[Scienza delle Costruzioni] Calcolo linea elastica struttura iperstatica
Buonasera a tutti, oggi vi propongo un esercizio in cui occorre calcolare la linea elastica di una struttura avente come vincoli una cerniera e un carrello.
Dalle equazioni all'equilibrio trovo che le incognite da determinare sono 5, 3 relative all'incastro e 2 relative alla cerniera: avrò quindi bisogno di 5 equazioni, di cui le prime 3 derivano direttamente dalla scrittura delle reazioni vincolari.
A questo punto ho eliminato la cerniera, così da avere una struttura ad L incastrata soggetta a due forze incognite, $O_A$ e $V_A$ (O = orizzontale, V = verticale). Per determinare le due equazioni mancanti ho innanzitutto posto che l'azione di $V_A$ deformi il tratto verticale della struttura di una "freccia" uguale a quella del tratto orizzontale (vedi figura), trovando così: $(V_AL^3)/(3EJ_z)$ = $(M_CL^2)/(EJ_z)$, ovvero $V_A = 3M_C/L$. Adesso ho proseguito nei ragionamenti, andando a considerare il contributo della forza ignota orizzontale: ho posto in questo caso che la deformazione sul tratto verticale data da $P$ e $O_A$ sia uguale a quella che si verifica sul tratto orizzontale, tuttavia ho difficoltà a trasformare questa ipotesi (della quale non sono sicuro, ma che mi sembra fisicamente abbastanza calzante) in formule. Ho provato a scrivere la freccia totale del tratto verticale come $-(P(L^2/4))/(2EJ_z)((L/2)/3 -L)$ + $-(O_A(L/3 - L))/(2EJ_z)$, riconducendomi al caso notevole di una trave soggetta a due forze (una nell'estremo e una in mezzeria), però qui mi sono bloccato perché non capisco cosa poi posso provare a fare (porre tutto =0? Porre tutto = allo spostamento trovato per la forza incognita verticale?).
Chiedo gentilmente a qualcuno di chiarirmi un po' le idee e fornirmi qualche consiglio su come proseguire (ed eventualmente su cosa ho sbagliato), vi ringrazio per la pazienza
Intanto ecco la traccia e il disegnino che ho fatto per illustrare i miei ragionamenti (ho evidenziato gli angoli uguali per sottolineare il fatto che le "frecce" saranno le stesse).
Dalle equazioni all'equilibrio trovo che le incognite da determinare sono 5, 3 relative all'incastro e 2 relative alla cerniera: avrò quindi bisogno di 5 equazioni, di cui le prime 3 derivano direttamente dalla scrittura delle reazioni vincolari.
A questo punto ho eliminato la cerniera, così da avere una struttura ad L incastrata soggetta a due forze incognite, $O_A$ e $V_A$ (O = orizzontale, V = verticale). Per determinare le due equazioni mancanti ho innanzitutto posto che l'azione di $V_A$ deformi il tratto verticale della struttura di una "freccia" uguale a quella del tratto orizzontale (vedi figura), trovando così: $(V_AL^3)/(3EJ_z)$ = $(M_CL^2)/(EJ_z)$, ovvero $V_A = 3M_C/L$. Adesso ho proseguito nei ragionamenti, andando a considerare il contributo della forza ignota orizzontale: ho posto in questo caso che la deformazione sul tratto verticale data da $P$ e $O_A$ sia uguale a quella che si verifica sul tratto orizzontale, tuttavia ho difficoltà a trasformare questa ipotesi (della quale non sono sicuro, ma che mi sembra fisicamente abbastanza calzante) in formule. Ho provato a scrivere la freccia totale del tratto verticale come $-(P(L^2/4))/(2EJ_z)((L/2)/3 -L)$ + $-(O_A(L/3 - L))/(2EJ_z)$, riconducendomi al caso notevole di una trave soggetta a due forze (una nell'estremo e una in mezzeria), però qui mi sono bloccato perché non capisco cosa poi posso provare a fare (porre tutto =0? Porre tutto = allo spostamento trovato per la forza incognita verticale?).
Chiedo gentilmente a qualcuno di chiarirmi un po' le idee e fornirmi qualche consiglio su come proseguire (ed eventualmente su cosa ho sbagliato), vi ringrazio per la pazienza
Intanto ecco la traccia e il disegnino che ho fatto per illustrare i miei ragionamenti (ho evidenziato gli angoli uguali per sottolineare il fatto che le "frecce" saranno le stesse).
Risposte
Edit: pensandoci ancora su, ho ipotizzato che, a causa della presenza della cerniera, gli spostamenti verticali e orizzontali totali sul punto A debbano essere nulli. Quindi, considerando prima tutti quelli orizzontali e poi tutti quelli verticali, dovrei avere le due equazioni rimaste. La prima equazione (spostamenti verticali) l'ho impostata (e, sostituendo i risultati della soluzione, è verificata la condizione di equazione 0 = 0, quindi almeno fisicamente penso che sia buona), invece la seconda non riesco bene a buttarla giù.
La prima equazione, relativa agli spostamenti totali verticali, l'ho posta come: $-(V_AL^3)/(3EJ_z) +(V_AL^3)/(EJ_z) -(O_AL^3)/(2EJ_z) -(PL^3)/(2EJ_z) = 0$. I singoli termini li ho trovati così: il primo è l'apporto di $V_A$, generico carico applicato sulla punta della mensola BC; il secondo termine è quello del momento di $V_A$, che spingendo verso l'alto distorce la mensola BC e quindi comunque alza il punto A; il terzo e il quarto li ho immaginati spostando $P$ e $O_A$ su B, in modo che si scarichino direttamente sulla trave BC, sostituendoli però con due momenti di trasporto che mi hanno portato appunto a scrivere quegli ultimi due termini dell'equazione.
Sulla seconda equazione, relativa agli spostamenti totali orizzontali, sto trovando difficoltà perché non so cosa pensare: infatti non so se devo continuare a considerare solo i momenti di trasporto (quindi $P$ e $OA$ scaricate), in congruenza a ciò che ho pensato prima, oppure se, trattandosi di un'altra analisi, posso ripristinare le due singole forze; inoltre non capisco se anche $V_A$ partecipi a tale spostamento, perché io ho immaginato che, spingendo verso l'alto, comunque sposti orizzontalmente di un po' il punto A a causa del fatto che BC si pieghi.
Qualcuno può aiutarmi gentilmente a costruire quest'ultima equazione, dandomi qualche consiglio?
PS. riguardo il passaggio dello "scaricare" la forza al vincolo aggiungendo momento di trasporto, è stato spesso fatto a lezione dall'esercitatore e quindi, ammesso che sia corretto, vi chiederei di agevolarmi nel rispettare questa scelta risolutiva, così almeno ho a che fare con qualcosa di familiare e magari riesco a togliermi prima tutti i dubbi.
Vi ringrazio ancora per la pazienza e la disponibilità, buona serata
La prima equazione, relativa agli spostamenti totali verticali, l'ho posta come: $-(V_AL^3)/(3EJ_z) +(V_AL^3)/(EJ_z) -(O_AL^3)/(2EJ_z) -(PL^3)/(2EJ_z) = 0$. I singoli termini li ho trovati così: il primo è l'apporto di $V_A$, generico carico applicato sulla punta della mensola BC; il secondo termine è quello del momento di $V_A$, che spingendo verso l'alto distorce la mensola BC e quindi comunque alza il punto A; il terzo e il quarto li ho immaginati spostando $P$ e $O_A$ su B, in modo che si scarichino direttamente sulla trave BC, sostituendoli però con due momenti di trasporto che mi hanno portato appunto a scrivere quegli ultimi due termini dell'equazione.
Sulla seconda equazione, relativa agli spostamenti totali orizzontali, sto trovando difficoltà perché non so cosa pensare: infatti non so se devo continuare a considerare solo i momenti di trasporto (quindi $P$ e $OA$ scaricate), in congruenza a ciò che ho pensato prima, oppure se, trattandosi di un'altra analisi, posso ripristinare le due singole forze; inoltre non capisco se anche $V_A$ partecipi a tale spostamento, perché io ho immaginato che, spingendo verso l'alto, comunque sposti orizzontalmente di un po' il punto A a causa del fatto che BC si pieghi.
Qualcuno può aiutarmi gentilmente a costruire quest'ultima equazione, dandomi qualche consiglio?
PS. riguardo il passaggio dello "scaricare" la forza al vincolo aggiungendo momento di trasporto, è stato spesso fatto a lezione dall'esercitatore e quindi, ammesso che sia corretto, vi chiederei di agevolarmi nel rispettare questa scelta risolutiva, così almeno ho a che fare con qualcosa di familiare e magari riesco a togliermi prima tutti i dubbi.
Vi ringrazio ancora per la pazienza e la disponibilità, buona serata
Anche se in ritardo, direi che la scelta da te operata per risolvere l'iperstatica non è la più rapida, anzi, presenta molti termini da calcolare. Perciò prima ti presento come avrei risolto io il problema: avrei svincolato con una cerniera in B e con un altra in C. Sistema di 2 equazioni in 2 incognite e pochi termini da scrivere (tutti noti e senza dover fare strane cose).
Passiamo al tuo sistema di risoluzione del problema, rimuovendo la cerniera in A tu introduci due forze che devono annullare gli spostamenti $u_A$ e $v_A$. Partiamo dall'equazione che bilancia gli spostamenti in $v_A$ perché più semplice:
\(\displaystyle v_B(P)+v_B(V_A)+v_B(O_A)=0 \)
Lo spostamento verticale dovuto a $P$ è frutto del momento che questo genera $P\frac{l}{2}$ mentre lo spostamento dovuto a $V_A$ è la forza stessa che viene caricata in punta sulla mensola BC. Per capire come si comporta infine lo spostamento verticale dovuto alla componente $O_A$ devi pensare all trave a L che hai come la somma di due strutture:
1) La trave BC è infinitamente rigida e AB invece si flette
2) La trave BC è flessibile e AB è infinitamente rigida
La 1 se riesci a immaginartela non da nessun contributo verticale. La 2 invece si a causa del momento che si forma $O_A l$ quindi
\(\displaystyle \frac{(P\frac{l}{2})l^2}{2EJ} -\frac{V_A l^3}{3EJ} -\frac{(O_A l)l^2}{2EJ}=0\)
Veniamo ora allo spostamento orizzontale $u_A$ che è più problematico, perché ha un po' di termini. Tenendo buona l'idea descritta nei punti 1 e 2 procediamo a scrivere $u_A(P)$
\(\displaystyle \frac{P\left(\frac{l}{2}\right)^3}{3EJ}+ \frac{P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2EJ} \cdot \left(\frac{l}{2}\right)+\frac{\left(P\frac{l}{2}\right)l}{EJ}\cdot l\)
Breve descrizione: il primo termine è lo spostamento dovuto a $P$ nel punto di $P$ il secondo è la componente di moto rigido che si ha da $P$ sino al punto A e il terzo è dovuto al moto rigido $\phi_B l$ che si ha nello schema 2
Passiamo ora a $u_A(V_A)$
\(\displaystyle -\frac{V_A l^2}{2EJ} \cdot l \)
Infine lo spostamento $u_A(O_A)$
\(\displaystyle -\frac{O_A l^3}{3EJ} -\frac{\left(O_A l\right) l}{EJ}\cdot l \)
scrivendo perciò $u_A(P) +u_A(V_A) +u_A(O_A)=0$ e mettendo a sistema com $v_B(P)+v_B(V_A)+v_B(O_A)=0$ ottieni proprio come risultato $V_A=\frac{9P}{56}$ e $O_A=\frac{11P}{28}$
Spero ti sia utile, se hai dubbi chiedi pure.
Passiamo al tuo sistema di risoluzione del problema, rimuovendo la cerniera in A tu introduci due forze che devono annullare gli spostamenti $u_A$ e $v_A$. Partiamo dall'equazione che bilancia gli spostamenti in $v_A$ perché più semplice:
\(\displaystyle v_B(P)+v_B(V_A)+v_B(O_A)=0 \)
Lo spostamento verticale dovuto a $P$ è frutto del momento che questo genera $P\frac{l}{2}$ mentre lo spostamento dovuto a $V_A$ è la forza stessa che viene caricata in punta sulla mensola BC. Per capire come si comporta infine lo spostamento verticale dovuto alla componente $O_A$ devi pensare all trave a L che hai come la somma di due strutture:
1) La trave BC è infinitamente rigida e AB invece si flette
2) La trave BC è flessibile e AB è infinitamente rigida
La 1 se riesci a immaginartela non da nessun contributo verticale. La 2 invece si a causa del momento che si forma $O_A l$ quindi
\(\displaystyle \frac{(P\frac{l}{2})l^2}{2EJ} -\frac{V_A l^3}{3EJ} -\frac{(O_A l)l^2}{2EJ}=0\)
Veniamo ora allo spostamento orizzontale $u_A$ che è più problematico, perché ha un po' di termini. Tenendo buona l'idea descritta nei punti 1 e 2 procediamo a scrivere $u_A(P)$
\(\displaystyle \frac{P\left(\frac{l}{2}\right)^3}{3EJ}+ \frac{P\left(\frac{l}{2}\right)^2}{2EJ} \cdot \left(\frac{l}{2}\right)+\frac{\left(P\frac{l}{2}\right)l}{EJ}\cdot l\)
Breve descrizione: il primo termine è lo spostamento dovuto a $P$ nel punto di $P$ il secondo è la componente di moto rigido che si ha da $P$ sino al punto A e il terzo è dovuto al moto rigido $\phi_B l$ che si ha nello schema 2
Passiamo ora a $u_A(V_A)$
\(\displaystyle -\frac{V_A l^2}{2EJ} \cdot l \)
Infine lo spostamento $u_A(O_A)$
\(\displaystyle -\frac{O_A l^3}{3EJ} -\frac{\left(O_A l\right) l}{EJ}\cdot l \)
scrivendo perciò $u_A(P) +u_A(V_A) +u_A(O_A)=0$ e mettendo a sistema com $v_B(P)+v_B(V_A)+v_B(O_A)=0$ ottieni proprio come risultato $V_A=\frac{9P}{56}$ e $O_A=\frac{11P}{28}$
Spero ti sia utile, se hai dubbi chiedi pure.
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