[Scienza delle Costruzioni] Centri di Rotazione assoluti e relativi.
Salve a tutti,
Sono uno studente universitario di ingegneria civile.
Sto studiando l'analisi cinematica però, anche con l'utilizzo delle dispense del Prof, non riesco a capire come scoprire i gradi di labilità e di iperstaticità di una struttura.
So che innanzitutto bisogna considerare la legge g.d.l. - g.d.v = l - i ; I gradi di libertà riesco a determinarli e anche i gradi di vincolo però non riesco a capire se i vincoli sono mal posti o no.
Ho capito che ci sono due metodi, uno analitico(non mi interessa
) e uno che si basa sui centri di rotazione.
Non riesco a capire come funziona quest'ultimo metodo. Qualcuno può gentilmente illustrarmelo?? Non riesco a capire la differenza tra centro di rotazione relativo e assoluto.
Il mio obbiettivo è quello di saper riuscire a determinare con certezza se una struttura è labile, isodeterminata o iperdeterminata e in quest'ultimo caso sapere il grado di iperstaticità.
Avrei anche un'altra piccola domanda: Nel caso di struttura non appoggiata e di struttura reticolare, cambia qualcosa nel calcolo dei g.d.v,g.d.l,l e i?????
grazie per l'attenzione!!
Sono uno studente universitario di ingegneria civile.
Sto studiando l'analisi cinematica però, anche con l'utilizzo delle dispense del Prof, non riesco a capire come scoprire i gradi di labilità e di iperstaticità di una struttura.
So che innanzitutto bisogna considerare la legge g.d.l. - g.d.v = l - i ; I gradi di libertà riesco a determinarli e anche i gradi di vincolo però non riesco a capire se i vincoli sono mal posti o no.
Ho capito che ci sono due metodi, uno analitico(non mi interessa
) e uno che si basa sui centri di rotazione.Non riesco a capire come funziona quest'ultimo metodo. Qualcuno può gentilmente illustrarmelo?? Non riesco a capire la differenza tra centro di rotazione relativo e assoluto.
Il mio obbiettivo è quello di saper riuscire a determinare con certezza se una struttura è labile, isodeterminata o iperdeterminata e in quest'ultimo caso sapere il grado di iperstaticità.
Avrei anche un'altra piccola domanda: Nel caso di struttura non appoggiata e di struttura reticolare, cambia qualcosa nel calcolo dei g.d.v,g.d.l,l e i?????
grazie per l'attenzione!!
Risposte
Ciao e benvenuto. Se cerchi qui nella sezione di Ingegneria ci sono decine di discussioni sull'argomento. Per il momento non ho tempo, ma appena posso ti linko qualche discussione; intanto puoi fare da te
vediamo se ci riesco io ad illuminarti 
per prima cosa prendi un foglio e disegna le strutture che ti dirò
partiamo da alcuni vincoli e dal loro centri di rotazione:
- CARRELLO: il centro di rotazione può essere uno degli infiniti punti appartenenti alla retta normale all'asse di scorrimento del carrello stesso; come vincolo semplice ha molteplicità 1 (toglie un unico grado di libertà)
- CERNIERA: il centro di rotazione è unico e coincide con il centro della cerniera stessa; come vincolo semplice ha molteplicità 2 (toglie 2 gradi di libertà)
- DOPPIO PENDOLO: il centro di rotazione è il punto all'infinito nella direzione degli assi (infatti il sistema può solo traslare); come vincolo semplice ha molteplicità 2 (toglie 2 gradi di libertà)
- INCASTRO: non ha centro di rotazione. come vincolo semplice ha molteplicità 3 (toglie 3 gradi di libertà)
Prendiamo adesso il caso di un singolo corpo rigido nel piano: per prima cosa sai che ha 3 GRADI DI LIBERTA'.
bene, ricorda che il sistema è labile quando possiede un centro di rotazione.
adesso ti trovi di fronte ad una serie di possibilità relative ai vincoli:
- il numero di vincoli semplici è inferiore a 3: la struttura è sicuramente labile.
- il numero di vincoli semplici è pari a 3:
- se il sistema possiede un centro di rotazione, allora sarà LABILE (esempio: una trave con una cerniera all'estremità di sinistra ed un carrello con asse coincidente con la trave a destra; in questo caso il centro di rotazione sarà il centro della cerniera, perchè coincide col centro di rotazione del vincolo cerniera e con uno degli infiniti centri di rotazione del vincolo carrello).
- se il sistema non possiede alcun centro di istantanea rotazione, allora la struttura sarà GEOMETRICAMENTE ISODETERMINATA (O ISOSTATICA): i vincoli sono in numero e disposizione tale da escludere ogni cinematismo, e le equazioni di equilibrio bastano a individuare le reazioni vincolari. (stesso esempio di prima. solo che questa volta la direzione di scorrimento del carrello sarà parallela all'asse della trave: i centri di rotazione dei due vincoli non coincidono, e non ci saranno cinematismi)
-il numero dei vincoli è superiore a 3: bisogna valutare l'EFFICACIA dei vincoli. per esempio, puoi avere una semplice trave a cui sono applicati un'infinità di carrelli con direzione di scorrimento parallela alla trave: è evidente che la struttura è labile, perchè riesce a traslare parallelamente alla trave stessa. quindi il sistema potrà essere geometricamente LABILE, ISODETERMINATO (e in questi due casi si parla anche di VINCOLI INEFFICACI) o IPERDETERMINATO, a seconda della disposizione dei vincoli. ovviamente, per determinare le reazioni vincolari di una struttura di questo genere, alle equazioni di equilibrio dovrai affiancare delle equazioni di congruenza (dipendenti dalla deformabilità del sistema)
tutto chiaro? bene
adesso passiamo ai sistemi di travi
queste sono delle strutture in cui più travi semplici sono collegate tra di loro (con i c.d. VINCOLI INTERNI) e con l'esterno (con i c.d. VINCOLI ESTERNI): scopo dell'analisi cinematica è valutare, anche in questo caso, se la struttura sia labile, isostatica o iperstatica. e quest'analisi si può fare o con delle equazioni (ma tu non ne vuoi giustamente sentir parlare) o sfruttando i teoremi delle catene cinematiche (ed impiegando un minuto netto a determinare la labilità).
partiamo da un altro presupposto adesso. ci sono due modi diversi di vedere un sistema di travi: o pensandole come singole travi collegate tra di loro con dei vincoli interni oppure come un unico sistema cui i vincoli esterni conferiscono ulteriori gradi di libertà. mi spiego meglio:
CASO 1: abbiamo n travi collegate tra di loro, e quindi queste travi, nel loro insieme, hanno 3n gradi di libertà. tali grasi di libertà verranno soppressi sia dai vincoli esterni (il cui numero di vincoli semplici chiamiamo Ve) sia dai vincoli interni (il cui numero di vincoli semplici chiamiamo Vi). Quindi, il numero di gradi di libertà, l, dopo questo ragionamento, sarà dato da:
l = 3n - (Ve + Vi)
CASO 2: consideriamo il sistema come una struttura unica, dotata nel piano quindi di 3 gradi di libertà. a questo sistema, la presenza dei vincoli interni aggiungerà ulteriori gradi di libertà (per esempio, una cerniera interna permetterà alle travi individuate a destra ed a sinistra di ruotare, mentre senza cerniera non potevano muoversi, conferendo quindi al sistema un'ulteriore grado di libertà). in questo caro, quindi, più che di vincoli interni, si deve parlare più propriamente di SCONNESSIONI. Alla struttura così ottenuta (che ha 3+s gradi di libertà, con s molteplicità della sconnessione), i vincoli esterni toglieranno i suoi gradi di libertà, che saranno, quindi:
l = 3 + s - Ve
Ulteriori precisazioni sulla differenza computazionale tra VINCOLI INTERNI e SCONNESSIONI
La differenza riflette i due modi diversi di considerare la struttura.
i vincoli interni servono a togliere gradi di libertà alle trave cui sono applicate (esempio: due travi collegate da una cerniera interna vedono impedire alle loro estremità collegate la traslazione orizzontale e verticale, rimanendo solo la rotazione intorno al centro della cerniera stessa. quindi, la cerniera toglierà al sistema 2 gradi di libertà).
le sconnessioni servono a conferire ulteriori gradi di libertà alla struttura: una singola trave ha 3 gradi di libertà, ma se inserisco una cerniera al suo interno, le due travi che ho individuato potranno ruotare intorno al centro della cerniera. il sistema ha un ulteriore gradi di libertà quindi.
facciamo quindi un riepilogo di come i vincoli interni fanno computati nelle formule:
VINCOLO Vi s
cerniera 2 1
doppio pendolo 2 1
doppio doppio pendolo 1 2
quindi, applicando le due formule di prima otterrai i gradi di libertà della struttura: perchè la struttura sia isodeterminata, la prima condizione è che l debba essere pari a zero (ed è intuibile, perchè i vincoli devono essere in numero necessario per evitare labilità). per assicurarsi che la struttura sia GEOMETRICAMENTE ISODETERMINATA, BISOGNA CAPIRE SE SONO TUTTI EFFICACI, ovvero, BISOGNA ASSICURARSI CHE NON ESISTANO LABILITA'.
e qui entrano finalmente in gioco i teoremi delle catene cinematiche (del quale ti accennerò solo al primo, perchè mi sono un pò stancato a scrivere tutto sto papiro ).
specifichiamo che i vincoli esterni fissano i centri assoluti, mentre i vincoli interni quelli relativi.
IL PRIMO TEOREMA DELLE CATENE CINEMATICHE sostiene che un sistema è labile se i due centri assoluti di rotazione di due travi sono ALLINEATI col loro centro relativo.
Quindi, scopo della analisi è:
1) assicurarsi che la struttura abbia ZERO gradi di libertà con le due formule che abbiamo visto;
2) verificare che il sistema non abbia centri di rotazione-
un sistema che abbia queste due qualità è geometricamente isodeterminato, e puoi determinare sicuramente le reazioni vincolari anche per via grafica.
ESEMPIO FINALE:
considera una singola trave rettilinea orizzontale con due cerniere alle estremità, e supponi di inserire una cerniera interna in mezzeria.
Vediamo se presenta gradi di libertà:
1) 3n - (Ve+Vi) = 3*2 - (2+2+2) = 0
2) 3 + s - Ve = 3 + 1 - 4 = 0
il sistema presenta un numero di vincoli tale da farlo risultare geometricamente isodeterminato.
i centri di rotazione assoluti sono dati dalle cerniere "esterne", quello relativo è dato dalla cerniere intena, MA QUESTI CENTRI SONO ALLINEATI: il primo teorema delle catene cinematiche ci assicura la labilità del tutto.
se, invece, avessi avuto un portale, con le cerniere poste alle estremità inferiori dei ritti e la cerniera interna posta nella mezzeria del traverso, NON AVRESTI AVUTO ALLINEAMENTO, e la tua struttura sarebbe isostatica.
un'ultimissima precisazione sul vincolo esterno di INCASTRO: questo non presenta centri di rotazione, ma da solo è in grado di equilibrare le azioni applicate sulla struttura cui è applicato (che è da sola isostatica). questo significa che nell'analisi cinematica, puoi eliminare il tratto chi è applicato l'incastro e sostituire al vincolo interno che lo segue il corrispondente vincolo esterno. quindi studia la struttura che si viene a creare
spero di essere stato chiaro ed esauriente
per prima cosa prendi un foglio e disegna le strutture che ti dirò
partiamo da alcuni vincoli e dal loro centri di rotazione:
- CARRELLO: il centro di rotazione può essere uno degli infiniti punti appartenenti alla retta normale all'asse di scorrimento del carrello stesso; come vincolo semplice ha molteplicità 1 (toglie un unico grado di libertà)
- CERNIERA: il centro di rotazione è unico e coincide con il centro della cerniera stessa; come vincolo semplice ha molteplicità 2 (toglie 2 gradi di libertà)
- DOPPIO PENDOLO: il centro di rotazione è il punto all'infinito nella direzione degli assi (infatti il sistema può solo traslare); come vincolo semplice ha molteplicità 2 (toglie 2 gradi di libertà)
- INCASTRO: non ha centro di rotazione. come vincolo semplice ha molteplicità 3 (toglie 3 gradi di libertà)
Prendiamo adesso il caso di un singolo corpo rigido nel piano: per prima cosa sai che ha 3 GRADI DI LIBERTA'.
bene, ricorda che il sistema è labile quando possiede un centro di rotazione.
adesso ti trovi di fronte ad una serie di possibilità relative ai vincoli:
- il numero di vincoli semplici è inferiore a 3: la struttura è sicuramente labile.
- il numero di vincoli semplici è pari a 3:
- se il sistema possiede un centro di rotazione, allora sarà LABILE (esempio: una trave con una cerniera all'estremità di sinistra ed un carrello con asse coincidente con la trave a destra; in questo caso il centro di rotazione sarà il centro della cerniera, perchè coincide col centro di rotazione del vincolo cerniera e con uno degli infiniti centri di rotazione del vincolo carrello).
- se il sistema non possiede alcun centro di istantanea rotazione, allora la struttura sarà GEOMETRICAMENTE ISODETERMINATA (O ISOSTATICA): i vincoli sono in numero e disposizione tale da escludere ogni cinematismo, e le equazioni di equilibrio bastano a individuare le reazioni vincolari. (stesso esempio di prima. solo che questa volta la direzione di scorrimento del carrello sarà parallela all'asse della trave: i centri di rotazione dei due vincoli non coincidono, e non ci saranno cinematismi)
-il numero dei vincoli è superiore a 3: bisogna valutare l'EFFICACIA dei vincoli. per esempio, puoi avere una semplice trave a cui sono applicati un'infinità di carrelli con direzione di scorrimento parallela alla trave: è evidente che la struttura è labile, perchè riesce a traslare parallelamente alla trave stessa. quindi il sistema potrà essere geometricamente LABILE, ISODETERMINATO (e in questi due casi si parla anche di VINCOLI INEFFICACI) o IPERDETERMINATO, a seconda della disposizione dei vincoli. ovviamente, per determinare le reazioni vincolari di una struttura di questo genere, alle equazioni di equilibrio dovrai affiancare delle equazioni di congruenza (dipendenti dalla deformabilità del sistema)
tutto chiaro? bene
adesso passiamo ai sistemi di travi
queste sono delle strutture in cui più travi semplici sono collegate tra di loro (con i c.d. VINCOLI INTERNI) e con l'esterno (con i c.d. VINCOLI ESTERNI): scopo dell'analisi cinematica è valutare, anche in questo caso, se la struttura sia labile, isostatica o iperstatica. e quest'analisi si può fare o con delle equazioni (ma tu non ne vuoi giustamente sentir parlare) o sfruttando i teoremi delle catene cinematiche (ed impiegando un minuto netto a determinare la labilità).
partiamo da un altro presupposto adesso. ci sono due modi diversi di vedere un sistema di travi: o pensandole come singole travi collegate tra di loro con dei vincoli interni oppure come un unico sistema cui i vincoli esterni conferiscono ulteriori gradi di libertà. mi spiego meglio:
CASO 1: abbiamo n travi collegate tra di loro, e quindi queste travi, nel loro insieme, hanno 3n gradi di libertà. tali grasi di libertà verranno soppressi sia dai vincoli esterni (il cui numero di vincoli semplici chiamiamo Ve) sia dai vincoli interni (il cui numero di vincoli semplici chiamiamo Vi). Quindi, il numero di gradi di libertà, l, dopo questo ragionamento, sarà dato da:
l = 3n - (Ve + Vi)
CASO 2: consideriamo il sistema come una struttura unica, dotata nel piano quindi di 3 gradi di libertà. a questo sistema, la presenza dei vincoli interni aggiungerà ulteriori gradi di libertà (per esempio, una cerniera interna permetterà alle travi individuate a destra ed a sinistra di ruotare, mentre senza cerniera non potevano muoversi, conferendo quindi al sistema un'ulteriore grado di libertà). in questo caro, quindi, più che di vincoli interni, si deve parlare più propriamente di SCONNESSIONI. Alla struttura così ottenuta (che ha 3+s gradi di libertà, con s molteplicità della sconnessione), i vincoli esterni toglieranno i suoi gradi di libertà, che saranno, quindi:
l = 3 + s - Ve
Ulteriori precisazioni sulla differenza computazionale tra VINCOLI INTERNI e SCONNESSIONI
La differenza riflette i due modi diversi di considerare la struttura.
i vincoli interni servono a togliere gradi di libertà alle trave cui sono applicate (esempio: due travi collegate da una cerniera interna vedono impedire alle loro estremità collegate la traslazione orizzontale e verticale, rimanendo solo la rotazione intorno al centro della cerniera stessa. quindi, la cerniera toglierà al sistema 2 gradi di libertà).
le sconnessioni servono a conferire ulteriori gradi di libertà alla struttura: una singola trave ha 3 gradi di libertà, ma se inserisco una cerniera al suo interno, le due travi che ho individuato potranno ruotare intorno al centro della cerniera. il sistema ha un ulteriore gradi di libertà quindi.
facciamo quindi un riepilogo di come i vincoli interni fanno computati nelle formule:
VINCOLO Vi s
cerniera 2 1
doppio pendolo 2 1
doppio doppio pendolo 1 2
quindi, applicando le due formule di prima otterrai i gradi di libertà della struttura: perchè la struttura sia isodeterminata, la prima condizione è che l debba essere pari a zero (ed è intuibile, perchè i vincoli devono essere in numero necessario per evitare labilità). per assicurarsi che la struttura sia GEOMETRICAMENTE ISODETERMINATA, BISOGNA CAPIRE SE SONO TUTTI EFFICACI, ovvero, BISOGNA ASSICURARSI CHE NON ESISTANO LABILITA'.
e qui entrano finalmente in gioco i teoremi delle catene cinematiche (del quale ti accennerò solo al primo, perchè mi sono un pò stancato a scrivere tutto sto papiro
). specifichiamo che i vincoli esterni fissano i centri assoluti, mentre i vincoli interni quelli relativi.
IL PRIMO TEOREMA DELLE CATENE CINEMATICHE sostiene che un sistema è labile se i due centri assoluti di rotazione di due travi sono ALLINEATI col loro centro relativo.
Quindi, scopo della analisi è:
1) assicurarsi che la struttura abbia ZERO gradi di libertà con le due formule che abbiamo visto;
2) verificare che il sistema non abbia centri di rotazione-
un sistema che abbia queste due qualità è geometricamente isodeterminato, e puoi determinare sicuramente le reazioni vincolari anche per via grafica.
ESEMPIO FINALE:
considera una singola trave rettilinea orizzontale con due cerniere alle estremità, e supponi di inserire una cerniera interna in mezzeria.
Vediamo se presenta gradi di libertà:
1) 3n - (Ve+Vi) = 3*2 - (2+2+2) = 0
2) 3 + s - Ve = 3 + 1 - 4 = 0
il sistema presenta un numero di vincoli tale da farlo risultare geometricamente isodeterminato.
i centri di rotazione assoluti sono dati dalle cerniere "esterne", quello relativo è dato dalla cerniere intena, MA QUESTI CENTRI SONO ALLINEATI: il primo teorema delle catene cinematiche ci assicura la labilità del tutto.
se, invece, avessi avuto un portale, con le cerniere poste alle estremità inferiori dei ritti e la cerniera interna posta nella mezzeria del traverso, NON AVRESTI AVUTO ALLINEAMENTO, e la tua struttura sarebbe isostatica.
un'ultimissima precisazione sul vincolo esterno di INCASTRO: questo non presenta centri di rotazione, ma da solo è in grado di equilibrare le azioni applicate sulla struttura cui è applicato (che è da sola isostatica). questo significa che nell'analisi cinematica, puoi eliminare il tratto chi è applicato l'incastro e sostituire al vincolo interno che lo segue il corrispondente vincolo esterno. quindi studia la struttura che si viene a creare
spero di essere stato chiaro ed esauriente
Perfetto grazie mille!!!!!
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Ciao, volevo chiederti nel caso in cui la cerniera interna sia semplicemente appoggiata il discorso relativo alle sconnessioni è valido lo stesso, cioè anche in questo caso c'è la possibilità del secondo corpo di ruotare rispetto al primo?
Ti allego la foto del sistema così ti è più chiaro il discorso
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