori che escono normalizzati sono $n_2=(1/(sqrt((10+2sqrt(5))/4)))(((-1+sqrt(5))/2),(0),(1))$
$n_3=(1/(sqrt((10-2sqrt(5))/4)))((1),(0),((-1-sqrt(5))/2))$
mentre per $\sigma_1=2$ quando scrivo le equazioni mi trovo cosi:
$\{(-2\alpha_1 + \alpha_3 = 0),(0\alpha_2 = 0),(\alpha_1 - 3\alpha_3 = 0):}$ e non capisco come trovarmi i valori
per quanto riguarda la massima tensione dovrei quindi utilizzare la formula $\tau_(max)=(\sigma_1-\sigma_3)/2$ con i valori trovati di $\sigma_1$ e $\sigma_3$ calcolati in precedenza??
infatti ho trovato un problema nel calcolo degli autovettori:
per $\sigma_2=(-1+sqrt(5))/2$ e $\sigma_3=(-1-sqrt(5))/2$ gli autovettori che escono normalizzati sono $n_2=(1/(sqrt((10+2sqrt(5))/4)))(((-1+sqrt(5))/2),(0),(1))$
$n_3=(1/(sqrt((10-2sqrt(5))/4)))((1),(0),((-1-sqrt(5))/2))$
mentre per $\sigma_1=2$ quando scrivo le equazioni mi trovo cosi:
$\{(-2\alpha_1 + \alpha_3 = 0),(0\alpha_2 = 0),(\alpha_1 - 3\alpha_3 = 0):}$ e non capisco come trovarmi i valori
per quanto riguarda la massima tensione dovrei quindi utilizzare la formula $\tau_(max)=(\sigma_1-\sigma_3)/2$ con i valori trovati di $\sigma_1$ e $\sigma_3$ calcolati in precedenza??
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mi è tutto chiaro solo non capisco come sei arrivato a $n_1,n_2,n_3$ in quanto non mi trovo con i calcoli
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sisi ho capito però scusami io la sostituzione la devo fare nella matrice $\sigma=((0-\sigma,0,1),(0,2-\sigma,0),(1,0,-1-\sigma))$
che nel primo caso diventa $\sigma=((-2,0,1),(0,0,0),(1,0,-3))$
e quindi ho le equazioni
$\{(-2x + z = 0),(0y = 0),(x - 3z = 0):}$
forse sbaglio io nel procedimento per questo non mi trovo???
in quanto vedo che hai utilizzato un altro modo per arrivare al sistema, quindi penso che è sbagliato il procedimento che utilizzo
che nel primo caso diventa $\sigma=((-2,0,1),(0,0,0),(1,0,-3))$
e quindi ho le equazioni
$\{(-2x + z = 0),(0y = 0),(x - 3z = 0):}$
forse sbaglio io nel procedimento per questo non mi trovo???
in quanto vedo che hai utilizzato un altro modo per arrivare al sistema, quindi penso che è sbagliato il procedimento che utilizzo
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Okok va benissimo, seguirò il tuo consiglio, grazie mille
Solo l'ultima cosa quindi il mio problema sta nel fatto che non capisco perché arrivi a quelle soluzioni, se puoi e hai tempo potresti farmi capire come arrivare a quella soluzione soprattutto nel caso preso in esame sopra, te ne sarei davvero gratoo
Capisco perché prendi $y=u$ ma non capisco perché poi arrivi a dire $x=0$ e $z=0$
Solo l'ultima cosa quindi il mio problema sta nel fatto che non capisco perché arrivi a quelle soluzioni, se puoi e hai tempo potresti farmi capire come arrivare a quella soluzione soprattutto nel caso preso in esame sopra, te ne sarei davvero gratoo
Capisco perché prendi $y=u$ ma non capisco perché poi arrivi a dire $x=0$ e $z=0$
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scusami tanto ahah
ora mi trovo, mi bloccavo come uno s*****o!!!
Comunque prendo $y=u$ perchè il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 2 e quindi la soluzione dipende da un parametro arbitrario, giusto??
ora mi trovo, mi bloccavo come uno s*****o!!!
Comunque prendo $y=u$ perchè il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 2 e quindi la soluzione dipende da un parametro arbitrario, giusto??
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okok perfetto mi trovo grazie mille ancoraa 
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