[Scienza delle Costruzioni] Coefficiente di Dilatazione Lineare
Salve a tutti,
ho da poco iniziato a studiare la Meccanica dei Continui in Scienza delle Costruzioni. Uno dei primi parametri di misura della deformazione che ho incontrato è il COEFFICIENTE di DILATAZIONE LINEARE. Il mio libro di testo è il Sollazzo volume 2: in particolare mi riferisco alle pagine 13 e 14. Il mio problema riguarda la dimostrazione relativa a questo coefficiente.
IL libro parte dal prendere un vettore $ dvec(P) $ con origine in P ed un altro vettore $ dvec(Q) $ che è il suo corrispondente a trasformazione avvenuta e pone: $ dvec(P)= dpvec(n) $ e $ dvec(Q)= dqvec(m) $
Partendo da essi, da la definizione di Coeff. di Dilatazione Lineare come: \( \varepsilon = (dq-dp) / dp = (dq/dp) -1 \)
Fin qui tutto chiaro....poi però passa a definire una formula per il calcolo di \( \varepsilon \) quando è noto il GRADIENTE di DEFORMAZIONE F.
Partendo dalla relazione \( d\vec{Q}=Fd\vec{P} \) precedentemente definita e ricordando la definizione di Trasposto di un tensore scrive poi:
\( d\vec{Q}\cdot d\vec{Q} = (Fd\vec{P} ) \cdot (Fd\vec{P} )=(F^TFd\vec{P)\cdot } d\vec{P} \)
che diventa:
\( dq^2=dp^2(F^TF\vec{n} )\cdot \vec{n} \)
Il problema sorge al passaggio successivo...quando dice che dividendo entrambi i membri di quest'ultima per \( dp^2 \) e tenendo presente la definizione di \( \varepsilon \) essa diventa:
\( (\varepsilon +1)^2=(F^TF\vec{n} )\cdot \vec{n} \)
Qualcuno saprebbe dirmi..nello specifico...quali passaggi ha effettuato?.....lo so, sto messo male....spero però che qualcuno di voi possa aiutarmi.
GRAZIE 1000 in anticipo a chiunque risponderà.
ho da poco iniziato a studiare la Meccanica dei Continui in Scienza delle Costruzioni. Uno dei primi parametri di misura della deformazione che ho incontrato è il COEFFICIENTE di DILATAZIONE LINEARE. Il mio libro di testo è il Sollazzo volume 2: in particolare mi riferisco alle pagine 13 e 14. Il mio problema riguarda la dimostrazione relativa a questo coefficiente.
IL libro parte dal prendere un vettore $ dvec(P) $ con origine in P ed un altro vettore $ dvec(Q) $ che è il suo corrispondente a trasformazione avvenuta e pone: $ dvec(P)= dpvec(n) $ e $ dvec(Q)= dqvec(m) $
Partendo da essi, da la definizione di Coeff. di Dilatazione Lineare come: \( \varepsilon = (dq-dp) / dp = (dq/dp) -1 \)
Fin qui tutto chiaro....poi però passa a definire una formula per il calcolo di \( \varepsilon \) quando è noto il GRADIENTE di DEFORMAZIONE F.
Partendo dalla relazione \( d\vec{Q}=Fd\vec{P} \) precedentemente definita e ricordando la definizione di Trasposto di un tensore scrive poi:
\( d\vec{Q}\cdot d\vec{Q} = (Fd\vec{P} ) \cdot (Fd\vec{P} )=(F^TFd\vec{P)\cdot } d\vec{P} \)
che diventa:
\( dq^2=dp^2(F^TF\vec{n} )\cdot \vec{n} \)
Il problema sorge al passaggio successivo...quando dice che dividendo entrambi i membri di quest'ultima per \( dp^2 \) e tenendo presente la definizione di \( \varepsilon \) essa diventa:
\( (\varepsilon +1)^2=(F^TF\vec{n} )\cdot \vec{n} \)
Qualcuno saprebbe dirmi..nello specifico...quali passaggi ha effettuato?.....lo so, sto messo male....spero però che qualcuno di voi possa aiutarmi.
GRAZIE 1000 in anticipo a chiunque risponderà.
Risposte
E' spiegato veramente con i piedi ( da quel libro, non da te)
Per prima cosa, il gradiente di deformazione $F$ è una applicazione che prende vettori dal corpo "non deformato" e li manda in vettori nel "corpo deformato", preso quindi un vettore $v$ nel corpo non deformato, il corrispettivo vettore $tildev$ nel corpo deformato è $tildev=Fv$.
Seconda cosa: Si vuole determinare una misura di deformazione di lunghezze "finite"! NON infinitesime, quindi prendere un vettore $dP$ non ha nessunissimo senso, per prima cosa definiamo una misura di deformazioni di lunghezze al quadrato, poi determiniamo quella lineare, sempre deformazioni finite.
Preso il vettore $v=l n$ nel corpo non deformato, di modulo $l$, con $n$ un vettore unitario, si ha:
$l^2=v*v=l^2n*In$
Il corrispettivo vettore deformato:
$tildel^2=tildev*tildev=Fv*Fv=F^TFv*v=l^2F^TFn*n$
Definisco quindi:
$Deltal=(tildel^2-l^2)/(l^2)=(F^TF-I)n*n$
Il termine $F^TF$ è detto tensore destro di Cauchy-Green $C=F^TF$.
Si definisce "Tensore della deformazione finita" il tensore $E=1/2(C-I)$, quindi:
$Deltal=2En*n$
Passiamo ora alle misure di deformazioni lineari:
$deltal=(tildel-l)/(l)$
Ho che:
$(deltal+1)^2=(tildel/l)^2=tildel^2/l^2=Deltal+1=2En*n+1$
Da cui la misura di deformazioni lineari:
$deltal=sqrt(2En*n+1)-1$
Per prima cosa, il gradiente di deformazione $F$ è una applicazione che prende vettori dal corpo "non deformato" e li manda in vettori nel "corpo deformato", preso quindi un vettore $v$ nel corpo non deformato, il corrispettivo vettore $tildev$ nel corpo deformato è $tildev=Fv$.
Seconda cosa: Si vuole determinare una misura di deformazione di lunghezze "finite"! NON infinitesime, quindi prendere un vettore $dP$ non ha nessunissimo senso, per prima cosa definiamo una misura di deformazioni di lunghezze al quadrato, poi determiniamo quella lineare, sempre deformazioni finite.
Preso il vettore $v=l n$ nel corpo non deformato, di modulo $l$, con $n$ un vettore unitario, si ha:
$l^2=v*v=l^2n*In$
Il corrispettivo vettore deformato:
$tildel^2=tildev*tildev=Fv*Fv=F^TFv*v=l^2F^TFn*n$
Definisco quindi:
$Deltal=(tildel^2-l^2)/(l^2)=(F^TF-I)n*n$
Il termine $F^TF$ è detto tensore destro di Cauchy-Green $C=F^TF$.
Si definisce "Tensore della deformazione finita" il tensore $E=1/2(C-I)$, quindi:
$Deltal=2En*n$
Passiamo ora alle misure di deformazioni lineari:
$deltal=(tildel-l)/(l)$
Ho che:
$(deltal+1)^2=(tildel/l)^2=tildel^2/l^2=Deltal+1=2En*n+1$
Da cui la misura di deformazioni lineari:
$deltal=sqrt(2En*n+1)-1$
....chiaro ed esaustivo.....grazie 1000!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo