[Scienza delle Costruzioni] Assi di inerzia e calcolo del momento di una sezione
Ciao ragazzi, scusate se faccio una domanda che è stata fatta altre volte, ma non ho trovato una risposta che mi facesse capire bene quello che sto per chiedervi.
Dunque, guardando l'ultimo compito che è stato proposto dal mio professore http://www.uniroma2.it/ppg/st/lezioni/st_130911_sc.pdf[/url]
nel quarto esercizio al terzo punto chiede di stabilire una relazione tra il momento d'inerzia rispetto all'asse S e l'asse Y. Ora, essendo Y un asse di simmetria, dovrebbe essere anche principale di inerzia (e quindi o massimo o minimo), di conseguenza mi aspetto che S sia o minore o maggiore... e invece è uguale. Il professore dice che in questi casi è visibile ad occhio, senza bisogno di fare ulteriori calcoli, ma non ho capito proprio come si ricava. Me lo spieghereste?
Altre volte invece prende una coppia di assi, di cui uno è principale e l'altro gli è perpendicolare e non passa per il centro di massa, e chiede se sono entrambi principali d'inerzia. Anche qui si dovrebbe vedere subito, ma non ho capito come.
Ad esempio qua (pag.3 figura 3): http://www.uniroma2.it/ppg/st/lezioni/st_130702_sc.pdf
[strike]Inoltre, nel primo esercizio del primo link, all'ultimo punto chiede di trovare momento, taglio e sforzo normale nella sezione S. Per calcolarlo credo di dover spezzare la figura, ma non so bene che pezzi eliminare; ad esempio se eliminassi la porzione d'asta SA sarebbe corretto?[/strike]
Edit:
Ho trovato la soluzione alla prima e terza domanda
! Resta solo la seconda!
Edit: rettifica, ho sbagliato procedimento per la prima domanda
sono punto e a capo
Dunque, guardando l'ultimo compito che è stato proposto dal mio professore http://www.uniroma2.it/ppg/st/lezioni/st_130911_sc.pdf[/url]
nel quarto esercizio al terzo punto chiede di stabilire una relazione tra il momento d'inerzia rispetto all'asse S e l'asse Y. Ora, essendo Y un asse di simmetria, dovrebbe essere anche principale di inerzia (e quindi o massimo o minimo), di conseguenza mi aspetto che S sia o minore o maggiore... e invece è uguale. Il professore dice che in questi casi è visibile ad occhio, senza bisogno di fare ulteriori calcoli, ma non ho capito proprio come si ricava. Me lo spieghereste?
Altre volte invece prende una coppia di assi, di cui uno è principale e l'altro gli è perpendicolare e non passa per il centro di massa, e chiede se sono entrambi principali d'inerzia. Anche qui si dovrebbe vedere subito, ma non ho capito come.
Ad esempio qua (pag.3 figura 3): http://www.uniroma2.it/ppg/st/lezioni/st_130702_sc.pdf
[strike]Inoltre, nel primo esercizio del primo link, all'ultimo punto chiede di trovare momento, taglio e sforzo normale nella sezione S. Per calcolarlo credo di dover spezzare la figura, ma non so bene che pezzi eliminare; ad esempio se eliminassi la porzione d'asta SA sarebbe corretto?[/strike]
Edit:
Ho trovato la soluzione alla prima e terza domanda
! Resta solo la seconda!Edit: rettifica, ho sbagliato procedimento per la prima domanda
sono punto e a capo
Risposte
Ciao e benvenuto...
bè come dire...il tuo professore naturalmente ha "esperienza" ma conosce anche molto bene la teoria...
Infatti di che proprietà geometrica godono gli assi principali?
Se riesci a risponderti a questa domanda, riuscirai anche a rispondere al tuo quesito.
PS: Quale sarebbe la soluzione che hai trovato?
bè come dire...il tuo professore naturalmente ha "esperienza" ma conosce anche molto bene la teoria...
Infatti di che proprietà geometrica godono gli assi principali?
Se riesci a risponderti a questa domanda, riuscirai anche a rispondere al tuo quesito.
PS: Quale sarebbe la soluzione che hai trovato?
Grazie Elwood,
purtroppo nella risoluzione della prima domanda avevo fatto un errore di distrazione:
prima di tutto avevo preso la formula di traslazione del momento rispetto ad Y:
\( I_{y'}=\cos ^2\vartheta I_{y} + \sin ^2\vartheta I_{x} + \sin2\vartheta I_{xy} + m\alpha^2 +2\alpha (\sin\vartheta S_x + \cos\vartheta S_y) \)
con \(\alpha\) pari alla coordinata X dell'origine del vecchio sistema di riferimento rispetto al nuovo sistema di riferimento.
Spostando semplicemente l'origine da O a G, risulta \(\alpha = 0\) e quindi:
\( I_{y'}=\cos ^2\vartheta I_{y} + \sin ^2\vartheta I_{x} + \sin2\vartheta I_{xy} \)
a questo punto mi ero distratto e avevo considerato \(\theta = 0\) e ottenevo il risultato
Comunque per riprendere quello che mi dicevi, la proprietà degli assi principali è che dovrebbero essere anche assi di simmetria (ovviamente per densità di massa costante), ma nei due esercizi sugli assi che ho linkato, solo uno mi pare lo sia.
Il secondo che ho linkato, l'ho risolto appunto calcolando entrambi gli assi principali e poi applicando la formula del prodotto di inerzia
\( I_{x'y'}=\cos 2\vartheta I_{xy} + \sin2\vartheta (I_x -I_y)/2 + m\alpha\beta + \alpha(\cos\vartheta S_x -\sin\vartheta S_y) + \beta(\sin\vartheta S_x + cos\theta S_y) \)
e per \(\theta = \pi/4 \) e \(\alpha = \beta = 0\) otteniamo:
\( I_{\xi\eta}=(I_x -I_y)/2\)
ma \(I_x=I_y\) per cui \(I_{\xi\eta}=0\) e quindi \(\xi\) ed \(\eta\) sono principali.
Il problema in questo caso è che ho dovuto calcolare \(I_x\), l'esercizio mi chiedeva solo \(I_y\) e "ad occhio" non mi ha convinto la simmetria tra il triangolino nel 2 quadrante e le corde con la pallina nel terzo.
Hai qualche idea per caso? Non so proprio che altre proprietà applicare...
purtroppo nella risoluzione della prima domanda avevo fatto un errore di distrazione:
prima di tutto avevo preso la formula di traslazione del momento rispetto ad Y:
\( I_{y'}=\cos ^2\vartheta I_{y} + \sin ^2\vartheta I_{x} + \sin2\vartheta I_{xy} + m\alpha^2 +2\alpha (\sin\vartheta S_x + \cos\vartheta S_y) \)
con \(\alpha\) pari alla coordinata X dell'origine del vecchio sistema di riferimento rispetto al nuovo sistema di riferimento.
Spostando semplicemente l'origine da O a G, risulta \(\alpha = 0\) e quindi:
\( I_{y'}=\cos ^2\vartheta I_{y} + \sin ^2\vartheta I_{x} + \sin2\vartheta I_{xy} \)
a questo punto mi ero distratto e avevo considerato \(\theta = 0\) e ottenevo il risultato
Comunque per riprendere quello che mi dicevi, la proprietà degli assi principali è che dovrebbero essere anche assi di simmetria (ovviamente per densità di massa costante), ma nei due esercizi sugli assi che ho linkato, solo uno mi pare lo sia.
Il secondo che ho linkato, l'ho risolto appunto calcolando entrambi gli assi principali e poi applicando la formula del prodotto di inerzia
\( I_{x'y'}=\cos 2\vartheta I_{xy} + \sin2\vartheta (I_x -I_y)/2 + m\alpha\beta + \alpha(\cos\vartheta S_x -\sin\vartheta S_y) + \beta(\sin\vartheta S_x + cos\theta S_y) \)
e per \(\theta = \pi/4 \) e \(\alpha = \beta = 0\) otteniamo:
\( I_{\xi\eta}=(I_x -I_y)/2\)
ma \(I_x=I_y\) per cui \(I_{\xi\eta}=0\) e quindi \(\xi\) ed \(\eta\) sono principali.
Il problema in questo caso è che ho dovuto calcolare \(I_x\), l'esercizio mi chiedeva solo \(I_y\) e "ad occhio" non mi ha convinto la simmetria tra il triangolino nel 2 quadrante e le corde con la pallina nel terzo.
Hai qualche idea per caso? Non so proprio che altre proprietà applicare...
La simmetria è tutto!
Infatti è da questa proprietà che il tuo prof ha dedotto l'asse principale, che come vedi è perfettamente un'asse di simmetria, specchia la figura.
Altri conti non servono.
Infatti è da questa proprietà che il tuo prof ha dedotto l'asse principale, che come vedi è perfettamente un'asse di simmetria, specchia la figura.
Altri conti non servono.
Eh si, ma nel primo esercizio che ho linkato, l'asse S non è di simmetria! Sull'asse Y non avevo dubbi. Ad ogni modo ho risolto calcolando il momento rispetto all'asse X e trasportandolo sul centro di massa risulta uguale al momento sull'asse Y. A quel punto applicando ancora il trasporto (solo una rotazione per essere precisi) torna tutto.
Non è immediato, non è "ad occhio", ma alla fine dà il risultato
Nella seconda cosa che avevo chiesto, il punto è sempre lo stesso: rispetto all'asse \(\xi\) non c'è simmetria, anche la massa è diversa, ma alla fine calcolandolo torna tutto...
Comunque se qualcuno ha la soluzione, il mio dubbio continua ad esserci!
Non è immediato, non è "ad occhio", ma alla fine dà il risultato
Nella seconda cosa che avevo chiesto, il punto è sempre lo stesso: rispetto all'asse \(\xi\) non c'è simmetria, anche la massa è diversa, ma alla fine calcolandolo torna tutto...
Comunque se qualcuno ha la soluzione, il mio dubbio continua ad esserci!
Si scusami, io mi riferivo alla simmetria del secondo esercizio. In quello riesci a vedere a "occhio" che l'asse $\eta$ è anche di simmetria.
Mentre nel primo sinceramente avrei dovuto fare anch'io qualche calcolo...per curiosità quanto risulta l'angolo di rotazione dell'asse $s$ ?
Mentre nel primo sinceramente avrei dovuto fare anch'io qualche calcolo...per curiosità quanto risulta l'angolo di rotazione dell'asse $s$ ?
La cosa forte del primo esercizio è che dopo che sposto l'origine nel centro di massa Q i due momenti di inerzia \(I_{x}'\) e \(I_{y'}\) sono uguali, poi considerando ke l'asse Y o Y' (tanto è sempre lo stesso) è di simmetria, il prodotto d'inerzia \(I_{x'y'}\) e nullo. Quindi se a quel punto volessi fare un ulteriore trasporto risulterebbe:
\(I_{s}\)=\(cos^2\vartheta I_{y'} + sin^2\vartheta I_{x'}\) e basta perchè tutti gli altri termini sarebbero zeri.
Ma dato ke
\(I_{x'} = I_{y'}\)
otteniamo
\(I_{s} = I_{y'} (cos^2\vartheta + sin^2\vartheta)\)
che nell'infinita bellezza dell'identità trigonometrica porta al risultato
\(I_{s}=I_{y'}=I_y \) per ogni \(\vartheta \)
Devo dire che quando capitano esercizi del genere mi ricordo perchè la matematica è una delle mie passioni
Comunque il professore è proprio furbo!
\(I_{s}\)=\(cos^2\vartheta I_{y'} + sin^2\vartheta I_{x'}\) e basta perchè tutti gli altri termini sarebbero zeri.
Ma dato ke
\(I_{x'} = I_{y'}\)
otteniamo
\(I_{s} = I_{y'} (cos^2\vartheta + sin^2\vartheta)\)
che nell'infinita bellezza dell'identità trigonometrica porta al risultato
\(I_{s}=I_{y'}=I_y \) per ogni \(\vartheta \)
Devo dire che quando capitano esercizi del genere mi ricordo perchè la matematica è una delle mie passioni
Comunque il professore è proprio furbo!
"mrfireball":
La cosa forte del primo esercizio è che dopo che sposto l'origine nel centro di massa Q i due momenti di inerzia \(I_{x}'\) e \(I_{y'}\) sono uguali
Bè onestamente...non lo avrei visto nemmeno io ad occhio questo risultato...avrei fatto qualche calcolo probabilmente.
L'esercizio è interessante...che ne dici di riepilogare le formule di roto-traslazione che hai utilizzato in modo da dimostrare i risultati?
Potrebbe essere qualcosa di utile per chi legge questo thread
Certo, ecco qua i passaggi fatti per bene:
Iniziamo con il dire che ci troviamo con gli assi centrati nell'origine O.
Calcoliamo il momento d'inerzia rispetto all'asse Y (viene \((11/16)\sqrt{3}L^4\), è nel risultato subito sopra l'esercizio)
Fatto questo, spostiamo il nostro sistema di riferimento da O a G. Facendo ciò, il momento d'inerzia rispetto all'asse Y resta costante (non dovremmo avere dubbi su questo )
Adesso calcoliamo il momento d'inerzia rispetto all'asse X' (che ricordiamo è parallelo all'asse X, ma passa per il punto Q).
Anche quello viene pari a \((11/16)\sqrt{3}L^4\), quindi
\(I_y =I_{x'}\)
A questo punto ci troviamo nel punto Q, con momenti d'inerzia uguali rispetto a X' e Y e possiamo anche aggiungere che il prodotto d'inerzia \(I_{x'y}=0\) perchè l'asse Y è di simmetria e se almeno uno dei due assi è di simmetria il prodotto d'inerzia è nullo!
Ora applicando la formula del trasporto (anche se in realtà facciamo solo una rotazione) dell'asse Y:
\( I_{y'}=\cos ^2\vartheta I_{y} + \sin ^2\vartheta I_{x} + \sin2\vartheta I_{xy} + m\alpha^2 +2\alpha (\sin\vartheta S_x + \cos\vartheta S_y) \)
dove per \(\vartheta\) intendiamo la rotazione (positiva se antioraria) degli assi e per \(\alpha\) il valore in ascissa dell'origine del vecchio sistema di riferimento rispetto al nuovo (in questo caso \(\alpha=0\) perchè ruotiamo senza spostarci).
Nel nostro caso specifico \(I_{y'}\) è proprio \(I_{s}\) che stiamo cercando e \(I_{x}\) sarà \(I_{x'}\) relativo appunto all'asse X'.
Quindi, applicando le informazioni che abbiamo, otteniamo
\( I_{s} = cos^2\vartheta I_{y} + sin^2\vartheta I_{x'} \)
ma come avevamo visto prima
\( I_{y} = I_{x'} = (11/16)\sqrt{3}L^4 \)
per cui
\( I_{s} = I_{y} (cos^2\vartheta + sin^2\vartheta) \)
e quindi qua per l'identità trigonometrica si perde la dipendenza dalla variabile \(\vartheta\), da cui segue che:
\( I_{s}=I_{y}\) per ogni \(\vartheta\)
volendo essere ancora più precisi:
\( I_{s}=I_y = I_{x'}= (11/16)\sqrt{3}L^4 \) per ogni \(\vartheta\)
E' più lunga a scriversi che a farsi!
Iniziamo con il dire che ci troviamo con gli assi centrati nell'origine O.
Calcoliamo il momento d'inerzia rispetto all'asse Y (viene \((11/16)\sqrt{3}L^4\), è nel risultato subito sopra l'esercizio)
Fatto questo, spostiamo il nostro sistema di riferimento da O a G. Facendo ciò, il momento d'inerzia rispetto all'asse Y resta costante (non dovremmo avere dubbi su questo
)Adesso calcoliamo il momento d'inerzia rispetto all'asse X' (che ricordiamo è parallelo all'asse X, ma passa per il punto Q).
Anche quello viene pari a \((11/16)\sqrt{3}L^4\), quindi
\(I_y =I_{x'}\)
A questo punto ci troviamo nel punto Q, con momenti d'inerzia uguali rispetto a X' e Y e possiamo anche aggiungere che il prodotto d'inerzia \(I_{x'y}=0\) perchè l'asse Y è di simmetria e se almeno uno dei due assi è di simmetria il prodotto d'inerzia è nullo!
Ora applicando la formula del trasporto (anche se in realtà facciamo solo una rotazione) dell'asse Y:
\( I_{y'}=\cos ^2\vartheta I_{y} + \sin ^2\vartheta I_{x} + \sin2\vartheta I_{xy} + m\alpha^2 +2\alpha (\sin\vartheta S_x + \cos\vartheta S_y) \)
dove per \(\vartheta\) intendiamo la rotazione (positiva se antioraria) degli assi e per \(\alpha\) il valore in ascissa dell'origine del vecchio sistema di riferimento rispetto al nuovo (in questo caso \(\alpha=0\) perchè ruotiamo senza spostarci).
Nel nostro caso specifico \(I_{y'}\) è proprio \(I_{s}\) che stiamo cercando e \(I_{x}\) sarà \(I_{x'}\) relativo appunto all'asse X'.
Quindi, applicando le informazioni che abbiamo, otteniamo
\( I_{s} = cos^2\vartheta I_{y} + sin^2\vartheta I_{x'} \)
ma come avevamo visto prima
\( I_{y} = I_{x'} = (11/16)\sqrt{3}L^4 \)
per cui
\( I_{s} = I_{y} (cos^2\vartheta + sin^2\vartheta) \)
e quindi qua per l'identità trigonometrica si perde la dipendenza dalla variabile \(\vartheta\), da cui segue che:
\( I_{s}=I_{y}\) per ogni \(\vartheta\)
volendo essere ancora più precisi:
\( I_{s}=I_y = I_{x'}= (11/16)\sqrt{3}L^4 \) per ogni \(\vartheta\)
E' più lunga a scriversi che a farsi!
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