Schemi a blocchi e funzioni di trasferimento
Salve a tutti, ho un problema con il calcolo della funzione di trasferimento per uno schema a blocchi. Vi posto un esempio di esercizio per farvi capire di cosa parlo
Dato il seguente schema a blocchi:
1. Calcolare la funzione di trasferimento complessiva sapendo che $G(s) = 1/(s^2+1)$, $F(s) = K$, $H(s) = 1/s$
2. Studiare la stabilità al variare di K
3. Posto K=1, calcolare la risposta impulsiva
Ora, sono abbastanza sicuro di aver sbagliato ma per quanto riguarda il primo punto, io avevo pensato di scrivere (sfruttando la controreazione) la funzione di trasferimento in questa maniera: $(F(s)*G(s))/(1 +F(s)*H(s))$
da cui, sostituendo i valori, $(Ks)/(s*(s^2+1)+K*(s^2+1))$
Potreste dirmi (se come penso ho sbagliato) dove sbaglio e come impostare correttamente l'esercizio?
Grazie mille!
Dato il seguente schema a blocchi:
1. Calcolare la funzione di trasferimento complessiva sapendo che $G(s) = 1/(s^2+1)$, $F(s) = K$, $H(s) = 1/s$
2. Studiare la stabilità al variare di K
3. Posto K=1, calcolare la risposta impulsiva
Ora, sono abbastanza sicuro di aver sbagliato ma per quanto riguarda il primo punto, io avevo pensato di scrivere (sfruttando la controreazione) la funzione di trasferimento in questa maniera: $(F(s)*G(s))/(1 +F(s)*H(s))$
da cui, sostituendo i valori, $(Ks)/(s*(s^2+1)+K*(s^2+1))$
Potreste dirmi (se come penso ho sbagliato) dove sbaglio e come impostare correttamente l'esercizio?
Grazie mille!
Risposte
Ciao rubikk,
cosa intendi per "ho sfruttato la controreazione" ?
cosa intendi per "ho sfruttato la controreazione" ?
Non sono sicuro di riuscire a spiegare il concetto come si deve ma ci provo.
Durante il corso abbiamo lavorato sulla risoluzione degli schemi a blocchi, cioè sulla maniera di calcolare la funzione di trasferimento tra ingresso e uscita di un sistema in funzione delle funzioni di trasferimento dei sistemi che lo compongono. In questo contesto il professore ha introdotto tre tipi fondamentali di connessione:
Connessione in cascata (in cui l'uscita del primo sistema corrisponde all'ingresso del secondo)
La cui funzione di trasferimento è: $H(z) = H_2(z)*H_1(z)$
Connessione in parallelo (ingresso comune per i due sottosistemi e uscita uguale alla somma delle due uscite)
La cui funzione di trasferimento è: $H(z) = H_2(z) + H_1(z)$
Connessione in controreazione (in questo caso controreazione negativa)
La cui funzione di trasferimento è: $H(z) = (H_1(z))/(1+H_1(z)H_2(z))$
Utilizzando questi tipi di connessione e adattandoli allo schema a blocchi che mi è stato proposto sono arrivato a calcolarne la funzione di trasferimento. Mi rendo conto che probabilmente la mia spiegazione non ha spiegato granché ma purtroppo, non essendo un corso di ingegneria (si tratta di segnali e sistemi per il corso di laurea in informatica), non siamo scesi troppo nel dettaglio.
Durante il corso abbiamo lavorato sulla risoluzione degli schemi a blocchi, cioè sulla maniera di calcolare la funzione di trasferimento tra ingresso e uscita di un sistema in funzione delle funzioni di trasferimento dei sistemi che lo compongono. In questo contesto il professore ha introdotto tre tipi fondamentali di connessione:
Connessione in cascata (in cui l'uscita del primo sistema corrisponde all'ingresso del secondo)
La cui funzione di trasferimento è: $H(z) = H_2(z)*H_1(z)$
Connessione in parallelo (ingresso comune per i due sottosistemi e uscita uguale alla somma delle due uscite)
La cui funzione di trasferimento è: $H(z) = H_2(z) + H_1(z)$
Connessione in controreazione (in questo caso controreazione negativa)
La cui funzione di trasferimento è: $H(z) = (H_1(z))/(1+H_1(z)H_2(z))$
Utilizzando questi tipi di connessione e adattandoli allo schema a blocchi che mi è stato proposto sono arrivato a calcolarne la funzione di trasferimento. Mi rendo conto che probabilmente la mia spiegazione non ha spiegato granché ma purtroppo, non essendo un corso di ingegneria (si tratta di segnali e sistemi per il corso di laurea in informatica), non siamo scesi troppo nel dettaglio.
la fdt è $G(s)*(H(s))/(1+H(s) F(s)) $
Quindi almeno in questo caso i miei calcoli erano corretti. Grazie cyd! 
Oddio, ho ricontrollato quello che avevo scritto rendendomi conto di aver invertito F(s) e H(s) al numeratore della funzione di trasferimento. Correggendo sarebbe $H(s) = 1/(s^2+1)*1/(s+K)$, da cui la domanda del post successivo
Oddio, ho ricontrollato quello che avevo scritto rendendomi conto di aver invertito F(s) e H(s) al numeratore della funzione di trasferimento. Correggendo sarebbe $H(s) = 1/(s^2+1)*1/(s+K)$, da cui la domanda del post successivo
Per quanto riguarda il secondo punto invece, sapendo che una condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema sia stabile è che tutti i poli della funzione di trasferimento abbiano modulo minore di 1 e avendo in questo caso poli uguali a -1 e -K, il sistema risulta instabile, giusto?
detta caratteristica del sistema in retroazione l'equazione $1+L(s)=0$ dove $L(s)=H(s) F(s)$ (funzione d'anello)
per la stabilità asintotica i poli del sistema (cioè i poli di G + quelli del sistema in retro, cioè gli zeri della caratteristica) devono avere parte reale negativa
se poi ci sono dei poli a parte reale nulla il sistema può essere stabile o anche diventare instabile.
detto ciò devi studiare come variano i poli del sistema totale al variare di K. lo puoi fare mediante il criterio di Routh, mediante il luogo delle radici o risolvendo l'equazione di 3° grado in funzione di K valutando poi le radici, io userei il criterio di Routh
oppure puoi notare che
il sistema è scomponibile in una serie di G(s) e T(s) con $T(s)=(H(s))/(1+H(s) F(s))$
dunque è asintoticamente stabile se lo sono tutte e due le funzioni (daltronde i poli totali sono i poli di G piu quelli del sistema in retro)
quindi puoi studiare separatamente le due funzioni
per la stabilità asintotica i poli del sistema (cioè i poli di G + quelli del sistema in retro, cioè gli zeri della caratteristica) devono avere parte reale negativa
se poi ci sono dei poli a parte reale nulla il sistema può essere stabile o anche diventare instabile.
detto ciò devi studiare come variano i poli del sistema totale al variare di K. lo puoi fare mediante il criterio di Routh, mediante il luogo delle radici o risolvendo l'equazione di 3° grado in funzione di K valutando poi le radici, io userei il criterio di Routh
oppure puoi notare che
il sistema è scomponibile in una serie di G(s) e T(s) con $T(s)=(H(s))/(1+H(s) F(s))$
dunque è asintoticamente stabile se lo sono tutte e due le funzioni (daltronde i poli totali sono i poli di G piu quelli del sistema in retro)
quindi puoi studiare separatamente le due funzioni
Cyd, ti ringrazio della risposta.
Ho un'ultima domanda, mi pare di aver capito che si può antitrasformare la funzione di trasferimento ottenendo così la risposta impulsiva, è corretto? Gli appunti del professore a questo proposito non sono molto chiari quindi se poteste indirizzarmi in qualche maniera (anche consigliandomi qualche sito dove potrei trovare informazioni, sempre tenendo conto del fatto che non sono uno studente di ingegneria e quindi ho bisogno di qualcosa di abbastanza semplice) lo apprezzerei molto.
Ho un'ultima domanda, mi pare di aver capito che si può antitrasformare la funzione di trasferimento ottenendo così la risposta impulsiva, è corretto? Gli appunti del professore a questo proposito non sono molto chiari quindi se poteste indirizzarmi in qualche maniera (anche consigliandomi qualche sito dove potrei trovare informazioni, sempre tenendo conto del fatto che non sono uno studente di ingegneria e quindi ho bisogno di qualcosa di abbastanza semplice) lo apprezzerei molto.
beh la trasformata dell'impulso è $1$ quindi quando hai
$Y(s)=G(s)$ in realtà stai considerando la risposta impulsiva, cioè $Y(s)=G(s)*1 = G(s)* L[delta(x)]$
quindi antitrasformare G(S) significa antitrasformare la risposta impulsiva.
per il teorema del prodotto integrale hai $L^(-1)[A(s)*B(s)] = int_0^(oo) a(t-tau)*b(tau) dtau = int_0^(oo) a(tau)*b(t-tau) dtau$ (convoluzione)
quindi $L^(-1)[Yi m p u ls] = L^(-1)[G(s)] = int_0^(oo) g(tau)*delta(t - tau) d tau$ per una nota proprietà della delta di dirak sai che se h(t) è una generica funzione e se $t_0 in [k,h] $ allora $int_(k)^(h) h(t)*delta(t-t_0)dt = h(t_0)$ infatti $delta(t-t_0)$ è nulla per tutti i t diversi da t0
ma allora $L^(-1)[Yim puls] = L^(-1)[G(s)] = int_0^(oo) g(tau)*delta(t - tau) d tau = g(tau)$
poichè la fdt di un sistema lineare si può scrivere come $G(s) = C*(sI-A)^(-1)*B + D$ allora $L^(-1)[Yim puls] = L^(-1)[G(s)] = C int_0^oo e^(A(t-tau)) B delta(tau)d tau + D*delta(t)$
$Y(s)=G(s)$ in realtà stai considerando la risposta impulsiva, cioè $Y(s)=G(s)*1 = G(s)* L[delta(x)]$
quindi antitrasformare G(S) significa antitrasformare la risposta impulsiva.
per il teorema del prodotto integrale hai $L^(-1)[A(s)*B(s)] = int_0^(oo) a(t-tau)*b(tau) dtau = int_0^(oo) a(tau)*b(t-tau) dtau$ (convoluzione)
quindi $L^(-1)[Yi m p u ls] = L^(-1)[G(s)] = int_0^(oo) g(tau)*delta(t - tau) d tau$ per una nota proprietà della delta di dirak sai che se h(t) è una generica funzione e se $t_0 in [k,h] $ allora $int_(k)^(h) h(t)*delta(t-t_0)dt = h(t_0)$ infatti $delta(t-t_0)$ è nulla per tutti i t diversi da t0
ma allora $L^(-1)[Yim puls] = L^(-1)[G(s)] = int_0^(oo) g(tau)*delta(t - tau) d tau = g(tau)$
poichè la fdt di un sistema lineare si può scrivere come $G(s) = C*(sI-A)^(-1)*B + D$ allora $L^(-1)[Yim puls] = L^(-1)[G(s)] = C int_0^oo e^(A(t-tau)) B delta(tau)d tau + D*delta(t)$
Ok, ti ringrazio della risposta anche se non ci ho capito granché. In realtà il professore ha impostato la cosa in maniera diversa.
In sostanza una volta trovata la funzione di trasferimento opera una scomposizione in fratti semplici e ne calcola l'antitrasformata. Il problema nel caso specifico è che data la fdt $1/((s^2+1)(s+1))$ i poli sono i con molteplicità 2 e ancora -1.
Di conseguenza come ottengo la scomposizione? Se qualcuno dotato di grande pazienza mi mostrasse i calcoli gliene sarei grato.
In sostanza una volta trovata la funzione di trasferimento opera una scomposizione in fratti semplici e ne calcola l'antitrasformata. Il problema nel caso specifico è che data la fdt $1/((s^2+1)(s+1))$ i poli sono i con molteplicità 2 e ancora -1.
Di conseguenza come ottengo la scomposizione? Se qualcuno dotato di grande pazienza mi mostrasse i calcoli gliene sarei grato.
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