Scienza delle costruzioni- direzioni principali
ciao! sto studiando il modello continuo tridimensionale (modello di cauchy) e volevo chiedervi alcuni chiarimenti.
Nella definizione della parte deformativa del modello di cauchy non riesco a comprendere le "Deformazioni principali" e la "direzione principale". Mi spiego meglio:
una volta che ho definito la deformazione di un generico punto $\epsilon_n$ = E dx il mio libro di s.d.c. mi porta alla definizione di deformazione principale e alla ricerca della direzione principale. In particolare, se non ho capito male, la "direzione principale di deformazione" è una terna di riferimento cartesiana (x,y,z) che se usata come origine di riferimento per il calcolo della deformazione dell'intorno infinitesimo un punto Q da come risultato la "deformazione principale".
La deformazione principale, se non ho capito male, è la deformazione $\epsilon_n$ in cui la "parte" di scorrimento angolare è zero.
mi confermate tutto quello detto fino a qui? oppure ho interpretato male?
chiedo questo perchè, da come ho capito, la deformazione è funzione del punto e del sistema di riferimento, cioè se cambio punto su cui calcolare la deformazione ovviamente cambierà anche il risultato della deformazione (questo perchè punti diversi hanno deformazioni diverse e anche perchè nella formula della deformazione $\epsilon_n$ = E dx cambierà sicuramente la dx). analogamente se cambio il sistema di riferimento.
detto questo, calcolare la deformazione principale o la direzione principale a cosa mi serve? che vantaggi mi porterà nella mia analisi dell'intero corpo continuo tridimensionale?
(analogamente poi nello studio della statica le direzioni principali della tensione.)
grazie
Nella definizione della parte deformativa del modello di cauchy non riesco a comprendere le "Deformazioni principali" e la "direzione principale". Mi spiego meglio:
una volta che ho definito la deformazione di un generico punto $\epsilon_n$ = E dx il mio libro di s.d.c. mi porta alla definizione di deformazione principale e alla ricerca della direzione principale. In particolare, se non ho capito male, la "direzione principale di deformazione" è una terna di riferimento cartesiana (x,y,z) che se usata come origine di riferimento per il calcolo della deformazione dell'intorno infinitesimo un punto Q da come risultato la "deformazione principale".
La deformazione principale, se non ho capito male, è la deformazione $\epsilon_n$ in cui la "parte" di scorrimento angolare è zero.
mi confermate tutto quello detto fino a qui? oppure ho interpretato male?
chiedo questo perchè, da come ho capito, la deformazione è funzione del punto e del sistema di riferimento, cioè se cambio punto su cui calcolare la deformazione ovviamente cambierà anche il risultato della deformazione (questo perchè punti diversi hanno deformazioni diverse e anche perchè nella formula della deformazione $\epsilon_n$ = E dx cambierà sicuramente la dx). analogamente se cambio il sistema di riferimento.
detto questo, calcolare la deformazione principale o la direzione principale a cosa mi serve? che vantaggi mi porterà nella mia analisi dell'intero corpo continuo tridimensionale?
(analogamente poi nello studio della statica le direzioni principali della tensione.)
grazie
Risposte
Si, hai compreso bene, anche se la descrizione che hai fatto meriterebbe qualche precisazione, e forse il modo in cui l'hai esposta non è proprio chiarissimo. MA non preoccuparti, le cose devono essere chiare a te, e vedrai che man mano che le studi ti si chiariranno molti concetti che ora sembrano un po' nebulosi. Il vantaggio è che hai a che fare con tre sole componenti della deformazione, cioè le $\epsilon_(\alpha)$, perché come hai detto le altre tre componenti $\gamma_(\alpha\beta)$ ( sarebbero 6, ma come sai gli scorrimenti sono simmetrici) sono nulle. La matrice insomma è diagonale.
Analogamente succede per lo stato tensionale.
Analogamente succede per lo stato tensionale.
"carlo.33":
detto questo, calcolare la deformazione principale o la direzione principale a cosa mi serve? che vantaggi mi porterà nella mia analisi dell'intero corpo continuo tridimensionale?
Chiedersi quali siano le direzioni principali di tensione (e conseguentemente di deformazione) significa chiedersi quali sono le direzioni in cui la forza di tensione ha componente vettoriale unicamente lungo quella direzione, in poche parole lungo quella direzione lo stato tensionale è massimo (e conseguentemente la deformazione).
Per cui sapendo quale sia lo stato tensionale generico di un corpo, attraverso l'individuazione delle direzioni principali, si è in grado di capire quale sia la direzione in cui lo sforzo viene massimizzato.
Un esempio pratico potrebbe essere quello di una facciata di un edificio, soggetta ad un terremoto. Il terremoto agisce in basso unicamente con uno stato tensionale definito da un unica componente tangenziale.
Attraverso la costruzione dei cerchi di Mohr si è in grado di ricostruire lo stato tensionale di cui è soggetta l'intera facciata e si scoprirà che le direzioni principali non sono verticali ma bensì ruotate di 45° per cui la tensione massima agisce lungo la direzione individuata da questo angolo.
Infatti scoprirai che l'effetto del terremoto è quello di produrre delle fessurazioni e crepe principalmente lungo queste direzioni.
Di rimando, sempre nel caso di un terremoto, se un ingegnere vuole capire la stabilità dell'edificio, dovrà effettuare delle misure sulla deformazioni che il terremoto ha prodotto per poter dire se quell'edificio è agibile o meno.
Quindi le misurazioni sulle deformazioni saranno attendibili solamente se si è a conoscenza di quali sono le direzioni principali.
innanzitutto grazie mille ad entrambi!! 
le vostre spiegazioni sono entrambe chiare, ma c'è una cosa che mi sfugge nella frase di ELWOOD.
Perchè puoi dire che "lungo quella direzione lo stato di tensione è massimo"? se io calcolo le direzioni principali di tensione ho di conseguenza le tensioni principali. Posso inoltre affermare che queste tensioni principali sono dirette lungo le direzioni principali (x,y,z). Inoltre posso dire che le tensioni tangenziali sono nulle.
Ma perchè lo stato tensionale è massimo?
Se io guardo lo stato tensionale vedo che è composto dalle sole componenti normali, infatti quelle tangenziali sono zero. Da studente la prima cosa che mi verrebbe da dire è: le tensioni tangenziali le ho imposte uguali a zero, in qualche modo è come se io sto riducendo lo stato tensionale totale. Cosa sbaglio in questo ragionamento?
La s.d.c. mi incuriosisce molto. Approfitto quindi della vostra gentilezza.
le vostre spiegazioni sono entrambe chiare, ma c'è una cosa che mi sfugge nella frase di ELWOOD.
"ELWOOD":
Chiedersi quali siano le direzioni principali di tensione (e conseguentemente di deformazione) significa chiedersi quali sono le direzioni in cui la forza di tensione ha componente vettoriale unicamente lungo quella direzione, in poche parole lungo quella direzione lo stato tensionale è massimo (e conseguentemente la deformazione).
Perchè puoi dire che "lungo quella direzione lo stato di tensione è massimo"? se io calcolo le direzioni principali di tensione ho di conseguenza le tensioni principali. Posso inoltre affermare che queste tensioni principali sono dirette lungo le direzioni principali (x,y,z). Inoltre posso dire che le tensioni tangenziali sono nulle.
Ma perchè lo stato tensionale è massimo?
Se io guardo lo stato tensionale vedo che è composto dalle sole componenti normali, infatti quelle tangenziali sono zero. Da studente la prima cosa che mi verrebbe da dire è: le tensioni tangenziali le ho imposte uguali a zero, in qualche modo è come se io sto riducendo lo stato tensionale totale. Cosa sbaglio in questo ragionamento?
La s.d.c. mi incuriosisce molto. Approfitto quindi della vostra gentilezza.
"carlo.33":
Ma perchè lo stato tensionale è massimo?
Sperando di essere più chiaro di prima:
Innanzitutto, lo stato tensionale, che dipende unicamente dal punto in cui viene calcolato e dall'orientazione della superficie di taglio, è rappresentato da un vettore $\bar{T}$.
Allora supponi di avere un vettore qualsiasi $\bar{T}$ orientato secondo un angolo $\theta$ in un piano cartesiano:
Allora le sue componenti nel sistema di riferimento $Oxy$ valgono:
$T_x=|T|*\cos\theta$
$T_y=|T|*\sin\theta$
In ogni caso, qualunque sia l'angolo $\theta$ le componenti cartesiane di $\bar{T}$ sono comunque di modulo inferiore al vettore tensione:
$|T*\cos\theta|<|T| \ \ \forall\theta$ tranne che $\theta=0$
$|T*\sin\theta|<|T| \ \ \forall\theta$ tranne che $\theta=\frac{\pi}{2}$
Con $\theta=0$ però $|T_x|=|T|$ in questo caso è come se$\bar{T}$ avesse un'unica componente diretta lungo l'asse $x$ e tutte le altre componenti sono nulle! Ciò equivale a dire che la retta $x$ è direzione principale per lo stato tensionale $\bar{T}$
Le componenti del tensore $\sigma$ di Cauchy infatti non sono altro che le componenti cartesiane del vettore tensione $\bar{T}$. Per cui determinarne le direzioni principali significa proprio individuare le direzioni in cui giace il vettore tensione $\bar{T}$.
Proprio per quello ho detto che la direzione principale è quella che massimizza il vettore tensione! proprio lungo quella direzione $\bar{T}$ ha componente massima.
Per maggior chiarezza:
sisi, quello che dici tu l'avevo capito ed è giustissimo.
forse quello che mi trae in inganno è la terminologia!!
parlare di "massimizzazione" del vettore tensione (o definire la tensione come "massima") mi fa immaginare che si stia trovando un vettore tensione T maggiore ad esempio nel modulo. Ma questo non credo sia giusto o mi sbaglio?
io so che il tensore della deformazione $\sigma$ è formato da 3 componenti: un vettore T$x_$ calcolato lungo l'asse x, un vettore T$y_$ calcolato lungo l'asse y e un vettote T$z_5$ calcolato lungo l'asse z.
A sua volta T$x_$ è un vettore che ha come componenti una tensione normale e due tangenziali. Analogo per T$y_$ e T$z_$.
Come ben hai scritto, la direzione principale mi permette di semplificare il problema, infatti adesso ho il tensore $\sigma$ con le sole componenti sulla diagonale. Adesso è molto più agevole perchè è come se avessi un solo vettore con le sue soli 3 componenti (in realtà sappiamo che non è così, ma come semplificazione ci può stare
)
quindi le parole che tu usi: masimizzazione del vettore tensione e componente massima sono in realtà sbagliate? lungo la direzione principale la tensione T ha una unica componente, ma questa componente non è definibile massima nel senso proprio di modulo di lunghezza. o mi sbaglio?
mi si è un po' incartata la mente!!
non so se ho spiegato bene ciò che intendo
forse quello che mi trae in inganno è la terminologia!!
parlare di "massimizzazione" del vettore tensione (o definire la tensione come "massima") mi fa immaginare che si stia trovando un vettore tensione T maggiore ad esempio nel modulo. Ma questo non credo sia giusto o mi sbaglio?
io so che il tensore della deformazione $\sigma$ è formato da 3 componenti: un vettore T$x_$ calcolato lungo l'asse x, un vettore T$y_$ calcolato lungo l'asse y e un vettote T$z_5$ calcolato lungo l'asse z.
A sua volta T$x_$ è un vettore che ha come componenti una tensione normale e due tangenziali. Analogo per T$y_$ e T$z_$.
"ELWOOD":
Le componenti del tensore $\sigma$ di Cauchy infatti non sono altro che le componenti cartesiane del vettore tensione $\bar{T}$. Per cui determinarne le direzioni principali significa proprio individuare le direzioni in cui giace il vettore tensione $\bar{T}$.
Proprio per quello ho detto che la direzione principale è quella che massimizza il vettore tensione! proprio lungo quella direzione $\bar{T}$ ha componente massima.
Come ben hai scritto, la direzione principale mi permette di semplificare il problema, infatti adesso ho il tensore $\sigma$ con le sole componenti sulla diagonale. Adesso è molto più agevole perchè è come se avessi un solo vettore con le sue soli 3 componenti (in realtà sappiamo che non è così, ma come semplificazione ci può stare
)quindi le parole che tu usi: masimizzazione del vettore tensione e componente massima sono in realtà sbagliate? lungo la direzione principale la tensione T ha una unica componente, ma questa componente non è definibile massima nel senso proprio di modulo di lunghezza. o mi sbaglio?
mi si è un po' incartata la mente!!
non so se ho spiegato bene ciò che intendo
La terminologia non è corretta, ma ne è una diretta conseguenza.
Determinare le tensioni principali equivale a determinare l'unica componente di tensione lungo quella direzione, quindi sicuramente è massima rispetto alle componenti che si avrebbero in un sistema di riferimento NON principale.
Se guardi la dimostrazione del teorema di Cauchy te ne rendi conto riferendoti al tetraedro infinitesimo.
Determinare le tensioni principali equivale a determinare l'unica componente di tensione lungo quella direzione, quindi sicuramente è massima rispetto alle componenti che si avrebbero in un sistema di riferimento NON principale.
Se guardi la dimostrazione del teorema di Cauchy te ne rendi conto riferendoti al tetraedro infinitesimo.
Uno stato tensionale è descritto da una matrice, espressa rispetto ad un sistema di riferimento, di cui, per effetto delle condizioni di equilibrio statico, solo 6 elementi sono indipendenti: 3 sulla diagonale, tensioni normali, e 3 tensioni tangenziali, con matrice simmentrica.
Il vettore delle tensioni, agente su una superficie "infinitesima", è dato dall'applicazione della matrice al versore perpendicolare alla superficie. Il verso del versore indica da quale parte la superficie riceve le forze, espresse come tensioni.
Trovare le direzioni principali dello stato tensionale significa trovare autovalori e autovettori della matrice delle tensioni. Gli autovalori sono le tensioni principali e gli autovettori corrispondenti individuano gli assi principali.
La massimizzazione del vettore, o del suo modulo, se così vogliamo definirla, di cui ha scritto Elwood, non è valida. Per visualizzare questo è sufficiente immaginare il diagramma di Mohr, derivante dall'applicazione delle stesse equazioni di equilibrio, uno stato tensionale caratterizzato da due tensioni principali uguali e una diversa, per semplificare.
Se le tensioni sono tutte positive, si nota come per la tensione minore la tensione normale principale sia un minimo relativo, ma anche assoluto, del modulo del vettore delle tensioni agente sulla corrispondente superficie, in funzione della rotazione di questa.
Il vettore delle tensioni, agente su una superficie "infinitesima", è dato dall'applicazione della matrice al versore perpendicolare alla superficie. Il verso del versore indica da quale parte la superficie riceve le forze, espresse come tensioni.
Trovare le direzioni principali dello stato tensionale significa trovare autovalori e autovettori della matrice delle tensioni. Gli autovalori sono le tensioni principali e gli autovettori corrispondenti individuano gli assi principali.
La massimizzazione del vettore, o del suo modulo, se così vogliamo definirla, di cui ha scritto Elwood, non è valida. Per visualizzare questo è sufficiente immaginare il diagramma di Mohr, derivante dall'applicazione delle stesse equazioni di equilibrio, uno stato tensionale caratterizzato da due tensioni principali uguali e una diversa, per semplificare.
Se le tensioni sono tutte positive, si nota come per la tensione minore la tensione normale principale sia un minimo relativo, ma anche assoluto, del modulo del vettore delle tensioni agente sulla corrispondente superficie, in funzione della rotazione di questa.
Grazie sonoqui della precisazione, ma forse mi sono spiegato male, quello che intendevo io con tensione "massima" mi riferivo semplicemente alla tensione massima lungo quella direzione.
Supponiamo ad esempio di avere una superficie normale all'asse x di area $A_x$ e sia $\bar{T}_{nx}$ la tensione agente su di essa, allora, supponendo il sistema di riferimento cartesiano, il vettore $\bar{T}_{nx}$ avrà componenti $\sigma_x$,$\tau_{xy}$ e $\tau_{xz}$.
Supponendo di voler individuare la direzione principale di tensione, è logico pensare che essa coinciderà con la direzione del vettore stesso, e la conseguente tensione principale varrà proprio $\sigma_{n}=\frac{|T_{nx}|}{A_x}$.
Ma è chiaro che la tensione trovata non massimizza l'intero stato tensionale, massimizza però la componente tensionale riferita alla superficie di riferimento (in questo caso l'asse $x$)
Supponiamo ad esempio di avere una superficie normale all'asse x di area $A_x$ e sia $\bar{T}_{nx}$ la tensione agente su di essa, allora, supponendo il sistema di riferimento cartesiano, il vettore $\bar{T}_{nx}$ avrà componenti $\sigma_x$,$\tau_{xy}$ e $\tau_{xz}$.
Supponendo di voler individuare la direzione principale di tensione, è logico pensare che essa coinciderà con la direzione del vettore stesso, e la conseguente tensione principale varrà proprio $\sigma_{n}=\frac{|T_{nx}|}{A_x}$.
Ma è chiaro che la tensione trovata non massimizza l'intero stato tensionale, massimizza però la componente tensionale riferita alla superficie di riferimento (in questo caso l'asse $x$)
mi rendo conto di aver utilizzato un linguaggio diverso dai libri, che deriva dal frutto delle mie intuizioni e dallo studio, per questo potrebbero essere molto contorte se non addirittura inesatte. Per questo ringrazio anticipatamente sonoqui_ e coloro i quali forniranno critiche e deduzioni più convincenti e sicuramente migliori delle mie.
Credo che tu stia facendo confusione tra trasformazione di rotazione di un vettore con trasformazione di un vettore associata alla matrice delle tensioni, o che tu stia confondendo il vettore delle forze con il vettore delle tensioni.
Per maggiore chiarezza si può visualizzare in questa immagine
Il vettore delle tensioni relativo alla faccia non ruotata con tensione principali minima, che è quello rappresentato, per il caso di soli due valori positivi di tensione principale, cerchi di Mhor coincidenti in un solo cerchio, si vede che ha un minimo relativo, per rotazioni del volumetto su cui vengono valutate le tensioni attorno alla configurazione di orientamento secondo le tensioni principali. Se ruota secondo l'asse della tensione principale associata ad una sola direzione principale, il vettore rimane invariato nel tratto OM, mentre se ha una qualsiasi altra rotazione, il vettore scorre lungo la circonferenza, allungandosi, tratto OP. è maggiore sia il modulo del vettore che il modulo della componente $sigma$.
Per la tensione principale maggiore invece si ha uun massimo, sia assoluto che relativo.
Per maggiore chiarezza si può visualizzare in questa immagine
Il vettore delle tensioni relativo alla faccia non ruotata con tensione principali minima, che è quello rappresentato, per il caso di soli due valori positivi di tensione principale, cerchi di Mhor coincidenti in un solo cerchio, si vede che ha un minimo relativo, per rotazioni del volumetto su cui vengono valutate le tensioni attorno alla configurazione di orientamento secondo le tensioni principali. Se ruota secondo l'asse della tensione principale associata ad una sola direzione principale, il vettore rimane invariato nel tratto OM, mentre se ha una qualsiasi altra rotazione, il vettore scorre lungo la circonferenza, allungandosi, tratto OP. è maggiore sia il modulo del vettore che il modulo della componente $sigma$.
Per la tensione principale maggiore invece si ha uun massimo, sia assoluto che relativo.
"sonoqui_":
Per la tensione principale maggiore invece si ha uun massimo, sia assoluto che relativo.
E' questo ciò che intendevo!
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