[Scienza delle Costruzioni] diagramma delle caratteristiche di sollecitazione
Salve! Nello studio della scienza delle costruzioni, ho riscontrato la seguente problematica.
All’inizio del corso mi è stata definita una struttura e detto che studieremo il loro stato di sollecitazione interno (In particolare quello di travi piane) tramite le cosiddette caratteristiche di sollecitazione (che sono taglio, sforzo normale, momento flettente per travi piane). Quindi noto un carico esterno applicato siamo in grado di tracciare il “Diagramma delle caratteristiche di sollecitazione”.
Dopodiché per completezza abbiamo detto che queste caratteristiche “globali” non vanno bene in generale per descrivere lo stato tensionale interno di un solido qualunque e abbiamo introdotto la meccanica del continuo: abbiamo ricavato il tensore delle tensioni e nel frattempo detto che i corpi si possono deformare, introducendo anche il tensore delle deformazioni infinitesime.
Dopodiché abbiamo parlato del problema di de saint venant. Quello che non ho capito io è perché si introduce questo ultimo. Cioè cosa andiamo a fare con questo? Perché in pratica a partire dalle caratteristiche di sollecitazione (che però adesso sono diventate azioni esterne applicate alla trave e non più stati interni..e già questo: perché?) si determinano le caratteristiche di deformazione associate alle caratteristiche di sollecitazione (in cui adesso includiamo anche la torsione...).
Che legame c’è tra questo e il diagramma delle caratteristiche di sollecitazione visto all’inizio ? Direi nessuno perché comunque si sono svolti esercizi sui diagrammi tranquillamente senza sapere del problema di de saint venant... eppure a giudicare dal fatto che si riparla di quelle caratteristiche di sollecitazione mi paiono collegati....
All’inizio del corso mi è stata definita una struttura e detto che studieremo il loro stato di sollecitazione interno (In particolare quello di travi piane) tramite le cosiddette caratteristiche di sollecitazione (che sono taglio, sforzo normale, momento flettente per travi piane). Quindi noto un carico esterno applicato siamo in grado di tracciare il “Diagramma delle caratteristiche di sollecitazione”.
Dopodiché per completezza abbiamo detto che queste caratteristiche “globali” non vanno bene in generale per descrivere lo stato tensionale interno di un solido qualunque e abbiamo introdotto la meccanica del continuo: abbiamo ricavato il tensore delle tensioni e nel frattempo detto che i corpi si possono deformare, introducendo anche il tensore delle deformazioni infinitesime.
Dopodiché abbiamo parlato del problema di de saint venant. Quello che non ho capito io è perché si introduce questo ultimo. Cioè cosa andiamo a fare con questo? Perché in pratica a partire dalle caratteristiche di sollecitazione (che però adesso sono diventate azioni esterne applicate alla trave e non più stati interni..e già questo: perché?) si determinano le caratteristiche di deformazione associate alle caratteristiche di sollecitazione (in cui adesso includiamo anche la torsione...).
Che legame c’è tra questo e il diagramma delle caratteristiche di sollecitazione visto all’inizio ? Direi nessuno perché comunque si sono svolti esercizi sui diagrammi tranquillamente senza sapere del problema di de saint venant... eppure a giudicare dal fatto che si riparla di quelle caratteristiche di sollecitazione mi paiono collegati....
Risposte
Se consideri un corpo $\mathcal{C}\subset RR^3$ di materiale elastico, con un contorno $\partial \mathcal{C}\subset RR^2$, l'equazione di equilibrio è:
\[ \nabla \cdot \mathbf{T}+\mathbf{b}=\mathbf{0} \qquad \text{in } \mathcal{C} \]
con la seguente condizione al contorno
\[ \mathbf{Tn}=\mathbf{t} \qquad \text{in } \partial\mathcal{C} \]
Ora, trovare una soluzione generale in grado di rispettare le condizioni al contorno più svariate è difficile, quindi Saint Venant ha proposto di studiare l'equilibrio di una trave adottando un modello semplificato, in particolare considerando una trave snella di forma cilindrica, libera da vincoli e caricata sulle sole basi.
\[ \nabla \cdot \mathbf{T}+\mathbf{b}=\mathbf{0} \qquad \text{in } \mathcal{C} \]
con la seguente condizione al contorno
\[ \mathbf{Tn}=\mathbf{t} \qquad \text{in } \partial\mathcal{C} \]
Ora, trovare una soluzione generale in grado di rispettare le condizioni al contorno più svariate è difficile, quindi Saint Venant ha proposto di studiare l'equilibrio di una trave adottando un modello semplificato, in particolare considerando una trave snella di forma cilindrica, libera da vincoli e caricata sulle sole basi.
All’inizio del corso mi è stata definita una struttura e detto che studieremo il loro stato di sollecitazione interno (In particolare quello di travi piane) tramite le cosiddette caratteristiche di sollecitazione (che sono taglio, sforzo normale, momento flettente per travi piane). Quindi noto un carico esterno applicato siamo in grado di tracciare il “Diagramma delle caratteristiche di sollecitazione”.
Le caratteristiche di sollecitazione altro non sono che le forze e i momenti che agiscono su una data sezione della trave
Dopodiché per completezza abbiamo detto che queste caratteristiche “globali” non vanno bene in generale per descrivere lo stato tensionale interno di un solido qualunque e abbiamo introdotto la meccanica del continuo: abbiamo ricavato il tensore delle tensioni e nel frattempo detto che i corpi si possono deformare, introducendo anche il tensore delle deformazioni infinitesime.
Certo, infatti per quanto detto sopra, una volta trovate le caratteristiche di sollecitazione sai quale forza agisce sulla sezione, ma non sai quanto questa sezione è "solleciata", "tesa", "sforzata" da quella forza. Per esempio la stessa forza agente su una sezione piu grande e su una sezione piu piccola sollecita in modo molto diverso la sezione, in generale una stessa forza agente su sezioni di dimensioni, forma e materiale diversi cause sollecitazioni molto diverse. E' per questo che sapere le sole caratteristiche di sollecitazione non ti serve a niente, ti serve sapere il concetto di "sforzo" e "deformazione" locale della sezione per sapere se essa regge oppure no.
Dopodiché abbiamo parlato del problema di de saint venant. Quello che non ho capito io è perché si introduce questo ultimo. Cioè cosa andiamo a fare con questo? Perché in pratica a partire dalle caratteristiche di sollecitazione (che però adesso sono diventate azioni esterne applicate alla trave e non più stati interni..e già questo: perché?) si determinano le caratteristiche di deformazione associate alle caratteristiche di sollecitazione (in cui adesso includiamo anche la torsione...).
La meccanica del continuo vuole stabilire il legame tra forze esterne (ossia caratteristiche di sollecitazione) e sforzi interni. Le caratteristiche di sollecitazione sono diventate le forze esterne perché il problema è equivalente, infatti considera una trave incastrata e caricata con una forza all'estremità. Una volta trovate le caratteristiche di sollecitazione su ogni sezione della trave, tu puoi anche tagliare un pezzo della trave e lasciare solo un pezzo, il problema è equivalente a considerare le caratteristiche di sollecitazione agenti sulla sezione della trave come forze esterne. Quindi conoscendo le caratteristiche di solelcitazione su ogni sezione conosci di fatto le forze esterne agenti su ogni sezione. Grazie alla teoria di de Saint venant puoi calcolarti le tensioni interne a partire dalle caratteristiche di sollecitazione. Il lavoro di de Saint Venant è fondamentale, perché di fatto per un generico corpo NON puoi calcolarti le tensioni a partire dalle forze esterne, nel caso di trave snella, caricata alle estremita etc (ossia il solido di de sant venant) esiste una soluzione analitica e puoi farlo. Chiaramente la teoria di DSV viene estesa con approssimazione anche a casi che vanno oltre il solido di DSV.
Che legame c’è tra questo e il diagramma delle caratteristiche di sollecitazione visto all’inizio ? Direi nessuno perché comunque si sono svolti esercizi sui diagrammi tranquillamente senza sapere del problema di de saint venant... eppure a giudicare dal fatto che si riparla di quelle caratteristiche di sollecitazione mi paiono collegati....
Di fatto, il sapere le caratteristiche di sollecitazione è una cosa banale, non serve una particolare teoria, si tratta di fatto di esercizi di fisica 1. La teoria di DSV serve a calcolarti gli SFORZI agenti sulle SEZIONI delle travi una volta nota la caratteristica di sollecitazione ivi agente. Quando vorrai calcolarti gli spostamenti della trave in seguito ai carichi esterni dovrai fare uso di ulteriori teori. Tutte queste teoria sulla trave altro non sono che versioni semplificate e tecnica della generale meccanica del continuo, la quale ha il problema di non ammettere soluzioni analitica (tranne nel caso molto particolare del DSV) e pertanto si ricercano modelli semplificati per travi, aste, gusci, piastre etc.
aint Venant ha proposto di studiare l'equilibrio di una trave adottando un modello semplificato
No è il modello a essere semplificato. La teoria di DSV si basa sulla meccanica del continuo, quindi è il modello piu generale possibile. E' il caso in esame ad essere semplificato. I modelli semplificati sono i modelli di trave, gusci, piastre etc che non si basano sulla generale meccanica del continuo ma usno modelli approssimati per le varie esigenze.
D’accordo, grazie. Mi potresti però spiegare più “praticamente” cosa significano le Equazioni scritte?
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