[Scienza delle Costruzioni] Chiarimento su trave doppiamente incastrata

[marcook1]

Salve a tutti, ho un piccolo problema in un esercizio. Si tratta di una struttura iperstatica, nello specifico una trave doppiamente incastrata. Ecco l'esercizio:

Calcolare le reazioni vincolari della seguente struttura:



La struttura è iperstatica 3 volte, però data la particolare configurazione di carico possiamo dire che le reazioni normali sono nulle, pertanto la struttura sarà iperstatica 2 volte. Per risolverla utilizziamo il metodo delle forze, svincolando la struttura dagli incastri sostituendoli con delle reazioni incognite $M_1$ e $M_2$ e disegnamo la trave principale:

Data la simmetria della struttura, possiamo anche dire che $M_1 = M_2$ e grazie all'equazione di congruenza possiamo trovare le incognite, ovvero dobbiamo imporre che la rotazione negli incastri sia nulla:

$phi_A (M_1) + phi_A (P) + phi_A (M_2) =0$

cioè:
$(M_1 L)/(3EI) - (P L^2)/(16EI) + (M_1 L)/(6EI)=0$

Ed eccoci arrivati al mio problema: io non riesco a scrivere questi contributi correttamente in questo esercizio(negli altri mi riesce).
So che si ricavano attraverso la linea elastica, ovvero: $(d^2 v)/dz^2 = - M_((z))/(EI)$ ed una volta ricavata la linea elastica $v_(z)$ si scrive che $phi = -(dv)/dz$

Ecco i miei calcoli:
Struttura $F_0$:


calcolo reazioni vincolari:
$a_1+a_2=P$
$a_2 l - Pl/2 =0$
$a_1=a_2=P/2$
Caratteristiche della sollecitazione:

$N_(z) =0$
$T_(z)=P/2$
$M_(z)=P/2 z$

Calcolo linea elastica:
$(d^2v)/dz^2=-(Pz)/(2EI)$
$(dv)/dz=-(Pz^2)/(4EI)+ C_1$
$v(z)=-(Pz^3)/(12EI)+ C_1 z + C_2$

Condizioni:
$V(z=0)=0$ $=>$ $C_2=0$
$((dV)/dz)_(z=l/2)=0$ $=>$ $-(Pl)^2/(16EI)+C_1=0$ $=>$ $C_1=(Pl^2)/(16EI)$

Sostituendo:
$V(z)=-P/(12EI)z^3 + Pl^2/(16EI)z$
$phi(z)= - (dV)/dz = P/(36EI)z^2-(Pl^2)/(16EI)$

$phi_(a)(P)= -(Pl^2)/(16EI)$

E questo contributo tornerebbe.
Adesso c'è il sistema F1:



Le reazioni vincolari sono nulle, per cui procediamo con le caratteristiche della sollecitazione:

$N_(z)=T_(z)=0$
$M_(z)=-1$

Calcolo linea elastica:
$(d^2v)/dz^2= 1/(EI)$
$(dv)/dz=z/(EI)+ C_1$
$v(z)=(z^2)/(2EI)+ C_1 z + C_2$

Condizioni:
$V(z=l)=0$ $=>$ $l^2/(2EI)+C_1 l + C_2 = 0$
$((dV)/dz)_(z=l/2)=0$ $=>$ $l^2/(8EI)+C_1 l/2 + C_1= 0$

e dalle precedenti si ricava che:
$C_1=-(3l)/(4EI)$ $C_2= l^2/(4EI)$

Sostituendo:
$V(z)=z^2/(2EI) - (3l)z/(4EI) + l^2/(4EI)$
$phi(z)= - (dV)/dz = z/(EI)+(3l)/(4EI)$

$phi_(a)(M1)= (3l)/(4EI)$
Che non torna......vi prego qualcuno mi indichi dove sbaglio!!!!Sto impazzendo....

[ELWOOD1]

Per forza non ti torna!
Qui stai considerando il contributo di entrambi i momenti!
Invece devi considerare il contributo separato come hai fatto precedentemente con la forza

[marcook1]

Che bollito che sono.........
Allora dovrò considerare tre sistemi: $F_0,F_1 e F_2$ Giusto?

$F_1$ sarà:


$F_2$ sarà:


è corretto?

[ELWOOD1]

Si

[marcook1]

"ELWOOD":Si

Dopo aver rifatto tutto molto attentamente, ho scoperto anche che sbagliavo le condizioni al contorno nelle equazioni differenziali. Adesso mi è tornato tutto, grazie per i tuoi consigli

[ELWOOD1]

bene...prego di nulla