[Scienza delle costruzioni] Carrello che rompe la struttura
Ciao a tutti. Sto studiando scienza delle costruzioni e il mio problema è di trovare le reazioni vincolari per la struttura in figura
ma mi trovo in seria difficoltà poichè il sistema di equazioni diventa impossibile. Illustro il mio ragionamento.
Ragionando "esternamente" ho che, i versi positivi sono verso destra,verso l'alto e orario per i momenti,
$q2l + R_(Ex) = 0$ (equilibrio orizzontale)
$R_(Ey) + R_(Ay) = 0$ (equilibrio verticale)
$q2l*l - R_(Ey)* 2l = 0$ (equilibrio rotazioni con polo in A)
che risolto da
$R_(Ex) = - 2ql$ (cioè verso sinistra)
$R_(Ey) = (ql)$ (cioè verso l'alto)
$R_(Ay) = - (ql)$ (cioè verso il basso)
che è ragionevole perchè così ho due coppie di forze di momento opposto.
Ora "smonto" la struttura nelle parti comprese tra le cerniere che sono (I) ABC , (II) CD e (III) DEA, introduco le reazioni vincolari interne e quelle esterne le tratto come forze agenti dall'esterno (è corretto, no?!). Chiamo $v_i$ la reazione verticale nel punto $i$ e $H_i$ la reazione orizzontale nello stesso punto. Ora vorrei scrivere i tre sistemi e risolverli per trovare i vincoli interni ma è qui che cominciano i problemi. I 3 sistemi che ottengo sono, con le convenzioni precedenti per i segni,
Per (I), orientando tutte le reazioni interne nel verso positivo
$v_A + v_C + ql = 0$
$H_A + H_c + 2ql = 0$
$2ql*l - v_C * l - H_C * 2l = 0$ (polo in A)
Per (II), invertendo i segni delle reazioni in C e orientando positivamente quelle in D,
$(-v_C) + v_D = 0$
$(-H_C) + H_D = 0$
$-H_D*l/(sqrt2) - v_D *l/(sqrt2) = 0$
Per (III), invertendo i segni delle reazioni in A e D,
$(-v_A) - ql + ql + (-v_D) = 0$
$(-H_A) - 2ql + (-H_D) = 0$
$ql*2l + (-H_D)*l + (-v_d)*2l =0$
Ora....devo sicuramente aver sbagliato qualcosa. Infatti se prendiamo la prima equazione di ogni tratto otteniamo
$v_A + v_C + ql = 0$
$(-v_C) + v_D = 0$
$(-v_A) - ql + ql + (-v_D) = 0$
cioè
$v_A + v_C = - ql$
$v_A + v_C = 0$
................no comment................
Dove sbaglio?!? Qualche saggio strutturista ha la risposta al mio annoso problema?????
ma mi trovo in seria difficoltà poichè il sistema di equazioni diventa impossibile. Illustro il mio ragionamento.
Ragionando "esternamente" ho che, i versi positivi sono verso destra,verso l'alto e orario per i momenti,
$q2l + R_(Ex) = 0$ (equilibrio orizzontale)
$R_(Ey) + R_(Ay) = 0$ (equilibrio verticale)
$q2l*l - R_(Ey)* 2l = 0$ (equilibrio rotazioni con polo in A)
che risolto da
$R_(Ex) = - 2ql$ (cioè verso sinistra)
$R_(Ey) = (ql)$ (cioè verso l'alto)
$R_(Ay) = - (ql)$ (cioè verso il basso)
che è ragionevole perchè così ho due coppie di forze di momento opposto.
Ora "smonto" la struttura nelle parti comprese tra le cerniere che sono (I) ABC , (II) CD e (III) DEA, introduco le reazioni vincolari interne e quelle esterne le tratto come forze agenti dall'esterno (è corretto, no?!). Chiamo $v_i$ la reazione verticale nel punto $i$ e $H_i$ la reazione orizzontale nello stesso punto. Ora vorrei scrivere i tre sistemi e risolverli per trovare i vincoli interni ma è qui che cominciano i problemi. I 3 sistemi che ottengo sono, con le convenzioni precedenti per i segni,
Per (I), orientando tutte le reazioni interne nel verso positivo
$v_A + v_C + ql = 0$
$H_A + H_c + 2ql = 0$
$2ql*l - v_C * l - H_C * 2l = 0$ (polo in A)
Per (II), invertendo i segni delle reazioni in C e orientando positivamente quelle in D,
$(-v_C) + v_D = 0$
$(-H_C) + H_D = 0$
$-H_D*l/(sqrt2) - v_D *l/(sqrt2) = 0$
Per (III), invertendo i segni delle reazioni in A e D,
$(-v_A) - ql + ql + (-v_D) = 0$
$(-H_A) - 2ql + (-H_D) = 0$
$ql*2l + (-H_D)*l + (-v_d)*2l =0$
Ora....devo sicuramente aver sbagliato qualcosa. Infatti se prendiamo la prima equazione di ogni tratto otteniamo
$v_A + v_C + ql = 0$
$(-v_C) + v_D = 0$
$(-v_A) - ql + ql + (-v_D) = 0$
cioè
$v_A + v_C = - ql$
$v_A + v_C = 0$
................no comment................
Dove sbaglio?!? Qualche saggio strutturista ha la risposta al mio annoso problema?????
Risposte
Non ho controllato i vari calcoli perché mi viene la pelle d’oca vedere scrivere tante equazioni per una struttura così banale; se poi un procedimento simile te l’hanno insegnato all’Università la cosa è ancor più grave perché vuol dire che quello che è successo a L’Aquila se perpetuerà ancora.
Tornado alla struttura basta osservare che l’asta $C-D$ è una biella e quindi soggetta solo alla sollecitazione assiale; da ciò necessariamente $|H_C|= |V_C|$ ( $|H_D|= |V_D|$ ), questi ultimi possono trovarsi semplicemente facendo l’equilibrio dei momenti dell’asta I rispetto A.
Il resto è automatico.
Tornado alla struttura basta osservare che l’asta $C-D$ è una biella e quindi soggetta solo alla sollecitazione assiale; da ciò necessariamente $|H_C|= |V_C|$ ( $|H_D|= |V_D|$ ), questi ultimi possono trovarsi semplicemente facendo l’equilibrio dei momenti dell’asta I rispetto A.
Il resto è automatico.
Ciao. Grazie mille per la risposta.
In ogni caso.....ho voluto esplicitare il più possibile i calcoli per facilitare la comprensione da parte di chi legge il post di quello che ho in testa!!!!!!!!!!! E siccome quello che hai scritto sulla sbarra equivale esattamente al secondo sistema che ho postato non mi sembra che tu abbia aggiunto nulla a quanto avevo già scritto. Lo so che per una sbarra le reazioni sono solo assiali, l'ho semplicemente dimostrato....non mi sembra che questo faccia crollare palazzi!!!!!!!
Tornando al problema, mi spiace ma proprio non capisco cosa mi stai dicendo. Cosa intendi con "il resto è automatico" ???
In ogni caso.....ho voluto esplicitare il più possibile i calcoli per facilitare la comprensione da parte di chi legge il post di quello che ho in testa!!!!!!!!!!! E siccome quello che hai scritto sulla sbarra equivale esattamente al secondo sistema che ho postato non mi sembra che tu abbia aggiunto nulla a quanto avevo già scritto. Lo so che per una sbarra le reazioni sono solo assiali, l'ho semplicemente dimostrato....non mi sembra che questo faccia crollare palazzi!!!!!!!
Tornando al problema, mi spiace ma proprio non capisco cosa mi stai dicendo. Cosa intendi con "il resto è automatico" ???
Quando hai l’azione assiale (di compressione) $N_{CD}$:
$-q*2L*L+N_{CD}*(3L)/( \sqrt{2})=0 $ $\rightarrow$ $N_{CD}=(2*\sqrt { 2})/3 qL$
Applichi due forze uguali e contrarie, inclinate di 45°, $N_{CD}$ in $C$ e $D$ e tutto è risolto.
$-q*2L*L+N_{CD}*(3L)/( \sqrt{2})=0 $ $\rightarrow$ $N_{CD}=(2*\sqrt { 2})/3 qL$
Applichi due forze uguali e contrarie, inclinate di 45°, $N_{CD}$ in $C$ e $D$ e tutto è risolto.
Una analisi strutturale inizia sempre con una analisi cinematica per capire con che tipo di struttura si ha a che fare, se è labile (anche "infinitesimamente"), isostatica, iperstatica...
Questo l'avevo pensato anchio, ma il problema è che non ho ancora ben capito se nel caso in cui un carrello spacchi la struttura, la sua reazione possegga o no la componente orizzontale o abbia soltanto la componente verticale, perche (dimmi se sbaglio) il mio modo di ragionare è stato prima vedere come il carico esterno si ripartiva sui vincoli esterni (il carrello e l'appoggio) e poi analizzare i vincoli interni (le cerniere), ma a questo punto non so come comportarmi nel punto del carrello se pensarlo come un carrello o una cerniera, e ho dei problemi per trovarmi le reazioni vincolari per tracciare la curva delle pressioni
Quando analizzi la struttura è sempre opportuno dividere i vincoli esterni dai vincoli interni.
Se hai calcolato le reazioni vincolari sostituisci ai vincoli le forze corrispondenti, poi procedi all’analisi della struttura.
In $A$ hai una cerniera (vincolo interno) e un carrello (vincolo esterno) quindi sostituisci il carrello con una forza verticale. In $E$ una cerniera (vincolo esterno) , quindi al posto della cerniera metti due forze una verticale e una orizzontale.
"...la sua reazione possegga o no la componente orizzontale o abbia soltanto la componente verticale", la risposta è implicita, se spingi un'automobile in folle si muove o non si muove?.
Se hai calcolato le reazioni vincolari sostituisci ai vincoli le forze corrispondenti, poi procedi all’analisi della struttura.
In $A$ hai una cerniera (vincolo interno) e un carrello (vincolo esterno) quindi sostituisci il carrello con una forza verticale. In $E$ una cerniera (vincolo esterno) , quindi al posto della cerniera metti due forze una verticale e una orizzontale.
"...la sua reazione possegga o no la componente orizzontale o abbia soltanto la componente verticale", la risposta è implicita, se spingi un'automobile in folle si muove o non si muove?.
Metti da parte per il momento le forze che si scambiano i corpi, concentrati sull'analisi cinematica, che consiste nel confronto tra i gradi di libertà posseduti da ogni corpo libero di muoversi (in questo caso sul piano) e i gradi di vincolo presenti. Questo perchè non è detto che le equazioni cardinali della statica applicate ad ogni corpo siano valide, lo sono solo se è possibile che il sistema di forze sia equilibrato. L'analisi cinematica è necessaria per capire se è possibile o meno l'equilibrio, se c'è equilibrio tra forze ma solo in determinate configurazioni, stabile o instabile, se è necessario considerare la resistenza alle deformazioni dei corpi per risolvere (caso iperstatico).
Metti da parte per il momento le forze che si scambiano i corpi, concentrati sull'analisi cinematica, che consiste nel confronto tra i gradi di libertà posseduti da ogni corpo libero di muoversi (in questo caso sul piano) e i gradi di vincolo presenti. Questo perchè non è detto che le equazioni cardinali della statica applicate ad ogni corpo siano valide, lo sono solo se è possibile che il sistema di forze sia equilibrato. L'analisi cinematica è necessaria per capire se è possibile o meno l'equilibrio, se c'è equilibrio tra forze ma solo in determinate configurazioni, stabile o instabile, se è necessario considerare la resistenza alle deformazioni dei corpi per risolvere (caso iperstatico).
In questo caso la struttura risulta isostatica(9 gradi di libertà contro 9 gradi di vincolo) e non labile perchè interamente riducibile ad un arco a 3 cerniere.
Ps:potreste spiegarmi cosa è la curva delle pressioni e come si traccia?
Grazie mille.
michele.
In questo caso la struttura risulta isostatica(9 gradi di libertà contro 9 gradi di vincolo) e non labile perchè interamente riducibile ad un arco a 3 cerniere.
Ps:potreste spiegarmi cosa è la curva delle pressioni e come si traccia?
Grazie mille.
michele.
è isostatica giusto! In quello che chiami "carrello che spacca la struttura" infatti non c'è solo un carrello ma anche una cerniera tra le due aste. Il carrello ha solo reazione diretta verticalmente, mentre la forza che si scambiano le due aste con la cerniera può avere una direzione qualsiasi.
La curva delle pressioni non so cosa sia.
La curva delle pressioni non so cosa sia.
Ho paura che per risolvere le azioni interne tu debba fare un bel sistemino
L' ho risolta con il metodo grafico.
Una volta analizzato come si ripartiva sui vincoli esterni; ho costruito il triangolo di equilibrio per ogni tratto..Comunque per chi non lo sapesse(magari la chiamate in un altro modo).. La curva delle pressioni prende anche il nome di poligono delle pressioni o luogo delle successive risultanti. In breve, si indica con c.d.p.
La denominazione "luogo delle successive risultanti" deriva dal fatto che la curva delle pressioni può essere definita come luogo delle rette d'azione delle successive risultanti, intendendo per successive risultanti la successione di vettori che un ideale osservatore ricaverebbe se calcolasse la risultante di tutte le forze incontrate nel percorrere l'asse geometrico della struttura a partire da un suo estremo, man mano che al sistema di forze già "viste" si aggiunge una nuova forza. Ogni lato del poligono è associato ad un tratto di struttura compreso tra i punti di applicazione di due forze consecutive, che possono essere forze esterne o reazioni vincolari, e rappresenta la retta d'azione della risultante di tutte le forze che precedono il tratto di struttura cui è associato.
Se sulla struttura sono presenti carichi distribuiti, il poligono delle pressioni può anche avere tratti curvi. In ogni caso, la curva delle pressioni va sempre ricercata applicando la definizione, ovvero, immaginando di percorrere la struttura a partire da un suo estremo e calcolando la risultante delle forze che si incontrano via via. In ultima analisi, dunque, il problema della costruzione della curva delle pressioni si risolve in un problema di ricerca della risultante di un sistema di forze.
Una volta analizzato come si ripartiva sui vincoli esterni; ho costruito il triangolo di equilibrio per ogni tratto..Comunque per chi non lo sapesse(magari la chiamate in un altro modo).. La curva delle pressioni prende anche il nome di poligono delle pressioni o luogo delle successive risultanti. In breve, si indica con c.d.p.
La denominazione "luogo delle successive risultanti" deriva dal fatto che la curva delle pressioni può essere definita come luogo delle rette d'azione delle successive risultanti, intendendo per successive risultanti la successione di vettori che un ideale osservatore ricaverebbe se calcolasse la risultante di tutte le forze incontrate nel percorrere l'asse geometrico della struttura a partire da un suo estremo, man mano che al sistema di forze già "viste" si aggiunge una nuova forza. Ogni lato del poligono è associato ad un tratto di struttura compreso tra i punti di applicazione di due forze consecutive, che possono essere forze esterne o reazioni vincolari, e rappresenta la retta d'azione della risultante di tutte le forze che precedono il tratto di struttura cui è associato.
Se sulla struttura sono presenti carichi distribuiti, il poligono delle pressioni può anche avere tratti curvi. In ogni caso, la curva delle pressioni va sempre ricercata applicando la definizione, ovvero, immaginando di percorrere la struttura a partire da un suo estremo e calcolando la risultante delle forze che si incontrano via via. In ultima analisi, dunque, il problema della costruzione della curva delle pressioni si risolve in un problema di ricerca della risultante di un sistema di forze.
Ne ho sentito parlare in termini di sollecitazione a taglio, sforzo normale e momento flettente calcolati in funzione della coordinata assiale della trave. Le tensioni (o pressioni) che ne risultano per sistemi piani normalmente sono superfici espresse in funzione della coordinata assiale e quella normale.
Potreste pubblicare i risultati delle reazioni della struttura?
intendo i valori reali.
grazie mille.
michele.
intendo i valori reali.
grazie mille.
michele.
Ciao, ho dato un’occhiata agli equilibri impostati in apertura.
L’equilibrio adottato per determinare le azioni esterne è corretto mentre per gli equilibri interni credo sia stata fatta un po’ di confusione infatti la reazione vincolare in A è stata conteggiata 2 volte (sia nell'equilibrio dell'asta I che in quello dell'asta III). Ipotizzando di attribuire tale reazione alla sola asta III (sarà infatti poi di competenza della cerniera interna in A trasmettere tale reazione anche all'asta I) l'equilibrio verticale dell'asta I sarebbe:
$V_A+V_C=0$
Vi è poi un'incongruenza nell'equilibrio alla rotazione dell'asta II, infatti da gli altri equilibri sembra che le reazioni interne in C ed in D siano state considerate parallele ai tratti AB ed BC ne segue pertanto che l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto C è dato dall'equazione:
$-V_D*l-H_D*l=0$
ovviamente, in questo caso, tale precisazione non muta il risultato; ho preferito tuttavia far nota tale incongruenza per garantire una certa correttezza formale al problema trattato.
Dall’equilibrio così impostato si ottengono 9 equazioni per determinare 6 incognite.
È evidente quindi che il sistema potrà essere risolto adottando solo le equazioni relative a due aste, in particolare sfruttando le equazioni relative all’asta I ed all’asta II si avrà:
$[(1, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 2, -1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 0, 1), (0, 0, -1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 0)] * [(H_A), (V_A), (H_C), (V_C) , (H_D), (V_D)] = 2ql*[(-1), (0), (-1), (0) , (0), (0)]$
Da cui:
$[(H_A), (V_A), (H_C), (V_C) , (H_D), (V_D)] = 2ql/3*[(-2), (-1), (-1), (1) , (-1), (1)]$
Le equazioni dell’asta III possono, infine, essere utilizzate per verificare i risultati ottenuti con il precedente sistema.
Ciao
N.B.: risolvere la struttura cercando l’equilibrio di ogni singola asta, come in questo caso, comporta un onere di calcolo troppo gravoso per giustificare tale approccio, è infatti ad esso preferibile adottare uno schema ad albero (o a grafo) così da operare con le sole equazioni strettamente necessarie (come peraltro già suggerito).
L’equilibrio adottato per determinare le azioni esterne è corretto mentre per gli equilibri interni credo sia stata fatta un po’ di confusione infatti la reazione vincolare in A è stata conteggiata 2 volte (sia nell'equilibrio dell'asta I che in quello dell'asta III). Ipotizzando di attribuire tale reazione alla sola asta III (sarà infatti poi di competenza della cerniera interna in A trasmettere tale reazione anche all'asta I) l'equilibrio verticale dell'asta I sarebbe:
$V_A+V_C=0$
Vi è poi un'incongruenza nell'equilibrio alla rotazione dell'asta II, infatti da gli altri equilibri sembra che le reazioni interne in C ed in D siano state considerate parallele ai tratti AB ed BC ne segue pertanto che l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto C è dato dall'equazione:
$-V_D*l-H_D*l=0$
ovviamente, in questo caso, tale precisazione non muta il risultato; ho preferito tuttavia far nota tale incongruenza per garantire una certa correttezza formale al problema trattato.
Dall’equilibrio così impostato si ottengono 9 equazioni per determinare 6 incognite.
È evidente quindi che il sistema potrà essere risolto adottando solo le equazioni relative a due aste, in particolare sfruttando le equazioni relative all’asta I ed all’asta II si avrà:
$[(1, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 2, -1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 0, 1), (0, 0, -1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 0)] * [(H_A), (V_A), (H_C), (V_C) , (H_D), (V_D)] = 2ql*[(-1), (0), (-1), (0) , (0), (0)]$
Da cui:
$[(H_A), (V_A), (H_C), (V_C) , (H_D), (V_D)] = 2ql/3*[(-2), (-1), (-1), (1) , (-1), (1)]$
Le equazioni dell’asta III possono, infine, essere utilizzate per verificare i risultati ottenuti con il precedente sistema.
Ciao
N.B.: risolvere la struttura cercando l’equilibrio di ogni singola asta, come in questo caso, comporta un onere di calcolo troppo gravoso per giustificare tale approccio, è infatti ad esso preferibile adottare uno schema ad albero (o a grafo) così da operare con le sole equazioni strettamente necessarie (come peraltro già suggerito).
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