[Scienza delle Costruzioni] Calcolare il valore della tensione per un elementino
Ciao a tutti ragazzi. Oggi ho appena sostenuto l'esame di Scienza delle costruzioni e mi è capitato un esercizio al quale purtroppo non ho saputo ben rispondere 
Il testo è il seguente:
Assegnato in un punto l'operatore tensione S (cioè come riportato in figura) determinare il valore della tensione per un elementino avente normale n assegnata. Determinare inoltre nel punto il modulo del vettore tensione, la componente normale [tex]\sigma _{n}[/tex] e la componente tangenziale [tex]\tau _{nm}[/tex].
n= [tex]\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
L'elementino infinitesiomo è il seguente:
Sinceramente alla seconda domanda non ho saputo affatto rispondere
Mentre riguardo alla determinazione del valore della tensione ho cosi fatto:
[tex]t^{n} = S n[/tex] dove per me S= [tex]\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
e moltiplicandola per n ho ottenuto
[tex]\begin{bmatrix}3\frac{ \sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} \\ \frac{ \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
Secondo voi è giusto? Se no, come avrei dovuto procedere? Non ne ho la piu pallida idea
e per la seconda parte come avrei dovuto procedere?
Grazie infinite
Il testo è il seguente:
Assegnato in un punto l'operatore tensione S (cioè come riportato in figura) determinare il valore della tensione per un elementino avente normale n assegnata. Determinare inoltre nel punto il modulo del vettore tensione, la componente normale [tex]\sigma _{n}[/tex] e la componente tangenziale [tex]\tau _{nm}[/tex].
n= [tex]\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
L'elementino infinitesiomo è il seguente:
Sinceramente alla seconda domanda non ho saputo affatto rispondere
Mentre riguardo alla determinazione del valore della tensione ho cosi fatto:
[tex]t^{n} = S n[/tex] dove per me S= [tex]\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
e moltiplicandola per n ho ottenuto
[tex]\begin{bmatrix}3\frac{ \sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} \\ \frac{ \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
Secondo voi è giusto? Se no, come avrei dovuto procedere? Non ne ho la piu pallida idea
e per la seconda parte come avrei dovuto procedere?
Grazie infinite
Risposte
Vediamo che cosa mi ricordo di SdC….
Secondo me, la matrice S è giusta. Quindi hai moltiplicato $\vecn$ per la matrice, riga per colonna ovviamente, e hai ottenuto la tensione $\vect$….anche questo mi pare giusto.
Il modulo di $\vect$ si ottiene come il modulo di un vettore qualunque : radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti, no?
LA componente normale dovrebbe essere $\vect*\vecn$, proiezione di $\vect$ sulla normale $\vecn$. Quindi troverei il vettore componente normale $\vect_n$, di cui sai il modulo e il verso (hai appena calcolato la componente normale !) , e il versore, che è $\vecn$.
Per la componente tangenziale $\vect_t$, prima calcolerei $\vect - \vect_n$ , e poi ne troverei il modulo.
MA sentiamo gli illustrissimi JoJo, Elwood, e chiunque altro voglia e sappia!
Loro sono più svegli di me, io sono un po' rinco.
Secondo me, la matrice S è giusta. Quindi hai moltiplicato $\vecn$ per la matrice, riga per colonna ovviamente, e hai ottenuto la tensione $\vect$….anche questo mi pare giusto.
Il modulo di $\vect$ si ottiene come il modulo di un vettore qualunque : radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti, no?
LA componente normale dovrebbe essere $\vect*\vecn$, proiezione di $\vect$ sulla normale $\vecn$. Quindi troverei il vettore componente normale $\vect_n$, di cui sai il modulo e il verso (hai appena calcolato la componente normale !) , e il versore, che è $\vecn$.
Per la componente tangenziale $\vect_t$, prima calcolerei $\vect - \vect_n$ , e poi ne troverei il modulo.
MA sentiamo gli illustrissimi JoJo, Elwood, e chiunque altro voglia e sappia!
Loro sono più svegli di me, io sono un po' rinco.
"navigatore":
Il modulo di $\vect$ si ottiene come il modulo di un vettore qualunque : radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti, no?
Quindi è questo che dovrei fare?
[tex]\left | t \right | =\sqrt{3^{2} + 3^{2} + 3^{2}+ 3^{2}+ 2^{2}+ 2^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{46}[/tex]
"navigatore":
LA componente normale dovrebbe essere...
Dovrei fare cosi?
[tex]\begin{bmatrix}3\frac{ \sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} \\ \frac{ \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
\frac{1}{2}
\end{bmatrix}[/tex]
E' esatto?
"navigatore":
Per la componente tangenziale prima calcolerei [tex]t - t_{n}[/tex]
Verrebbe cosi giusto?
[tex]t_{t} = \begin{bmatrix}
3\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sqrt{2}-1\\
\frac{1}{2} (\sqrt{2}-1)
\end{bmatrix}[/tex]
ora che ho trovato la componente tangenziale [tex]t_{t}[/tex] perchè mi dici che devo trovarne il modulo??
Grazie mille per la pazienza
Una cosa per volta…..
Ho riguardato con più calma l'esercizio, a cui prima avevo solo dato un'occhiata superficiale.
Certamente $\vecn$ è un versore, poiché il suo modulo vale $1$ .
Ma guardando bene la figura, direi che $\sigma_y = -2$ e $\sigma_z = -1$ , perché sono entrambe di compressione, no?
Quindi la matrice dovrebbe essere :
S= [tex]\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]
perciò moltiplicandola righe per colonna per $\vecn$ si ottiene il vettore colonna :
[tex]\begin{bmatrix}3\frac{ \sqrt{2}}{2} \\ -\sqrt{2} \\ -\frac{ \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
Adesso, date queste componenti $(t_x, t_y, t_z)^T$ di $\vect$ , come si calcola il modulo?
$ t = sqrt (t_x^2 + t_y^2 + t_z^2) $
Questo intendevo con "radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti" . E viene fuori : $t = 7$ , mi sembra. Comunque verifica anche tu.
Ora, per calcolare la componente di $\vect$ normale, devi eseguire il prodotto scalare $\vect*\vecn$ . Sai come si fa?
Hai : $\vect = 3sqrt2/2\veci -sqrt2vecj -sqrt2/2veck$
$vecn = 0*\veci +sqrt2/2\vecj + sqrt2/2\veck$
forza.
Ho riguardato con più calma l'esercizio, a cui prima avevo solo dato un'occhiata superficiale.
"Marcoxt92":
…….
Il testo è il seguente:
Assegnato in un punto l'operatore tensione S (cioè come riportato in figura) determinare il valore della tensione per un elementino avente normale n assegnata. Determinare inoltre nel punto il modulo del vettore tensione, la componente normale [tex]\sigma _{n}[/tex] e la componente tangenziale [tex]\tau _{nm}[/tex].
n= [tex]\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
Certamente $\vecn$ è un versore, poiché il suo modulo vale $1$ .
Ma guardando bene la figura, direi che $\sigma_y = -2$ e $\sigma_z = -1$ , perché sono entrambe di compressione, no?
Quindi la matrice dovrebbe essere :
S= [tex]\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]
perciò moltiplicandola righe per colonna per $\vecn$ si ottiene il vettore colonna :
[tex]\begin{bmatrix}3\frac{ \sqrt{2}}{2} \\ -\sqrt{2} \\ -\frac{ \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}[/tex]
Adesso, date queste componenti $(t_x, t_y, t_z)^T$ di $\vect$ , come si calcola il modulo?
$ t = sqrt (t_x^2 + t_y^2 + t_z^2) $
Questo intendevo con "radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti" . E viene fuori : $t = 7$ , mi sembra. Comunque verifica anche tu.
Ora, per calcolare la componente di $\vect$ normale, devi eseguire il prodotto scalare $\vect*\vecn$ . Sai come si fa?
Hai : $\vect = 3sqrt2/2\veci -sqrt2vecj -sqrt2/2veck$
$vecn = 0*\veci +sqrt2/2\vecj + sqrt2/2\veck$
forza.
Ok, procediamo per gradi.
Il valore 7 del modulo del vettore tensione ridà anche a me.
Ora:
[tex]t\cdot n = 3\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 + (-\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3}{2}[/tex]
E' corretto?
Il valore 7 del modulo del vettore tensione ridà anche a me.
Ora:
[tex]t\cdot n = 3\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 + (-\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3}{2}[/tex]
E' corretto?
Sissignore.
Adesso che devi fare?
Adesso che devi fare?
"navigatore":
Sissignore.
Adesso che devi fare?
Ora devo trovare la componente tangenziale e devo fare, come mi avevi scritto prima: [tex]t-t_{n}[/tex]
[tex]t-t_{n} = \begin{bmatrix}
3\frac{\sqrt{2}}{2}\\
-\sqrt{2}\\
-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix} - (- \frac{3}{2})[/tex]
Ma come devo procedere? Ho qualche lacuna in algebra e geometria
ATTENZIONE : il modulo di $vect$ non è 7 ma $ sqrt7 $ !!!
Il calcolo richiesto della componente $t_t$ tangente al piano si può fare in diversi modi.
Il più semplice è questo.
1) Il prodotto scalare tra i due vettori $\vect$ e $vecn$, che dà la componente normale $t_n$ , è anche uguale a :
$ t*n*cos\alpha$ , giusto? E allora puoi scrivere:
$ t*n*cos\alpha = \vect*\vecn$
da cui ti puoi ricavare : $cos\alpha = (\vect*\vecn)/(t*n) $ . Infatti ha tutti gli elementi che ti servono.
Noto $\alpha$, la componente "tangente" al piano è semplicemente : $t_t = t*sen\alpha$.
Infatti, il vettore $\vect$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui un cateto è $tcos\alpha$ , l'altro è $tsen\alpha$ .
2) Oppure, visto che $\vect = \vect_n + \vect_t$ , hai che : $ \vect_t = \vect - \vect_n $.
Il vettore normale $\vect_n$ è parallelo ad $\vecn$ , giusto? Quindi le sue componenti si ottengono moltiplicando per $t_n = -3/2$ quelle di $vecn$ . In altre parole : $\vect_n = -3/2\vecn$
Percio, determinato $vect_t = \vect - \vect_n $, puoi calcolarne il modulo. Dovrebbe risultare : $t_t = 2.179$ .
Nota che con il secondo procedimento hai proprio entrambi i vettori componenti di $\vect$ .
Ti consiglio di usare entrambi i procedimenti, per verifica della correttezza del risultato.
Questo è calcolo vettoriale, ti consiglio un buon ripasso.
Il calcolo richiesto della componente $t_t$ tangente al piano si può fare in diversi modi.
Il più semplice è questo.
1) Il prodotto scalare tra i due vettori $\vect$ e $vecn$, che dà la componente normale $t_n$ , è anche uguale a :
$ t*n*cos\alpha$ , giusto? E allora puoi scrivere:
$ t*n*cos\alpha = \vect*\vecn$
da cui ti puoi ricavare : $cos\alpha = (\vect*\vecn)/(t*n) $ . Infatti ha tutti gli elementi che ti servono.
Noto $\alpha$, la componente "tangente" al piano è semplicemente : $t_t = t*sen\alpha$.
Infatti, il vettore $\vect$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui un cateto è $tcos\alpha$ , l'altro è $tsen\alpha$ .
2) Oppure, visto che $\vect = \vect_n + \vect_t$ , hai che : $ \vect_t = \vect - \vect_n $.
Il vettore normale $\vect_n$ è parallelo ad $\vecn$ , giusto? Quindi le sue componenti si ottengono moltiplicando per $t_n = -3/2$ quelle di $vecn$ . In altre parole : $\vect_n = -3/2\vecn$
Percio, determinato $vect_t = \vect - \vect_n $, puoi calcolarne il modulo. Dovrebbe risultare : $t_t = 2.179$ .
Nota che con il secondo procedimento hai proprio entrambi i vettori componenti di $\vect$ .
Ti consiglio di usare entrambi i procedimenti, per verifica della correttezza del risultato.
Questo è calcolo vettoriale, ti consiglio un buon ripasso.
"navigatore":
Ma guardando bene la figura, direi che $\sigma_y = -2$ e $\sigma_z = -1$ , perché sono entrambe di compressione, no?
Quindi la matrice dovrebbe essere :
[tex]S=\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]
Ben detto navigatore (che non mi sembri affatto rinco!!!Anzi puoi solo insegnarci
) ma aggiungerei che anche la tensione tangenziale in direzione 1 ha un cambiamento di segno.La $\tau_{31}$ infatti ruota il concio in senso antiorario, quindi per convenzione è negativa. Per cui la matrice è
[tex]S=\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \end{bmatrix}[/tex]
"ELWOOD":
[quote="navigatore"]
Ma guardando bene la figura, direi che $ \sigma_y = -2 $ e $ \sigma_z = -1 $ , perché sono entrambe di compressione, no?
Quindi la matrice dovrebbe essere :
\( S=\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix} \)
Ben detto navigatore (che non mi sembri affatto rinco!!!Anzi puoi solo insegnarci
) ma aggiungerei che anche la tensione tangenziale in direzione 1 ha un cambiamento di segno.La $ \tau_{31} $ infatti ruota il concio in senso antiorario, quindi per convenzione è negativa. Per cui la matrice è
\( S=\begin{bmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \end{bmatrix} \)[/quote]
Ciao Elwood. Come stai?
Non sono d'accordo. Il segno della $ \tau_{31} $ è positivo : si tratta dello sforzo che agisce sulla faccia di normale 3 (o asse z) nella direzione dell'asse 1 (o asse x) : guarda la faccia orizzontale in alto. È positivo, no?
E poi, la matrice deve essere simmetrica rispetto alla diagonale principale, se ricordo bene !
Sulla faccia inferiore, la normale uscente è nel verso negativo dell'asse 3, e pure lo sforzo è nel verso negativo dell'asse 1 : è giusto così, per l'equilibrio del cubetto elementare.
Ma sentiamo anche il prof JoJo !
Si sulla simmetria hai indubbiamente ragione....e anche sulla direzione delle $\tau$
Ho letto male il disegno
Scusate...la vecchiaia!
Ho letto male il disegno
Scusate...la vecchiaia!
Ah, come ti capisco! Si vede che i nostri neuroni cominciano a morire lentamente (ma inesorabilmente... ).
).
bè....speriamo ne duri qualcuno!
Grazie ragazzi, spero di aver capito
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