[Scienza delle Costruzioni] Cilindro indefinito di Tresca
Ciao a tutti, parlando del Criterio di Tresa il mio libro afferma che il valore della tensione tangenziale limite ottenuto da prove di laboratorio sarà :
$\tau_{max} = \frac{1}{2} \sigma_P$
dove $\sigma_P$ è la tensione limite determinata da prove monoassiali.
Sapendo ciò possiamo affermare che tutti e 3 i cerchi di Mohr di uno stato tensionale pluriassiale devono essere contenuti all'interno di una fascia di sicurezza di dimensioni $\tau_P=\sigma_P$ dove appunto per un tale valore di $\tau_P$ si avrebbe un collasso, pertanto possiamo scrivere le 6 disequazioni riguardanti le 3 tensioni principali:
$max{|\sigma_1 -\sigma_2|,|\sigma_1 - \sigma_3|,|\sigma_2 - \sigma_3|} < \sigma_P$
Fatto ciò passiamo a una rappresentazione nello spazio delle tensioni principali: avendo quindi 6 disequazioni otterremo un cilindro regolare:
la mia domanda è:
questo cilindro a base esagonale con esagono regolare ha lati di dimensione $\sigma_P$ ?
$\tau_{max} = \frac{1}{2} \sigma_P$
dove $\sigma_P$ è la tensione limite determinata da prove monoassiali.
Sapendo ciò possiamo affermare che tutti e 3 i cerchi di Mohr di uno stato tensionale pluriassiale devono essere contenuti all'interno di una fascia di sicurezza di dimensioni $\tau_P=\sigma_P$ dove appunto per un tale valore di $\tau_P$ si avrebbe un collasso, pertanto possiamo scrivere le 6 disequazioni riguardanti le 3 tensioni principali:
$max{|\sigma_1 -\sigma_2|,|\sigma_1 - \sigma_3|,|\sigma_2 - \sigma_3|} < \sigma_P$
Fatto ciò passiamo a una rappresentazione nello spazio delle tensioni principali: avendo quindi 6 disequazioni otterremo un cilindro regolare:
la mia domanda è:
questo cilindro a base esagonale con esagono regolare ha lati di dimensione $\sigma_P$ ?
Risposte
Direi che l'esagono è regolare per simmetria delle disequazioni e il lato dovrebbe valere $σ_P/sqrt(3)$ ( Non sono per niente sicuro ). Ti spiego come ho fatto . Ho preso 2 punti estremi annullando volta per volta due valori di tensioni principali contemporanemaente ragionando sull'immagine che ti riporto :
Dimmi cosa ne pensi , probabilmente ho sbagliato !!
Dimmi cosa ne pensi , probabilmente ho sbagliato !!
hai considerato che la circonferenza abbia raggio $\sigma_P$ ?
poiché annullando volta per volta ti ritrovi con delle ellissi e non più dei cerchi; tali ellissi hanno valori di tensione rimanenti, ad esempio annullando $\sigma_3 = 0$ rimangono $\sigma_1$ e $\sigma_2$ che hanno valori di tensione compresi tra $-\sigma_P$ e $+sigma_P$ sia sulle ascissa che sulle ordinate
poiché annullando volta per volta ti ritrovi con delle ellissi e non più dei cerchi; tali ellissi hanno valori di tensione rimanenti, ad esempio annullando $\sigma_3 = 0$ rimangono $\sigma_1$ e $\sigma_2$ che hanno valori di tensione compresi tra $-\sigma_P$ e $+sigma_P$ sia sulle ascissa che sulle ordinate
Io ho pensato se annulli contemporaneamente $σ_3$ = $σ_1=0$ dovresti trovare un punto in comune tra la circonferenza e l'esagono e quindi un vertice dell'esagono . Facendo la stessa cosa per $σ_3$ = $σ_2=0$ ne trovi un altro ( nel piano appaiono come punti di un esagono allungato e di una ellisse) . Il segmento che li unisce sul piano $σ_3=0$ dovrebbe valere $σ_P sqrt(2)$. Non so se ho interpretato bene la geometria ..
Ho notato un'altra cosa strana nel cilindro di Tresca, basandomi sull'immagine da te postata sopra !
Dopo aver studiato il criterio di Von Mises che afferma che:
$[(\sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2 + \sigma_3 ^2)-(\sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1 \sigma_3 + \sigma_2 \sigma_3)] = \sigma_P ^2$
otteniamo un cilindro che a detta del mio libro ha una base circolare e come asse quello idrostatico;
però se vado a sostituire con dei valori tipo:
$((x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz))=4$
ottengo con Wolfram che è un cilindro ellittico
, quindi non si può parlare più di raggio, ma credo di aver preso un abbaglio enorme 
Mi scuso per aver risposto solo adesso !
Dopo aver studiato il criterio di Von Mises che afferma che:
$[(\sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2 + \sigma_3 ^2)-(\sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1 \sigma_3 + \sigma_2 \sigma_3)] = \sigma_P ^2$
otteniamo un cilindro che a detta del mio libro ha una base circolare e come asse quello idrostatico;
però se vado a sostituire con dei valori tipo:
$((x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz))=4$
ottengo con Wolfram che è un cilindro ellittico
, quindi non si può parlare più di raggio, ma credo di aver preso un abbaglio enorme Mi scuso per aver risposto solo adesso !
Invece mi sa che hai perfettamente ragione . Il cilindro allora è a base esagonale in generale non regolare .Uso come fonte Wikipedia oltre alla dimostrazione con Wolfram Alpha : " [...]Tale prisma è circoscritto dal cilindro a base ellittica associato al criterio di von Mises.[...]"
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Tresca
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Tresca
No. per simmetria la sezione normale all'asse idrostatico non può che essere un cerchio, inoltre wolfram alpha parla di ellisse perché la circonferenza è un caso degenere di ellisse.
Il mio dubbio era proprio quello dato che è circoscritto un esagono, quindi come si dovrebbe calcolare il raggio ?
Anche se prendendo quest'equazione come ho detto sopra:
$[(\sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2 + \sigma_3 ^2)-(\sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1 \sigma_3 + \sigma_2 \sigma_3)] = \sigma_P ^2$
e se vado a sostituire con dei valori tipo:
$((x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz))=4$
ottengo un cilindro ellittico, per esserne sicuro lo postai anche nella sezione matematica
Anche se prendendo quest'equazione come ho detto sopra:
$[(\sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2 + \sigma_3 ^2)-(\sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1 \sigma_3 + \sigma_2 \sigma_3)] = \sigma_P ^2$
e se vado a sostituire con dei valori tipo:
$((x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz))=4$
ottengo un cilindro ellittico, per esserne sicuro lo postai anche nella sezione matematica
Grazie mille Tem e Vulplasir !! Ottimo lavoro !
Ti ringrazio nuovamente anche qui !!
Ne approfitto per chiederti un' altra cosa:
1)
hai usato un metodo per vedere che è un esagono regolare ?
2) come si fa a capire una volta stabilito che è un esagono, che è inscritto proprio nella circonferenza individuata nel cilindro di Von Mises
Ne approfitto per chiederti un' altra cosa:
1)
"TeM":
porge un esagono regolare di equazioni cartesiane: \[ \begin{cases} \max\left(\left|\sigma_1 - \sigma_2\right|, \, \left|2\,\sigma_1 + \sigma_2\right|,\,\left|\sigma_1 + 2\,\sigma_2\right|\right) = \sigma_p \\ \sigma_3 = - \sigma_1 - \sigma_2 \end{cases} \]
hai usato un metodo per vedere che è un esagono regolare ?
2) come si fa a capire una volta stabilito che è un esagono, che è inscritto proprio nella circonferenza individuata nel cilindro di Von Mises
Spiegazione perfetta !
Grazie mille
Grazie mille
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